2022-2023学年海南省海口市龙华区重点学校高一（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，那么集合等于()

A.B.或

C.D.

2.已知向量，若，则()

A.B.C.D.

3.已知向量，且，则()

A.B.C.D.

4.已知，则的值为()

A.B.C.D.

5.已知长方体的长、宽、高分别为，，，并且其顶点都在球的球面上，则球的体积是()

A.B.C.D.

6.若，，，则下列关系正确的是()

A.B.C.D.

7.已知，，且，则()

A.B.C.D.

8.辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎如图一出土于辽宁省喀左县小波汰沟此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体忽略鼎壁厚度，如图二所示已知球的半径为，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知复数，则下列叙述正确的是()

A.的虚部为B.在复平面内对应的点位于第一象限

C.D.

10.若直线平面，直线，则与的位置关系可以是()

A.与相交B.C.D.与异面

11.已知，则()

A.B.C.D.

12.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.是函数的一条对称轴

B.

C.在上有个实数解

D.若，则函数在上单调递增

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的最小正周期______．

14.一圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的表面积是______．

15.在中，若一，则这个三角形是______三角形．

16.设函数，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

在中，已知，，，求，，的值．

18.本小题分

如图所示，已知正方体的棱长为，求点到平面的距离．

19.本小题分

已知是第二象限的角，若，求，的值；

已知，求的值．

20.本小题分

如图，在中，已知，是边上的一点，，，．

求的面积；

求边的长．

21.本小题分

如图，在正方体中，．

Ⅰ求证：平面；

Ⅱ求证：平面；

Ⅲ求直线和平面所成的角．

22.本小题分

已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．

求的值；

设，求的表达式；

设，求在上的值域．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，，所以

故选：．

利用交集的运算定义可求．

本题考查交集的运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为，，

所以，解得．

故选：．

根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

，

又，知，即．

故选：．

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：，

，

即，

．

故选：．

利用诱导公式得到，代入两角和的正切公式即可求解．

本题考查了诱导公式和两角和的正切公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，

即球心即为体对角线交点，半径为体对角线的一半，即球的半径，

故，则球的体积

故选：．

长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的体积公式，即得解．

本题考查了几何体的外接球表面积的计算问题，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：，，

，即．

故选：．

根据指数函数的单调性得出，然后根据对数的运算性质和对数函数的单调性得出，然后即可得出，，的大小关系．

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：因为，

结合已知向量垂直知：．

故选：．

根据向量数量积的运算律求解．

本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：上半部分圆柱的体积为，

下半部分半球的体积为，

此鼎的容积约为．

故选：．

分别计算圆柱的体积与半球的体积，可求此鼎的容积．

本题考查空间几何体的体积的计算，属基础题．

9.【答案】

【解析】解：，

则的虚部为，故A错误，

在复平面内对应的点位于第一象限，故B正确，

，则，故C正确，

，故D错误．

故选：．

根据已知条件，先求出，再结合虚部的定义，复数的几何意义，复数模公式，共轭复数的定义，即可求解．

本题主要考查虚部的定义，复数的几何意义，复数模公式，共轭复数的定义，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：直线平面，

直线与平面无公共点，

又直线，

直线与直线无公共点，

由线与线的位置关系可知，直线与直线平行或者异面，也可能异面垂直．

故选：．

根据线与线、线与面的位置关系判断．

本题主要考查线面平行的性质，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：，

当时，，，

故，故A正确；B错误；

当时，，，

故，故C正确，D错误．

故选：．

根据已知条件，结合，并分类讨论，即可求解．

本题主要考查函数值的求解，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：由图可知，最小正周期，

所以，

对于，因为，所以，

所以，即，

又，所以，此时，B错误；

对于，令，则，，

当时，，A正确；

对于，因为，，

所以在上有个实数解，

又的最小正周期，

所以在上有个实数解，

又，，

所以在上有个实数解，

故在上有个实数解，C正确；

对于，，所以，

当时，，

又，即，所以

所以，

令，则，所以，

而在此区间不单调，所以函数在上不单调，D错误．

故选：．

由图象可知周期，从而求得，可判断；由求得，令求解可判断；利用余弦函数的性质结合周期可判断；由复合函数的单调性可判断．

本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：函数的最小正周期是，

故答案为：．

由条件利用利用的周期等于，可得结论．

本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了？的周期等于，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，则母线长

圆锥的表面积

故答案为：．

先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算．

本题考查了圆锥表面积的计算．是道基础题．

15.【答案】直角

【解析】解：一，，即，

．

是直角三角形．

故答案为：直角．

移项后，利用两角和的正弦公式即可得出，于是．

本题考查了两角和的正弦公式，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：函数，

所以，，，，

，；

故函数最小正周期为，

所以．

故答案为：．

首先求出函数的最小正周期，进一步求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数的值，函数的周期，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．

17.【答案】解：因为在中，已知，，，

则，

由正弦定理，，

则，

．

【解析】利用三角形内角和为可解出，利用正弦定理可解，．

本题考查利用正弦定理解三角形，属于中档题．

18.【答案】解：设点到平面的距离为，

则，

，

，

，

点到平面的距离为．

【解析】根据棱锥体积的公式，利用三棱锥的等积性进行求解即可．

本题考查了点到平面的距离计算，属于基础题．

19.【答案】解：，是第二象限的角，故，

因为，

所以，；

因为，所以．

【解析】根据同角三角函数关系结合是第二象限的角，求出正弦值和正切值；

化弦为切，代入求值．

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．

20.【答案】解：在中，由余弦定理得

那么：

则

在中，，

由正弦定理得：

．

【解析】本题考查了正余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

在中，根据余弦定理求解，可得，即可求解的面积；

在中，，由正弦定理得的长度：

21.【答案】解：证明：，平面，平面，

平面．

证明：在正方体中，可得平面，

又平面，，

由四边形是正方形，可得，

又，，平面，

平面；

解：取与的交点为，连接，

由知平面，

平面，

为直线和平面所成的角，

设正方体棱长为，则，，

，

，

直线和平面所成的角为．

【解析】本题考查线面平行线面垂直的证明，考查线面角的求法，属中档题．

由即可得出平面；

证明，，可证平面；

取与的交点为，连接，证明平面可得为直线和平面所成的