相似三角形六大证明技巧

相似三角形六大证明技巧1.如图，在△ABC中，D，E，F分别在BC，AC，AB上，且满足BD·CE·AF=CD·AE·BF，求证：△ABC∽△DEF2.如图，在△ABC中，D，E，F分别在BC，CA，AB上，且满足BD·CE·AF=CD·AE·BF，若∠BAC=60°，求证：∠EDF=60°模块一相似三角形证明方法之全等三角形的应用模型六：全等三角形的应用如图，已知△ABC中，D，E，F分别在BC，CA，AB上，且满足AD=BE，CD=BF，求证：△ABC≌△DEF，试一试写出具体证明过程AEFBDC应用练习：1.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，CA，AB上，且满足AD=BE，CD=BF，求证：∠EDF=∠BAC2.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，CA，AB上，且满足AD=BE，CD=BF，若∠EDF=60°，求证：∠BAC=60°首先，我们可以根据题目中给出的比例式BF/AB=BE/BC，得出BF/BE=AB/BC。注意到AD是BC的高，所以我们可以得到△ABD∽△ACD，进而得到AD²=BD·CD。接下来，我们可以利用三点定型法证明△ABF∽△BCE：以A、F、C为三点，可以得到△ABF∽△ACD，进而得到BF/AB=CD/AD。结合之前得到的BF/BE=AB/BC，我们可以得到BF/BE=CD/AD=BD/AD。根据相似三角形的性质，我们可以得到△ABF∽△BCE，进而得到BF/CE=AB/BC，即证明了题目中给出的比例式。2.如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，要证明DCCF=AE/AD。在平行四边形ABCD中，连接DE和AF。由于AB∥DC，所以∠ADE=∠DCF。又因为AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠CAF。因此，△ADE∽△DCF。根据相似三角形的性质，得到DE/DC=AE/AD和DE/DC=CF/CC。因此，AE/AD=CF/CC，即DCCF=AE/AD，证毕。3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E。要证明AM^2=MD×ME。在△ABC中，连接AM、MD、ME。由于M为BC的中点，所以BM=MC。又因为DM⊥BC，所以△BDM∽△ABC。根据相似三角形的性质，得到MD/BC=BD/AB和MD/BC=AM/AC。因此，MD×AB=AM×BC，即MD×(AB-AE)=AM×AE。又因为AB=AM+MB，所以MD×MB=AM×AE。因此，AM^2=MD×ME，证毕。【例1】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，要证明FD^2=FB×FC。在△ABC中，连接AF、DE和CF。由于AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠CAF。又因为DE是AD的垂直平分线，所以DE⊥AE。因此，△ADE∽△CAF。根据相似三角形的性质，得到DE/AE=CF/CA和DE/AE=AF/AB。因此，CF/CA=AF/AB，即CF×AB=AF×CA。又因为AB=AF+FB，所以CF×FB=FD^2，即FD^2=FB×FC，证毕。【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，要证明AC×BE=CE×AD。在四边形ABCD中，连接CE和AF。由于AB∥CD，所以∠ECA=∠D.又因为AD∥CE，所以∠CAF=∠A.因此，△ECA∽△DFA。根据相似三角形的性质，得到EC/DF=CA/AF和EC/DF=AE/AD。因此，CA/AF=AE/AD，即AC×AD=AE×CF。又因为AB=AE+EB，所以AE×EB=CE×AD，即AC×BE=CE×AD，证毕。【例3】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠DAE=45°，要证明AB^2=BE×CD。在△ACB中，连接DE和BC。由于∠BAC=90°，所以∠BDE=45°。又因为△ACB为等腰直角三角形，所以BC=AB。因此，△BDE∽△ABC。根据相似三角形的性质，得到BD/AB=AB/BC和BD/AB=DE/AC。因此，AB^2=BD×BC=BD×AB=DE×AC=BE×CD，证毕。【例4】如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，要证明BP^2=PE×PF。在△ABC中，连接BP、PE、PF和CF。由于AB=AC，所以AD⊥BC。因此，△ABC为等腰三角形。又因为AD是中线，所以BD=DC。因此，△BPD∽△FPC。根据相似三角形的性质，得到BP/PC=PD/FC和BP/PC=PE/EC。因此，PD×EC=BP×PE=PC×BF=PC×(BC-BF)=PC×BD=PF×PC，即BP^2=PE×PF，证毕。【例5】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线于F，要证明OB^2=OE×OF。在平行四边形ABCD中，连接OE、OF和BE。由于AB∥DC，所以∠OBE=∠ODC。又因为BE是平行四边形的对角线，所以BE平分∠ABC和∠CDA。因此，△OBE∽△DCF。根据相似三角形的性质，得到OE/DC=BE/BC和OE/DC=OF/CF。因此，BE/BC=OF/CF，即OB^2=OE×OF，证毕。【例6】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F，要证明AB×AF=AC×DF。在△ABC中，连接AD、AE、AF、DF和DE。由于E为AC的中点，所以AE=EC。又因为∠A=90°，所以△ADE∽△ABC。根据相似三角形的性质，得到AD/AB=AB/AC和AD/AB=DE/BC。因此，AB^2=AD×AC=DE×AB=DF×AF+AE×AB=DF×AF+AB×EC=AB×AF+AB×EC=AB×(AF+EC)=AB×AC，即AB×AF=AC×DF，证毕。【例7】如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，要证明BP×CE=CP×BD。在△ABC中，连接DE和BP。由于AD=AE，所以DE平分∠BAC。又因为BP与DE交于点P，所以BP平分∠ABC。因此，△BPD∽△CPA。根据相似三角形的性质，得到BP/PA=BD/AC和BP/PA=CP/AB。因此，BD×CP=BP×AC×AB=BP×CE×AB，即BP×CE=CP×BD，证毕。例8.（1）在△ABC中，DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：$\frac{DP}{PE}=\frac{BQ}{PC}$。（2）在△ABC中，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点。①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②求证：$MN^2=DM\cdotEN$。例8：（1）在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AQ$交$DE$于点$P$，要证明：$\frac{DP}{PE}=\frac{BQ}{PC}$。（2）在$\triangleABC$中，正方形$DEFG$的四个顶点在$\triangleABC$的边上，连接$AG$，$AF$分别交$DE$于$M$，$N$两点。①如图2，若$AB=AC=1$，直接求出$MN$的长；②要证明：$MN^2=DM\cdotEN$。例9：在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$AC$中点，$AE\perpBD$，$E$为垂足，要证明：$\angleCBD=\angleECD$。例10：在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$，$P$为$AD$中点，$MN\perpBC$，要证明$MN^2=AN\cdotNC$。例11：已知平行四边形$ABCD$中，$E$、$F$分别在直线$AD$、$CD$上，$EF\parallelAC$，$BE$、$BF$分别交$AC$于$M$、$N$，要证明：$AM=CN$。例12：已知如图$AB=AC$，$BD\parallelAC$，$AB\parallelCE$，过$A$点的直线分别交$BD$、$CE$于$D$、$E$，要证明：$AM=NC$，$MN\parallelDE$。例13：如图，$\triangleABC$为等腰直角三角形，点$P$为$AB$上任意一点，$PF\perpBC$，$PE\perpAC$，$AF$交$PE$于$N$，$BE$交$PF$于$M$，要证明：$PM=PN$，$MN\parallelAB$。例14：如图，正方形$BFDE$内接于$\triangleABC$，$CE$与$DF$交于点$N$，$AF$交$ED$于点$M$，$CE$与$AF$交于点$P$。要证明：（1）$MN\parallelAC$；（2）$EM=DN$。例15：设$E$、$F$分别为$AC$、$AB$的中点，$D$为$BC$上一点，$P$在$BF$上，$DP\parallelCF$，$Q$在$CE$上，$DQ\parallelBE$，$PQ$交$BE$于$R$，交$CF$于$S$，要证明：$RS=PQ$。【例16】如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.证明：由梯形ABCD可知，$\angleA=\angleB$，$\angleC=\angleD$，则$\angleA+\angleC=180^{\circ}$，即AC和BD相交于点O，且OP=OQ。又因为$\triangleAKN\sim\triangleCQM$，$\triangleBPK\sim\triangleDQN$，所以$\dfrac{KP}{PK}=\dfrac{QN}{NP}=\dfrac{AC}{BD}$，又因为OP=OQ，所以KP=QN。证毕。【例17】如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求FG的值.证明：（1）因为AE是中线，所以AE=EC，又因为AD是角平分线，所以$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，又因为BF⊥AD，所以$\dfrac{BG}{GD}=\dfrac{AB}{AC}$，所以$\dfrac{BG}{GD}=\dfrac{BD}{DC}$，即BG//DC。又因为$\triangleAGB\sim\triangleDGC$，所以$\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{GC}{DC}=\dfrac{1}{2}$，即AH=BH。证毕。（2）因为$\angleBAC=60^{\circ}$，所以$\angleBAG=\angleCAG=30^{\circ}$，又因为$\angleABD=\angleACD=30^{\circ}$，所以$\triangleABD\cong\triangleACD$，所以BD=CD，又因为BF⊥AD，所以$\angleBFG=90^{\circ}-\angleBAG=60^{\circ}$，所以$\triangleBFG$是等边三角形，所以FG=BF=BD/2=CD/2=AC/2-AB/2=2。答案为2。【例18】如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α。求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF。证明：（1）连接AE，CG，EF，EG。因为∠1＝∠2＝∠3＝α，所以$\triangleAEF\sim\triangleCEG$，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，又因为$\triangleAEG$是等腰三角形，所以AE=EG，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}=1$，即EF＋EG＝AE。证毕。（2）连接AF，CE，BF，DG。因为∠1＝∠2＝∠3＝α，所以$\triangleBFG\sim\triangleDCG$，所以$\dfrac{BF}{DG}=\dfrac{CG}{CD}$，又因为$\triangleAEF\sim\triangleCEG$，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，又因为$\triangleAEG$是等腰三角形，所以AE=EG，所以$\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AE}{CE}$，所以$\dfrac{BF}{DG}+\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{CG}{CD}+\dfrac{AE}{CE}$，即$\dfrac{BF}{DG}+\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{AF}{CD}+\dfrac{CE}{CD}=1$，所以BF+EF＋CG=AF＋CE。证毕。4.在三角形ABC中，AB=BC=20cm，AC=30cm。点P从A出发，沿着AB边以每秒4cm的速度向B点运动；同时，点Q从C出发，沿着CA边以每秒3cm的速度向A点运动。当P点到达B点时，Q点随之停止运动。设运动的时间为x秒。(1)当x为多少时，PQ平行于BC？(2)△APQ与△CQB是否相似？如果是，求出AP的长度；如果不是，请说明理由。5.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm。点P沿着AB边从A开始以2cm/s的速度向B点移动，点Q沿着DA边从D开始以1cm/s的速度向A点移动。如果P和Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（t<6）。(1)当t为多少时，△QAP是等腰直角三角形？(2)当t为多少时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？模型三：射影定理在△ABC中，CH⊥AB于H。已知∠ACB=90°。证明AC²=AH·AB，BC²=BH·BA，HC²=HA·HB。模型四：类射影已知AB²=AC·AD。证明BD/AB=BC/AC。模型五：一线三等角在△BEF和△CFD中，∠B=∠C=∠EDF。证明△BDE∽△CFD（AA）。2.以下为修改后的文章：△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B。(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，列出与△ADE相似的三角形：△ABE∼△ACD，△ADE∼△ABC。(2)如图2，将∠MDN绕点D逆时针旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），列出所有相似的三角形：△MDE∼△ABC，△NDF∼△ACB，△NDF∼△MDE，证明如下：由于∠MDN=∠B，所以∠NDF=∠C，因此△NDF∼△ACB。又因为∠MDE=∠ABC，所以△MDE∼△ABC。根据相似三角形的性质，可得到△NDF∼△MDE。(3)在图2中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积时，求线段EF的长。由于△ABC是等腰三角形，所以它的面积为(1/2)×10×8=40。设EF=x，则△DEF的面积为(1/2)×x×6=3x。因为△DEF与△ABC相似，所以(DF/BC)²=△DEF/△ABC=3x/40。由于DF=BC-BD=6，所以(6/12)²=3x/40，解得x=5。因此，线段EF的长为5。3.如图，点P在线段AB上。(1)求证：AP/PB=DP/PC。(2)若AP=2，PB=3，DP=4，线段CD的长度为5，且直线EPF平行于AB，交CD于F，求EF的长度。(1)连接DP、CP，由相似三角形可得：△DPC∼△APB，因此AP/PB=DP/PC。(2)由平行线性质可得∠EPF=∠B，所以△EPF∼△APB。因此，EP/PB=EF/AB，即EF=(EP/PB)×AB。又因为AP/PB=DP/PC，所以EP/PB=DP/PC×(EP/AP)。代入已知条件，可得：EF=(4/5)×(2+3)=4。因此，EF的长度为4。例8.（1）在三角形ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，要证明DP/PE=BQ/PC。证明过程如下：连接BP、CQ，由平行线分线段成比例可知PE/PC=DE/BQ，DP/PC=AE/AQ，因此DP/PE=AE/DE×BQ/PC，又因为AE/DE=AP/DP，BQ/PC=BQ/BG×CG/PC=AP/DP，所以DP/PE=AP/DP×AP/DP=（AP/DP）²，即DP/PE=BQ/PC。（2）在直角三角形ABC中，正方形DEFG的四个顶点在三角形ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点。要证明AB²=AM×AN。证明过程如下：由勾股定理可知AB²=AC²-BC²=(AC-BC)×(AC+BC)=2AC×BC×sin∠BAC/2。又因为∠DAG=∠BAC/2，∠DGA=45°，所以△DAG是一个45-45-90的等腰直角三角形，所以AD=AG=AC/√2，同理，△CAN是一个45-45-90的等腰直角三角形，AN=AC/√2。因此AM=AD-DM=AC/√2-BC/√2=(AC-BC)/√2，AN=AC/√2，所以AB²=2AC×BC×sin∠BAC/2=2(AM+BC/√2)×BC/√2×sin∠BAC/2=2AM×BC/√2×sin∠BAC/2+BC²/2=AM×AN+BC²/2=AM×AN+AD²/2=AM×AN+DM²/2=AM×AN+EN²/2=AM×AN。因此，原命题得证。求证：DE⊥BC.证明：首先，连接DE并延长交AC于点F，如图所示：则由中线定理可得，AE=EC，又由角平分线定理可得，BD/DC=AB/AC，即BD=AB/AB+AC×BC，DC=AC/AB+AC×BC，代入AE=EC可得AE=AB+AC/2，EF=AC/2-AB/2=BC/2，由勾股定理可得DE²=AD²-AE²=BD×DC-EF²=AB×AC×BC/(AB+AC)²-BC²/4，又因为AC＞AB，所以DE²＞0，故DE⊥BC.在图中，连接BF、DE、CG、AH，易知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=BC=4，AC=4√2，EG∥AC，FG∥BC，则FG/BC=EG/AC=1/2，故FG=2，DH=3，因为AH⊥BC，所以AH=AB-BH，又因为AB=BC，所以AH=BH，证毕。由△AFC∽△BEC，得AE/CE=AF/BE=AC/BC=√2，所以AE=3√2，CE=2√2，EF=AE-AF=√2，EG=1/2*AC=2√2，CG=CE-EG=2，EF+EG=2+√2=AE，证毕。因为AD=AB，所以BD=4-AD，DE/BE=BD/AB，即DE/2=(4-AD)/4，所以DE=2-AD/2，又