2023学年度宁波市镇海区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2023-2023学年宁波市镇海区九年级上学期期末数学试卷一、选择题〔1040.0分〕《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟(1斗=10升)，假设依据此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )A.1.8升 B.16升 C.18升 D.50升2. 由二次函数𝑦=−(𝑥+2)2+1可知( )其图象的开口向上C.其最大值为−1

其图象的对称轴为𝑥=2D.其图象的顶点坐标为(−2,1). 如图，𝐴、𝐵在半径𝑅⊙𝑂上，𝐵的长𝑅，( )A.∠𝐴𝑂𝐵=180°𝜋B.∠𝐴𝑂𝐵=90°C.∠𝐴𝑂𝐵=90°𝜋D.∠𝐴𝑂𝐵=60°分别标有数字0，𝜋，1，−1，√2的五张卡片，除数字不同外其他均一样，从中任抽一张，那么3抽到无理数的概率是( )A.1 B.5

2 C.5

3 D.45 55. 𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶𝐷是⊙𝑂的弦，且𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑀.以下命题为真命题( )A.大事“𝐴𝐵=𝐶𝐷”是不行能大事B.当𝐶𝐷⊥𝐴𝐵时，大事“点𝑀是𝐶𝐷中点”是必定大事C.当点𝑀是𝐶𝐷中点时，大事“𝐶𝐷⊥𝐴𝐵”是必定大事D.大事“𝐴𝑀⋅𝐵𝑀=𝐶𝑀⋅𝐷𝑀”的概率小于16. 点𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(−1,𝑦2)，𝐶(1,𝑦3)在函数𝑦=4的图象上，则以下正确的选项是( )2 𝑥A.𝑦1<𝑦2<𝑦3

B.𝑦 <𝑦 <𝑦 C.𝑦 <𝑦 <𝑦 D.𝑦 <𝑦 <𝑦3 1 2 3 2 1 2 1 7. 假设△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹面积之比为9：4，则相像比为3 1 2 3 2 1 2 1 A.9 B.4C.9

3 D.812 168. 关于二次函数𝑦=𝑚𝑥2−𝑥−𝑚+1(𝑚≠0).以下结论：①不管𝑚(1,0)；②假设𝑚<0，抛物线交𝑥轴于𝐴𝐵两点则𝐴𝐵>2；③当𝑥=𝑚时函数值𝑦≥0；④假设𝑚>1，则当𝑥>1时，𝑦随𝑥的增大而增大．其中正确的序号是( )①②

B.②③ C.①②④

D.①③④9. 在矩形𝑂𝐴𝐵𝐶𝐶在第一象限且在反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)上，𝐵𝐶与𝑦轴交于点𝐷，且𝐶𝐷=𝑥53𝐵𝐷.𝐴𝑂与𝑥轴负半轴的夹角的正弦值为3，连接𝑂𝐵，𝑆△𝑂𝐵𝐷=3，则𝑘的值为( )5A.14825

B.28825

C.16225

D.1262510. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=6，𝑃是𝐵𝐶边上的动点，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，则𝑃𝐷+𝑃𝐸的长是( )A.4.86C.3.8D.5二、填空题〔630.0分〕11. 如图，扇形𝐴𝑂𝐵的半径为2，∠𝐴𝑂𝐵=90°，以𝐴𝐵为直径画半圆，则图中阴影局部的面积为 ．12. 如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，𝐶、𝐷是⊙𝑂上的两点，∠𝐵𝐴𝐶=20°，度数是 ．

，则∠𝐷𝐴𝐶的.小舟同学在模板上画出一个菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，将它以点𝑂为中心按顺时针方𝐶=，𝐴𝐵=4√3𝑐𝑚，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影局部的概率为 ．14. 如图，直线𝑦=3𝑥+3与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，𝑃为4线段𝐴𝐵上的一个动点，过点𝑃分别作𝑃𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，𝑃𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹长的最小值为 ．15. 如图，平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝑂，𝐵在𝑦轴上，顶点𝐴在反比例函数𝑦=−

上，顶点𝐶在反比例3𝑥函数𝑦=

7上，则平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积是 ．2𝑥16. 如图，等边三角形𝐴𝐵𝐶的边长为2，以𝐴为圆心，1为半径作圆分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶边于𝐷，𝐸，再以点𝐶为圆心，𝐶𝐷长为半径作圆交𝐵𝐶边于𝐹，连接𝐸，𝐹，那么图中阴影局部的面积为 ．三、解答题〔880.0分〕17. 先化简，再求值：(𝑎−2−𝑎2+1

1)÷𝑎+1

1𝑎+1

，其中𝑎=𝑡𝑎𝑛60°+2𝑠𝑖𝑛30°．3，−2，√5，√5−2.(卡片除了实数不同外，其余均一样)．从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上实数是无理数的概率；先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；再从剩余的卡片中再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数．请你用列表法或树状图求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．如图，平面上有四个点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，依据以下语句用没有刻度的直尺和圆规画图：(要求保存作图痕迹，并写明结论)(1)画线段𝐴𝐵；(2)画射线𝐴𝐶；(3)连接𝐶𝐷，并将其反向延长至𝐸，使得𝐷𝐸=2𝐶𝐷；(4)在平面内找到一点𝑃，使𝑃到𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点距离最短。张教师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树𝐶𝐷的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠𝑀𝐴𝑁=30°)，在山坡底部𝐴处测得大树顶端点𝐶的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达𝐵处，又测得树顶端点𝐶的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树𝐶𝐷的高度(结果准确到0.1米，参考数据：√3≈1.732)如图，反比例函数𝑦=𝑘的图象与一次函数𝑦=−𝑥+𝑚的图象的一个交点为(−2,1)，另一交点为𝑥𝐷，一次函数图象分别交𝑥轴、𝑦轴于点𝐵、𝐶．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接𝐴𝑂、𝐷𝑂，求△𝐴𝑂𝐷的面积．某农经公司以40元/𝑝(千克)与销售价格𝑥(元/千克)之间满足一次函数关系，局部数据如表：销售价格𝑥(元/千克)日销售量𝑝(千克)

40120

50 60 70 80100 80 60 40求𝑝与𝑥之间的函数表达式；农经公司应当如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？假设农经公司每销售1千克这种农产品需支出𝑚元(𝑚>0)的相关费用，当70≤𝑥≤75时，农经公司的日获利的最大值为1682元，求𝑚的值日获利=日销售利润−日支出费用)23.如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=6𝑐𝑚，动点𝑃从点𝐴动身以1𝑐𝑚/𝑠的速度沿𝐴𝐵𝑄同时从点𝐶动身以同样的速度沿𝐵𝐶𝑃到达点𝐵时，点𝑃、𝑄同时停顿运动，设运动时间为𝑡(𝑠).过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，以𝐶𝑄、𝐶𝐸为边作平行四边形𝐶𝑄𝐹𝐸．(1)𝐴𝐸= ，𝐶𝐸= ；(用含𝑡的代数式表示)(2)当𝐶𝑄𝐹𝐸为菱形时，恳求出𝑡的值；(3)如图1，连接𝑃𝑄，交𝐴𝐶边于点𝐷，求线段𝐷𝐸的长；的最小值．24.【根底稳固】(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵上一点，𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵.求证：∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵．【尝试应用】𝐷𝐸是𝐵𝐶.𝐸=4𝐶=𝐷=.𝐷=𝐶．【拓展提高】𝐷⊙𝑂𝐶𝐷.⊙𝑂𝐸=𝐸𝐵=√𝐸，𝐵𝐷=2√3，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．参考答案及解析1.答案：𝐶解析：解：依据题意得：3斗=30升，设可以换得的粝米为𝑥升，则50=30，30 𝑥解得：𝑥=30×3=18(升)，5答：有3斗的粟(1斗=10升)，假设依据此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．应选：𝐶．先将单位换成升，依据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．此题考察了比例的性质，此题首先要弄清题意，正确列比例式是此题的关键．2.答案：𝐷解析：解：∵𝑎=−1<0，∴二次函数𝑦=−(𝑥+2)2+1的图象开口向向下；二次函数𝑦=−(𝑥+2)2+1的对称轴是直线𝑥=−2，顶点坐标是(−2,1)，最大值为1．应选：𝐷．依据二次函数的𝑎值确定开口方向，依据顶点式解析式写出对称轴与顶点坐标即可．此题考察了二次函数的性质，比较简洁，娴熟把握利用顶点式解析式推断对称轴与顶点坐标的方法是解题的关键．3.答案：𝐴解析：解：依据弧长公式得：𝑅=𝑛𝜋𝑅，180∴圆心角∠𝐴𝑂𝐵=𝑛=180，𝜋应选：𝐴．直接利用弧长公式𝑙=𝑛𝜋𝑙求出答案即可．180此题主要考察了弧长公式的应用，娴熟记忆弧长公式是解题关键．4.答案：𝐵解析：解：∵五张卡片上分别标有0，𝜋，1，−1，√2，其中无理数有𝜋，√2，共2个，3∴抽到无理数的概率是2；5应选：𝐵．先找出无理数的个数，再依据概率公式计算可得．此题考察的是概率的求法．假设一个大事有𝑛种可能，而且这些大事的可能性一样，其中大事𝐴消灭𝑚种结果，那么大事𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑚，此题找到无理数的个数是关键．𝑛5.答案：𝐵解析：解：由圆中最长弦为直径，可知𝐴𝐵=𝐶𝐷A选项为假命题，不符合题意；由垂径定理知，垂直弦的直径平分弦，故B选项为真命题，符合题意；由垂径定理推论知，平分弦的直径不肯定垂直于弦，故C选项为假命题，不符合题意；如图，⊙𝑂的两弦𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于𝑀，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，∵∠𝐶=∠𝐵，∠𝐴=∠𝐷，∴△𝐴𝑀𝐶∽△𝐷𝑀𝐵，∴𝐴𝑀：𝐷𝑀=𝐶𝑀：𝐵𝑀，∴𝐴𝑀⋅𝐵𝑀=𝐶𝑀⋅𝐷𝑀D选项为假命题，不符合题意．应选：𝐵．依据垂径定理及推论可推断𝐴、𝐵、𝐶选项，再由相像三角形的性质可推断𝐷选项．此题主要考察了垂径定理及推论、相像三角形的判定与性质，解决此题的关键是生疏垂径定理的推论以及连接𝐴𝐶，𝐵𝐷构造△𝐴𝑀𝐶∽△𝐷𝑀𝐵．6.答案：𝐷解析：解：∵反比例函数𝑦=4，𝑥∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，𝑦随𝑥的增大而减小，2∵点𝐴(−2𝑦1)，𝐵(−1𝑦2)，𝐶(1𝑦3)，2∵−2<−1<0<1，2∴𝑦2<𝑦1<0，𝑦3>0，𝑦2<𝑦1<𝑦3，应选：𝐷．依据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进展比较即可．此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能敏捷运用函数的图象和性质进展推理是解此题的关键．7.答案：𝐶解析：【试题解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹面积之比为9：4，∴相像比为：3：2．应选C．直接利用相像三角形的性质分析得出答案．此题主要考察了相像三角形的性质，正确把握相像三角形面积比等于相像比的平方是解题关键．8.答案：𝐶解析：解：①由二次函数𝑦=𝑚𝑥2−𝑥−𝑚+1(𝑚≠0)，得𝑦=[𝑚(𝑥+1)−1](𝑥−1)；1 令𝑦=0，则𝑚(𝑥+1)−1=0或𝑥−1=0，即𝑥 =1−𝑚，𝑥 =1，1 𝑚所以该函数经过点(1−𝑚,0)、(1,0)，𝑚∴无论𝑚取何值，抛物线总经过点(1,0)；故本选项正确；2 ②假设𝑚<0时，𝐴𝐵=|𝑥 −𝑥|=|1−1−𝑚|=|2−2 𝑚

1|>|2|=2，即𝐴𝐵>2；故本选项正确；𝑚③依据题意，得𝑦=𝑚3−2𝑚+1=(𝑚−1)(𝑚2+𝑚−1)(𝑚≠0)，∵𝑚2>0，∴𝑚2+𝑚−1>𝑚−1，当𝑚−1≤0，即𝑚≤1时，(𝑚−1)(𝑚2+𝑚−1)≤(𝑚−1)2，∵(𝑚−1)2≥0，∴(𝑚−1)(𝑚2+𝑚−1)≤0或(𝑚−1)(𝑚2+𝑚−1)≥0，即𝑦≤0或𝑦≥0；故本选项错误；1④当𝑚>1时，𝑥 =1𝑚

<0<𝑥2，且抛物线该抛物线开口向上，∴当𝑥>1时，该函数在区间[1,+∞)上是增函数，即𝑦随𝑥的增大而增大．故本选项正确；综上所述，正确的说法有①②④．应选C．9.答案：𝐵解析：解：过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是矩形，∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝐶𝑂=90°，∴∠1+∠𝐶𝑂𝐸=90°，∵𝐶𝐸⊥𝑥轴，∴∠2+∠𝐶𝑂𝐸=90°，𝐶𝐸//𝑥轴，∴∠1=∠2=∠3，∵𝐶𝐷=3𝐵𝐷，𝑆△𝑂𝐵𝐷=3，∴𝑆△𝑂𝐵𝐶=3𝑆△𝑂𝐵𝐷=9，设𝐵𝐷=𝑎，则𝐶𝐷=3𝑎，∵sin∠1=3，5∴sin∠2=sin∠3=3，5∴𝐶𝐷𝑂𝐷

=3，5∴𝑂𝐷=5𝑎，∴𝑂𝐶=4𝑎，2𝑆△𝑂𝐵𝐶=1×3𝑎×4𝑎=9，2∴𝑎=√6，2∴𝑂𝐶=2√6，∵sin∠2=3，5∴

=3，5∴𝑂𝐸=6√6，5∴𝐶𝐸=8√6，5𝐶(6√6,8√6)，5∴𝑘=6√6×8√6=288，5 5 25应选：𝐵．过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，由题意可知∠1=∠2=∠3，由𝐶𝐷=3𝐵𝐷，𝑆△𝑂𝐵𝐷=3可知𝑆△𝑂𝐶𝐷=9，设𝐵𝐷=𝑎，则𝐶𝐷=3𝑎，利用三角函数求得𝑂𝐷=5𝑎，利用𝑆△𝑂𝐵𝐶=9，求得𝑎的值，在△𝑂𝐶𝐸中利用三角函数求得𝑂𝐸和𝐶𝐸的长，从而求得点𝐶的坐标，即可求得𝑘的值．此题考察了矩形的性质，三角函数，反比例函数𝑘的几何意义等学问的综合运用，求出点𝐶的坐标，是解决此题的关键．10.答案：𝐴解析：解：过𝐴点作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，连接𝐴𝑃，如图．𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=6，∴𝐵𝐹=𝐹𝐶=1𝐵𝐶=3，2𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹=√𝐴𝐵2𝐵𝐹2=√5232=4．∴1×6×4=1×5×𝑃𝐷+1×5×𝑃𝐸，2 2 2∴12=1×5×(𝑃𝐷+𝑃𝐸)，2𝑃𝐷+𝑃𝐸=4.8．应选：𝐴．过𝐴点作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，连接𝐴𝑃，依据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得𝐴𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝑃+𝑆△𝐴𝐶𝑃，代入数值，解答即可．此题主要考察了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时留意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；表达了转化思想．11.答案：2解析：解：∵∠𝐴𝑂𝐵=90°，∴由勾股定理得，𝐴𝐷=√22+22=2√2，∴𝑆=𝑆△𝐴𝑂𝐷+𝑆半圆𝑆扇形𝑂𝐴𝐷=1×2×2+90⋅𝜋⋅22−1𝜋(2√2)22=2+𝜋−𝜋=2．故答案为：2．

360 2 2利用勾股定理列式求出𝐴𝐷，再依据𝑆=𝑆△𝐴𝑂𝐷+𝑆半圆−𝑆扇形𝑂𝐴𝐵，列式计算即可得解．此题考察了扇形面积的计算，勾股定理，熟记扇形的面积公式并观看图形表示出阴影局部的面积是解题的关键．12.答案：35°解析：∵𝐴𝐵是⊙𝑂直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∵∠𝐵𝐴𝐶=20°，∴∠𝐵=70°，∵∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐵，∵ ，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=35°．故答案为：35°．13.答案：2−√3解析：解：连接𝐴𝐶、𝐴𝑂、𝑂𝐶，如以下图所示，∵在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=𝐴𝐵=4√3，∠𝐴𝐵𝐶=120°，∴𝐴𝐶=12，∴𝐴𝑂=𝐶𝑂=6√2，2 ∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=1×6√2×6√2=18×2=36，𝑆△𝐴𝐶𝐷=1×12×2√3=12√32 ∴𝑆=𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐷=36−12√3，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆△𝐴𝐶𝐷=36+12√3，4𝑆∴𝑃= 阴4𝑆

=36−12√3=3−√3=9−6√3+3=2−√3．4𝑆

四边形𝐴𝐵𝐶𝑂

36+12√3

3+√3 6依据菱形的性质和几何概率的定义即可求解．此题考察了菱形的根本性质和几何概率的定义，算出阴影局部的面积占整个图形的面积的比即为所求．14.答案：125解析：解：当𝑥=0时，𝑦=3×0+3=3，则𝐵(0,3)，故𝑂𝐵=3．4当𝑦=0时，3𝑥+3=0，则𝑥=−4，那么𝐴(−4,0)，故𝑂𝐴=4．44设𝑃(𝑥𝑃𝑦𝑃)，则𝑦𝑃=3𝑥𝑃+34≤𝑥𝑃≤0)．4①当𝑃不与𝐴、𝐵重合，−4<𝑥𝑃<0．4∴𝑃𝐹=3𝑥𝑃+3，𝑃𝐸=−𝑥𝑃．4∵𝑃𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，𝑃𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，𝑥轴⊥𝑦轴，∴∠𝐹𝑃𝐸=90°．在𝑅𝑡△𝐸𝑃𝐹中，∠𝐸𝑃𝐹=90°，∴𝐸𝐹=√𝑃𝐸2+𝑃𝐹2=√(−𝑥𝑃)2+(3𝑥𝑃+3)2=√25(𝑥𝑃+36)2+144．4𝑃∵−4<𝑥 =−36<0，𝑃25

16 25 25∴当𝑥𝑃=−36时，(𝐸𝐹)𝑚𝑖𝑛=12．25 5当𝑃在𝐴点时，此时𝐸𝐹𝑂𝐴4．当𝑃在𝐵点时，此时𝐸𝐹𝑂𝐵3．∵12<3<4，5∴𝐸𝐹的最小值为12．5经分析，𝑃点可能在𝐴点或在𝐵点或在线段𝐴𝐵上(除去端点)，那么𝐸𝐹会产生不同的状况，故需分类争论，进而确定𝐸𝐹的最小值．此题主要考察一次函数的点的坐标的特征、勾股定理以及二次函数的最小值，娴熟把握一次函数的点的坐标的特征、勾股定理以及二次函数的最小值是解决此题的关键．15.答案：316解析：解：过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，依据∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐷𝑂=90°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝑂𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝑂可得：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝑂𝐷(𝐴𝐴𝑆)，∴△𝐴𝐵𝐸与△𝐶𝑂𝐷的面积相等，又∵顶点𝐶在反比例函数𝑦=

7上，2𝑥∴△𝐴𝐵𝐸的面积=△𝐶𝑂𝐷的面积=1×7=7，2 2 4同理可得：△𝐴𝑂𝐸的面积=△𝐶𝐵𝐷的面积=1×5=5，2 3 6∴平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积=2×(7+5)=31，4 6 6故答案为：31．6先过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，再依据反比例函数系数𝑘的几何意义，求得△𝐴𝐵𝐸的面积=△𝐶𝑂𝐷的面积=1×7=7，△𝐴𝑂𝐸的面积=△𝐶𝐵𝐷的面积=1×5=5，最终计算平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积．

2 2 4

2 3 6此题主要考察了反比例函数系数𝑘一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1|𝑘|，且保持不变．216.

+√3−312 2 4解析：解：过𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶于𝑀，𝐸𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，∵等边三角形𝐴𝐵𝐶的边长为2，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴𝐴𝑀=√32

=√3×2=√3，2∵𝐴𝐷=𝐴𝐸=1，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝑁=1𝐴𝑀=√3，2 2∴𝐶𝐷=𝐶𝐹=𝐴𝑀，∠𝐷𝐶𝐹=30°，∴图中阴影局部的面积=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆

−𝑆△𝐶𝐸𝐹−(𝑆△𝐵𝐶𝐷−𝑆

)=1×2×√3−60⋅𝜋×1−扇形𝐴𝐷𝐸1×√3×√3−(1×1×2×√3−30⋅𝜋×3)=

+√3−3，

扇形𝐷𝐶𝐹 2

3602 2 2 2

360

12 2 4

+√3−3．12 2 4过𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶于𝑀，𝐸𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，依据等边三角形的性质得到𝐴𝑀=√3𝐵𝐶=√3×2=√3，求得2 2𝐸𝑁=1𝐴𝑀=√3，𝐶𝐷=𝐶𝐹=𝐴𝑀，依据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．2 2此题考察了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出关心线是解题的关键．答案：解：原式=[

𝑎−2 −

𝑎−1

+1)(𝑎+1)(𝑎−1) (𝑎+1)(𝑎−1)= −1 ⋅(𝑎+1)(𝑎+1)(𝑎−1)=− 1，𝑎−1∵𝑎=𝑡𝑎𝑛60°+2𝑠𝑖𝑛30°=√3+2×1=√3+1，2∴原式=−√3．3解析：直接将括号里面通分运算进而利用分式的加减运算法则计算，再结合分式的除法运算法则计算即可，结合特别角的三角函数值得出𝑎的值求出答案．此题主要考察了分式的化简求值，正确把握分式的混合运算法则是解题关键．解：(1)∵3，−2，√5，√5−2．∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是无理数的概率是2=1；4 2(2)画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中两数的差为有理数的有4种，∴两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为412

=1．3解析：(1)由四张卡片中无理数的个数，依据概率公式可得答案；(2)画出树状图，依据树状图得出全部等可能结果，并找到两数的差为有理数的个数，由概率公式求解可得．此题考察的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出全部可=所求状况数与总状况数之比．答案：解：(1)如图，线段𝐴𝐵即为所求；(2)如图，射线𝐴𝐶即为所求；(3)如图，线段𝐶𝐷，𝐷𝐸即为所求；(4)如图，点𝑃即为所求。解析：(1)依据线段定义即可画线段𝐴𝐵；(2)依据射线定义即可画射线𝐴𝐶；(3)依据线段定义即可连接𝐶𝐷，并将其反向延长至𝐸，使得𝐷𝐸=2𝐶𝐷；(4)依据两点之间，线段最短即可在平面内找到一点𝑃，使𝑃到𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点距离最短。此题考察了作图−简单作图，两点间的距离，解决此题的关键是把握根本作图方法。20.答案：解：如图，过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷延长线于𝐸，∵∠𝐶𝐴𝑁=45°，∠𝑀𝐴𝑁=30°，∵∠𝐶𝐵𝐸=60°，∠𝐷𝐵𝐸=30°，∴∠𝐶𝐵𝐷=30°，∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=15°，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=20，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，∠𝐶𝐵𝐸=60°，𝐵𝐶=20，

∴∠𝐶𝐴𝐵=15°∴𝐶𝐸=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐸=20×√3=10√3，𝐵𝐸=𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐵𝐸=20×0.5=10，2在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐸中，∠𝐷𝐵𝐸=30°，𝐵𝐸=10，∴𝐷𝐸=𝐵𝐸𝑡𝑎𝑛∠𝐷𝐵𝐸=10×√3=10√3，3 3∴𝐶𝐷=𝐶𝐸−𝐷𝐸=10√3−10√3=20√3≈11.5，3 3答：这棵大树𝐶𝐷的高度大约为11.5米．过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷延长线于𝐸，由∠𝐶𝐴𝑁=45°，∠𝑀𝐴𝑁=30°，得到∠𝐶𝐴𝐵=15°，由∠𝐶𝐵𝐷=60°，∠𝐷𝐵𝐸=30°，得到∠𝐶𝐵𝐷=30°于是有∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=15°所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=20，解𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸，可求得𝐶𝐸，解𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐸可求得𝐷𝐸，𝐶𝐸−𝐷𝐸即得到树高𝐶𝐷．此题主要考察了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21.答案：解：(1)∵反比例函数𝑦=𝑘的图象与一次函数𝑦=−𝑥+𝑚的图象的一个交点为(−2,1)，𝑥∴𝑘−2

=1，−(−2)+𝑚=1，解得：𝑘2，𝑚1，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为𝑦=−2，𝑦=−𝑥−1；𝑥𝑦=−𝑥−1 𝑥=−2 𝑥=1(2)解{𝑦=−2𝑥

得{𝑦=1

，{𝑦=−2，∴𝐴(−2,1)，𝐷(1,−2)，∵在𝑦=−𝑥−1中，当𝑥=0时，𝑦=−1，∴𝐶(0,−1)，𝐴𝑂𝐷的面积=121111=3．2 2 2解析：(1)依据待定系数法即可得到结论；(2)解方程组得到𝐴，𝐵的坐标，然后依据三角形的面积公式即可得到结论．此题主要考察反比例函数与一次函数交点问题的学问点，解答此题的关键是娴熟把握反比例函数的性质．22.答案：解：(1)∵𝑝与𝑥成一次函数关系，设函数关系式为𝑝=𝑘𝑥+𝑏，可选择𝑥=40，𝑦=120和𝑥=50，𝑦=100代入，{𝑘+𝑏=则 ，{50𝑘+𝑏=100解得：𝑘=−2，𝑏=200，∴所求的函数关系为𝑝=−2𝑥+200．(2)设日销售利润为𝑤元，∴𝑤=𝑝(𝑥−40)=(−2𝑥+200)(𝑥−40)，即𝑤=−2𝑥2+280𝑥−8000，∴当𝑥=−

2802×(−2)

=70时，𝑤1800，答：这批农产品的销售价格定为70元/千克时日销售利润有最大，这个最大日销售利润为1800元；(3)日获利𝑤=𝑝(𝑥−40−𝑚)=(−2𝑥+200)(𝑥−40−𝑚)，即𝑤=−2𝑥2+(280+2𝑚)𝑥−(8000+200𝑚)，𝑥=−2×(−2)

=70+𝑚，2①假设𝑚>10𝑥=75时，𝑤有最大值，即𝑤=(−2×75+200)(75−40−𝑚)=1750−50𝑚<1682(不合题意，舍去)；②假设0<𝑚≤10，则当𝑥=70+2

时，𝑤有最大值，将𝑥=70+𝑚代入，可得𝑤=[−2×(70+𝑚)+200](70+𝑚−40−𝑚)=𝑚2−60𝑚+1800，2 2 2 2当𝑤=1682时，𝑚2−60𝑚+1800=1682，解得𝑚

=2，𝑚

=118(舍去)，2 1 2综上所述，𝑚的值为2．解析：(1)利用待定系数法求解可得；依据总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得；依据总利润=每千克利润×销售量列出此时的函数解析式，再分𝑚>10和0<𝑚≤10两种状况，利用二次函数的性质求解可得．此题主要考察二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质．23.答案：𝑡2

6−𝑡2解析：解：(1)由题意可知，𝐴𝑃=𝐶𝑄=𝑡，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐴=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶=8，又∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐴𝑃𝐸=30°，∴𝐴𝐸=1𝐴𝑃=𝑡，2 2∴𝐶𝐸=6−𝐴𝐸=6−𝑡．2故答案为：𝑡，6−𝑡．2 2(2)当平行四边形𝐶𝑄𝐹𝐸为菱形时，则𝐶𝐸=𝐶𝑄，∴6−𝑡2

=𝑡，解得，𝑡4．即当𝑡=4时，平行四边形𝐶𝑄𝐹𝐸为菱形；(3)过点𝑃作𝑃𝐾//𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐾，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐵=∠𝐴=60°，∵𝑃𝐾//𝐵𝐶，∴∠𝐴𝑃𝐾=∠𝐵=60°，∠𝑃𝐾𝐷=∠𝐷𝐶𝑄，∴∠𝐴=∠𝐴𝑃𝐾=60°，∴△𝐴𝑃𝐾是等边三角形，∴𝑃𝐴=𝑃𝐾，∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐾，∴𝐴𝐸=𝐸𝐾=1𝐴𝐾，2在𝑃𝐾𝐷和△𝑄𝐶𝐷中，∠𝑃𝐾𝐷=