圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论本文介绍了椭圆和双曲线的基本概念和性质。椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1，其中a、b分别为长轴和短轴的半径。离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。双曲线的标准方程为x2/a2-y2/b2=1，其中a、b分别为双曲线的参数。双曲线有两个分支，分别向上下延伸。焦点到中心的距离为c=sqrt(a2+b2)。椭圆和双曲线都有两个焦点和两个顶点。焦点到顶点的距离为半径，焦点到中心的距离为焦半径。焦半径的范围为0<=r<=a。通径是过焦点且垂直于长轴的直线段，焦点弦是过焦点且与椭圆或双曲线相交的直线段。最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。焦点弦长为2ab/sqrt(a2-b2)。垂径定理指出，过椭圆或双曲线上一点的垂线段的两端点到焦点的距离之和等于常数2a或2b。焦三角形是以椭圆或双曲线的焦点为顶点的三角形，其内角和为180度。1.过定点P(0,t)的直线l与双曲线交点个数问题：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，斜率为k的直线l过点P与双曲线相切时的斜率为k0。(1)当k<=k0时，直线l与双曲线没有交点；(2)当k=k0时，直线l与双曲线有一个交点；(3)当k>k0时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的两支上。2.离心率公式：双曲线的离心率为e=sinθ/(sinα-sinβ)；椭圆的离心率为e=sinθ/(sinα+sinβ)。3.椭圆的中点弦长公式：如图，已知直线l与椭圆相交于点A,B，点M为AB的中点，O为原点，则OM=k*AB，其中k=b^2/(a^2)。4.双曲线的中点弦长公式：如图，已知直线l与双曲线相交于点A,B，点M为AB的中点，O为原点，则OM=k*AB，其中k=-b^2/(a^2)。5.周角定理：如图，已知点A,B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零，则kPA/b^2+kPB/a^2=0；如图，已知点A,B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A,B的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零，则kPA/b^2-kPB/a^2=0。6.切线方程：已知点P(x,y)是椭圆上一点，则椭圆在点P处的切线方程为xx/a^2+yy/b^2=1；已知点P(x,y)是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为xx/a^2-yy/b^2=1。1.当$k<k$时，直线$l$与双曲线没有交点；当$k=k$时，直线$l$与双曲线只有一个交点；当$k>k$时，直线$l$与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上。2.如图，双曲线$x^2/a^2-y^2/b^2=1$的焦点为$F(c,0)$，过点$F$作垂直于双曲线的其中一条渐近线$FH$，垂足为$H$，$O$为原点，则$OH=a$，$FH=b$。3.点$P$是双曲线$x^2/a^2-y^2/b^2=1$上任意一点，则点$P$到双曲线的渐近线的距离之积为定值$a^2b^2/(a+b)^2$。4.点$P$是双曲线$x^2/a^2-y^2/b^2=1$上任意一点，过点$P$作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于$M,N$两点，$O$为原点，则平行四边形$OMPN$的面积为定值$ab$。抛物线的结论：如图，抛物线方程为$y=2px(p>0)$，准线$x=-p$与$x$轴相交于点$P$，过焦点$F(p,0)$的直线$l$与抛物线相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，$O$为原点，直线$l$的倾斜角为$\alpha$。1.$x_1+x_2=-\dfrac{2p}{\sin2\alpha}$。2.焦半径：$AF=\sqrt{(x_1+p)^2+y_1^2}$，$BF=\sqrt{(x_2+p)^2+y_2^2}$，$AB=x_1+x_2+2p\cos\alpha$。3.焦点弦：$AB=\dfrac{4p}{\sin2\alpha}$。4.$AF,BF$的数量关系：$AF\cdotBF=\dfrac{4p^2}{\sin^22\alpha}$。5.三角形$AOB$的面积$S_{\triangleAOB}=p^2/\sin2\alpha$。6.以焦点弦$AB$为直径的圆与准线相切；以焦半径$AF$为直径的圆与$y$轴相切。7.直线$PA,PB$的斜率之和为零（$k_{PA}+k_{PB}=0$），即$\angleAPF=\angleBPF$。8.点$A,O,N$三点共