2022-2023学年内蒙古阿拉善盟征重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

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一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则()

A.B.

C.D.

2.已知命题：，，则命题的否定为()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知复数为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.双曲线的渐近线方程是()

A.B.C.D.

5.下列求导运算中，正确的是()

A.B.

C.D.

6.极坐标的直角坐标为()

A.B.C.D.

7.()

A.B.C.D.

8.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

9.函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排列正确的是()

A.B.

C.D.

10.函数的图象大致是()

A.B.

C.D.

11.已知函数，，则下列结论正确的是()

A.一定有极大值

B.当时，有极小值

C.当时，可能无零点

D.若在区间上单调递增，则

12.已知函数若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数在点处的切线方程为______．

14.已知复数为纯虚数，则______．

15.______．

16.设点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知函数．

求函数的单调区间；

求函数在上的最大值和最小值．

18.本小题分

已知椭圆中，，离心率．

求椭圆的方程；

设直线与椭圆交于、两点，求．

19.本小题分

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点．

求证：平面；

若，求直线与平面所成角的正弦值．

20.本小题分

已知函数在处取得极值．

求，的值；

若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．

21.本小题分

如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．

求证：；

当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正弦值．

22.本小题分

已知．

求证：当时，；

若对于，恒成立．

求的最大值；

当取最大值时，若函数，求证：对于，，，恒有为自然对数的底．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，

则．

故选：．

利用交集定义直接求解．

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：否定：否定两次，否定结论．

故命题：，，则命题的否定，．

故选：．

否定：否定两次，否定结论．

本题考查命题的否定，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：复数，

，

的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．

故选：．

利用复数的四则运算先化简，再求出复数的共轭复数，求解即可．

本题考查了复数的四则运算，复数的共轭复数的求法，复数的几何意义，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：由双曲线可得：，，

解得．

双曲线的渐近线方程为．

故选：．

利用双曲线即可得到渐近线方程为．

本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为，所以选项错误；

因为，所以选项错误；

因为，所以选项错误．

故选：．

利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算公式求解．

本题考查常见函数的导数，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：设点的直角坐标为，极坐标为，

则有，

，并且点在第三象限，解得．

故选：．

根据直角坐标与极坐标转化的规则计算．

本题主要考查直角坐标与极坐标转化的规则，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：．

故选：．

利用定积分的运算性质，化简即可求解．

本题考查了定积分的运算性质，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：如图，以点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

，，

，

，，

．

故选：．

可以点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，然后可求出点，，和点的坐标，进而得出向量和的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而得出答案．

本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成角的余弦值的方法，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：由图象可知，函数随着增加函数值增加的越来越慢，而可看作过点与点的割线的斜率，由导数的几何意义可知．

故选：．

由图象可知，函数随着增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案．

本题考查导数的几何意义，正确理解导数的几何意义是解决问题的关键．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．

本题可采用排除法进行逐一排除，根据可知图象经过原点，以及根据导函数大于时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．

【解答】

解：由，排除；

因为，解，得，

所以在和上单调递增，排除，．

故选A．

11.【答案】

【解析】解：，，

当时，，函数在上单调递增，没有极值，A错误；

当时，令可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减，

故函数有唯一极大值，没有极小值，B错误；

当时，，函数在上单调递增，

又，时，，由零点判定定理可知，函数一定存在零点，C错误；

若在区间上单调递增，则在上恒成立，

故在上恒成立，

因为，

所以，即，D正确．

故选：．

先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系分别检验各选项即可判断．

本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：设切点为，由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，

若过点可以作曲线三条切线，

则这个方程有三个不等根，

设，直线与图象有三个交点，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

当趋近于正无穷，趋近于，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，

要使与的图象有三个交点，则．

则的取值范围是：．

故选：．

切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案．

本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：由，得，则，

曲线在点处的切线方程为，

即；

故答案为：．

求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后利用直线方程的点斜式得答案．

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．

14.【答案】

【解析】解：因为复数为纯虚数，

所以且，解得．

故答案为：．

根据纯虚数的定义即可求解．

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：根据题意，，其几何意义为圆在部分的面积，

即圆面积的，所以．

故答案为：．

根据题意，分析的几何意义，由此计算即可．

本题考查定积分的计算，考查了转化思想，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：设函数与直线平行的切线为，

则的斜率为，

由，得，

所以切点为，

则点到直线的距离就是的最小值，即．

故答案为：．

设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值．

本题主要考查利用导数研究某点切线的方程，属于基础题．

17.【答案】解：的定义域为，且，

令，可得或；令，可得，

递增区间为，，递减区间；

根据列表如下：

单调递增极大值单调递减极小值单调递增

函数在上的最大值为，最小值为．

【解析】求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

求出极值和端点值，比较后确定最值．

本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属中档题．

18.【答案】解：由题知，，即，

又，

解得，

所以椭圆方程为．

设，，

联立直线与椭圆方程得，

整理得，

则，，．

所民认．

【解析】根据条件得到，再结合，即可求解；

设，，联立直线与椭圆方程消得到关于的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解．

本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

19.【答案】解：证明：连接交于点，则为中点，连接，

又为中点，

则在中，有，

又平面，平面，

所以，平面；

以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

因为，

则，，，，，

所以，

设平面的法向量为，

则，取，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】连接交于点，则为中点，连接，在在中，由中位线定理可得，然后根据线面平行的判定定理即可证明；

根据条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量的夹角公式计算即可．

本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．

20.【答案】解：，

依题意，，

解得，，

经检验，，符合题意，

，的值分别为，；

由可得，，

若方程有三个相异实根，

即的图象与直线有三个不同的交点，

因为，

令，解得或，令，解得，

在，单调递增，在单调递减，

且，

，即实数的取值范围为．

【解析】对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；

由求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．

本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．

21.【答案】解：证明：以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

设，则，，

，，

，

；

，

当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，

，

当时，即，分别是棱，的中点时，三棱锥的体积取得最大值，

此时，坐标分别为，，

由可得，，

设平面的法向量为，

则，取，

又底面的一个法向量为，

，，

二面角的正弦值为．

【解析】设以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算，证明；

判断当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，求出平面的法向量，底面的法向量，再利用向量夹角公式及同角关系，即可求解．

本题考查向量法证明线线垂直，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．

22.【答案】证明：当时，，

令，则，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即．

解：由题意知：对于，恒成立，

令，则，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，所以，即的最大值为；

证明：由得：，

要证对于，，，恒有，

只需证：当时，，

即证：

令，

则只需证：在上单调递增；

因为，

令，则，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，