辽宁省本溪市第二中学2022-2023学年高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．2．已知，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数 D．都是偶数4．若函数存在增区间，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知偶函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．若函数的导函数的图象如图所示，则的图象有可能是（）A． B．C． D．7．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24 B．30 C．32 D．358．已知命题是命题“若，则”的否命题；命题：若复数是实数，则实数，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C． D．9．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．6410．若集合，，则()A． B．C． D．11．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N(85,9)，若已知，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.1512．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是附：由公式算得：附表：0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________．14．定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：①是奇函数；②若不等式对一切实数恒成立，则③时，最小值是2450④“”是“”成立的充要条件以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________16．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点．（1）证明：CE∥面PAD.（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．18．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．Ⅰ求证：平面PBD；Ⅱ求证：．19．（12分）已知都是正数（1）若，求证：；（2）若，求证：20．（12分）以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据：房屋面积销售价格（万元）（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。，，其中，21．（12分）如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．22．（10分）如图,棱锥P-ABCD的地面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

阴影部分所表示的集合为：.【详解】由已知可得，阴影部分所表示的集合为：.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题.2、B【解析】

根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.【详解】；；且本题正确选项：【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.3、B【解析】

用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B.【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.4、C【解析】

先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.5、B【解析】

因为函数是偶函数，所以，那么不等式转化为，利用单调性，解不等式.【详解】函数是偶函数，在单调递减，，即.故选B.【点睛】本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式转化不等式，利用的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想.6、C【解析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由的图象易得当时

故函数在区间上单调递增；

当时，f'（x）＜0，故函数在区间上单调递减；

故选：C．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．7、C【解析】分析：本题考查的知识点是分层抽样，根据分层抽样的方法，由样本中高一年级学生有8人，所占比例为25%，即可计算.详解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：.故选：C.点睛：分层抽样的方法步骤为：首先确定分层抽取的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解决本题的关键.8、D【解析】分析：先判断命题p，q的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则，是假命题.因为是实数，所以所以命题q是假命题，故是真命题.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.9、C【解析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题10、A【解析】分析：求出及，即可得到.详解：则.故选C.点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.11、D【解析】

先求出,再求出培训成绩大于90的概率.【详解】因为培训成绩X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培训成绩大于90的概率为0.15.故答案为：D.【点睛】（1）本题主要考查正态分布，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答正态分布问题，不要死记硬背，要根据函数的图像和性质解答.12、A【解析】

根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.【点睛】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果.详解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，故目标被击中的概率是.故答案为.点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系.14、②【解析】

函数等价于.利用奇偶性排除①，利用利用分离常数法，判断②正确.利用倒序相加法判断③错误.【详解】函数等价于，.这是一个偶函数，故命题①错误.对于命题②，不等式等价于，即由于，故，所以，故命题②是真命题.对于③，当时，，两式相加得，而，，以此类推，可得.故③为假命题.对于④，，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.命题④错误.故填②.【点睛】本小题主要考查对于新定义概念的理解.将新定义的概念，转化为绝对值不等式来解决，属于化归与转化的数学思想方法.15、1【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1-27点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.16、【解析】

每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式.故答案为：.【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）取PA中点Q，连接QD，QE，可证四边形CDQE为平行四边形，从而CE∥QD，于是证得线面平行；（2）连接BD，取BD中点O，连接EO，CO，可证EO∥PD，从而得到直线CE与底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最终可得棱锥体积．【详解】解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE，则QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四边形CDQE为平行四边形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO则EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.则CO为CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱锥P-ABCD的体积为.解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE则QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四边形AQCDカ平行四迹形，则CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查直线与平面所成的角．涉及到直线与平面所成的角，必须先证垂直（或射影），然后才有直线与平面所成的角．18、（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD.（2）先证明平面，再证明BD⊥FG．详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，，又平面，平面，所以平面（II）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因为平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.19、(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）根据基本不等式得，，再利用不等式性质三式相乘得结果，（2）根据基本不等式得，，再三式相加得结果【详解】证明：因为为正数，所以，同理，所以因为，所以（2）证明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即为，则成立．【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.20、(1).(2)该地房屋面积为时的销售价格为万元.【解析】分析：（1）先求出和的平均数，将数据代入，计算出的值，最后根据，求出的值，即可得到线性回归方程；（2）将代入所求的线性回归方程可估计当房屋面积为时的销售价格.详解：（1）设所求线性回归方程为，则∴∴所求线性回归方程为（2）当时，销售价格的估计值为（万元）所以该地房屋面积为时的销售价格为万元点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21、（1）见证明；（2）.【解析】

设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，，，，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，，1，，，设平面ABF的法向量y，，则，取，得，设平面BCF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，由图可知为钝角则．二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22、(1)见解析;(2)θ=45°;(3)23【解析】

（1）先证明ABCD为正方形,可得BD⊥AC,由PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得BD⊥PA，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面PCD的法向量，结合(0,0,2)为平面ABCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC，然后求出PC【详解】(1)解法一:在RtΔBAD中,AD=2