广西壮族自治区玉林市陆川县第五中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区玉林市陆川县第五中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（

）A

B

C

D

参考答案：C略2.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+ B．16+2 C．8+2 D．8+参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意作图，从而求各个三角形的面积即可．【解答】解：由题意作图如右，△ABC与△ADC是全等的直角三角形，其中AB==3，BC=2，故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，△BDC是等腰直角三角形，BC=CD=2，故S△BCD=×2×2=2，△ADB是等腰三角形，AB=AD=3，BD=2，故点A到BD的距离AE==，故S△BAD=×2×=，故表面积S=3+3+2+=8+，故选：D．3.不等式的解集是A． B． C． D．参考答案：C4.对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） A．f（x）= B． f（x）=x2 C． f（x）=tanx D． f（x）=cos（x+1）参考答案：D略5.定义在R上的函数满足则的值为

A．-1

B．0

C．1

D．2

参考答案：A略6.“为真命题”是“为真命题”的A、充分不必要条件；

B、必要不充分条件；

C、充要条件；

D、非充分非必要条件参考答案：B7.复数（是虚数单位）的虚部为（

）A．

B．1

C．

D．－1参考答案：B由题意，，选B．8.已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边AC进行翻折成（不在平面ABC上）.若MN分别为BC和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（）A．在线段BD上存在一定点E，使得EN的长度是定值B．点N在某个球面上运动C.存在某个位置，使得直线与所成角为60°D．对于任意位置，二面角始终大于二面角参考答案：C9.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．10.“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件C.充分不必要条件

D.即不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如下图，函数,x∈R,(其中0≤≤)的图像与y轴交于点（0，1）.设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，则与的夹角的余弦值为

．参考答案：15/17略12.设函数在处取极值，则=_________.参考答案：2略13.已知为的三个内角，，则

．参考答案：

14.已知向量的夹角为45°且=

。参考答案：15.如图，正六边形中，有下列四个命题：A．B．C．D．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．参考答案：【解析】：,∴对取的中点,则,∴对设,

则,而,∴错又,∴对∴真命题的代号是16.已知cosx+sinx=，则cos(+x)=___________ks5u参考答案：17.公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有,,也成等比数列,且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.参考答案：300略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=x+a?e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19.已知x=1是的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，求解b，然后验证求解函数的单调区间．（2）求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）因为x=1是的一个极值点，所以f′（1）=0，解得b=3，经检验，适合题意，所以b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣定义域为（0，+∞），f′（x）=2﹣+＜0，解得x∈（﹣，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数的单调递减区间为：（0，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为函数在[1，2]上单调递增，所以g'（x）≥0恒成立，即恒成立所以a≥﹣2x2﹣x，即a≥（﹣2x2﹣x）max﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而在[1，2]上（﹣2x2﹣x）max=﹣3所以a≥﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．20.（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足：，

（1）求、、，猜测的表达式并证明；

（2）求证：≥；

（3）设数列的前项和为，求证：.参考答案：解：（1）

猜测：

①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立.

②假设当n=k时成立，即ak=k+1.

即当n=k+1时，猜想成立.

故对一切成立．

（2）设，

由

由内有且只有一个极大值点，且因此在内，

（3）由（2）可知

同理可证

21.如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）当时，求点C到平面APQB的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（I）由平面ABC∥平面A1B1C1，利用线面平行的性质定理可得：AB∥PQ，又AB∥A1B1，即可证明PQ∥A1B1．（II）建立如图所示的直角坐标系．设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，利用点C到平面APQB的距离d=即可得出．【解答】证明：（I）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，∴AB∥PQ，又∵AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1．解：（II）建立如图所示的直角坐标系．∴O（0，0，0），P（0，0