初等模型与数据处理-初等模型（数学建模课件）

包汤圆初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析模型的建立与求解一、问题的提出与分析通常来讲，1公斤的面搭配1公斤的馅料，刚好包100个汤圆。现在，1公斤的面不变，但馅比1公斤多了，问应多包几个(每个汤圆包小一些)，每种包法汤圆的大小一样、面皮厚度一样、面和馅料的比例一样方案一：包小汤圆，总数将大于100个方案二：包大汤圆，总数将小于100个包汤圆问题还是少包几个(每个汤圆包大一些)?一、问题的提出与分析分析：若将一个大汤圆的面皮分成两份，做成两个小汤圆面皮。那是一个大汤圆面皮用掉的馅料多?还是两个小汤圆面皮用掉的馅料多?一个大汤圆=两个小汤圆一个大汤圆<两个小汤圆一个大汤圆>两个小汤圆包大包小都一样包小汤圆会用掉更多的馅料（方案一）包大汤圆会用掉更多的馅料（方案二）一、问题的提出与分析分析：若将一个大汤圆的面皮分成两份，做成两个小汤圆面皮。那是一个大汤圆面皮用掉的馅料多?还是两个小汤圆面皮用掉的馅料多?一个大汤圆的体积大，还是两个小汤圆的体积大?一、问题的提出与分析分析：若将一个大汤圆的面皮分成两份，做成两个小汤圆面皮。观察：那是一个大汤圆面皮用掉的馅料多?还是两个小汤圆面皮用掉的馅料多?一、问题的提出与分析归结为数学上面积和体积的问题圆面积公式球表面积公式面皮的面积即为汤圆的球表面积。

球体积公式二、模型的建立与求解

假设大面皮的半径为R，则其面积汤圆的体积

k

为常数，则面皮的面积即为汤圆（球形）的球表面积。

，加入馅料后包成汤圆。解得不妨令假定球形汤圆的半径为，则二、模型的建立与求解思考：小面皮的面积s

与小汤圆馅料的体积v

之间是怎样的关系式?解答：小面皮的面积

s

与小汤圆馅料的体积

v之间的关系也是:其中，为常数。二、模型的建立与求解现在来比较V

和nv

的大小。当时，.结论：为了包上更多馅，应该少包几个，每个汤圆包大一些。因故：小结包汤圆问题归结为数学上面积和体积的问题。1面皮一定的情况下，包大汤圆所需的馅料更多。2

原本1公斤面搭配1公斤馅料，可包100个汤圆。现在仍然用这1公斤面，每个汤圆包大一些，只包50个汤圆，那需要多少馅料呢？思考题交通管理黄灯问题初等模型与数据处理知识点问题提出问题分析模型的建立与求解一、问题提出背景一、问题提出背景绿灯黄灯红灯黄灯时间亮多久呢？问题二、问题分析分析1、黄灯的作用是什么？（警示和提醒）黄灯提醒司机将要由绿灯变为红灯，注意速度，及时停车。2、主要考虑的是什么车辆？机动车辆。

驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口。如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车。二、问题分析分析：汽车过马路的模拟画面二、问题分析分析：情况一：当黄灯亮起时车子到路口的距离小于L时不能停车，否则会冲出路口.情况二：大于L时必须停车，情况三：等于L时可以停车也可以通过路口。LDl假设停车线到路口的距离L，路口宽度D，车身长度为l二、问题分析分析：根据上述分析，确定停车线到街口的距离L(1)法定速度v0，(2)反应时间t1，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。（3）驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。L1L2三、模型建立与求解模型建立：

设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程摩檫力三、模型建立与求解模型求解：积分

积分三、模型建立与求解模型求解：将代入，即可求得停车距离为据此可知，停车线到路口的距离应为：

等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。三、模型建立与求解模型求解：

记街道的宽度为D（D容易测得），平均车身长度为l，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：小结黄灯的作用是提醒司机交通灯即将变成红灯，注意速度及时停车。同时，黄灯也可确保已经越过停止线的汽车顺利通过路口。1根据物理学知识，建立微分方程并求解。2

在一些比较繁华的路口，即使有交通灯，但因红、绿灯时间设置不合理，导致一边没有车通过，而另一边却排了很长的队伍。现假定车流均匀，如何安排交通灯时间，才能使路口的交通达到最大限度的畅通？

思考题路障间距的设计初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析模型假设模型的建立与求解一、问题的提出与分析

校园、居民小区的道路中间，常常设置用于限制汽车速度的路障。背景问题如果要限制车速不超过40km/h，应该相距多远设置一个路障？一、问题的提出与分析问题

如果要限制车速不超过40km/h，应该相距多远设置一个路障？分析

汽车通过路障时速度近于零，过路障后加速。

车速达到40km/h时因为前面有下一个路障而减速，至路障处车速又近于零。

如此循环达到限速目的。二、模型假设假设：1．假设空气阻力、天气情况、除去地面摩擦力其他形式的摩擦力都不影响车速；3．将汽车看作为一个质点，经过路障时速度为0；2．相邻路障之间，汽车先做等加速运动，再做等减速运动；三、模型的建立与求解建模准备：需要得到汽车的加速度和减速度加速行驶的测试数据方法一：查阅资料方法二：进行测试速度(km/h)010203040时间(s)01.63.24.05.0减速行驶的测试数据速度(km/h)403020100时间(s)02.24.05.56.8三、模型的建立与求解模型建立：相邻路障间行驶总距离三、模型的建立与求解模型求解：利用测试数据求加速度a1，a21m/s=3.6km/hx=[010203040];y=[01.63.24.05.0];x1=x./3.6;A=polyfit(x1,y,1)z=polyval(A,x1);plot(x1,y,'k+',x1,z,'r')title('加速行驶')xlabel('速度v(单位m/s)')ylabel('时间t(单位s)')结论：设计路障间距为65m小结建模过程中的基本、关键步骤：合理的简化假设；利用问题中蕴含的物理关系；根据测试数据估计模型参数。1设计路障间距为65m。2

考虑路障高度的设计(太高车子太颠簸，太低又起不到限速效果).思考题双层玻璃窗的功效初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析模型假设模型的建立与求解一、问题的提出与分析

东北地区大部分建筑物的窗户都是双层的，即窗户上装有两层玻璃且中间留有一定的空隙。据说可以减少热量损失，起到保暖和节省燃料的作用？背景问题

双层玻璃窗与相同材料、厚度、面积的单层玻璃窗相比，可以减少多少热量损失？一、问题的提出与分析分析

双层玻璃窗与相同材料、厚度、面积的单层玻璃窗相比，可以减少多少热量损失？双层玻璃厚度之和等于单层玻璃厚度双层玻璃窗与单层玻璃窗的室内、室外温度相同二、模型假设假设：1．热量的传播过程中只有传导没有对流，即假定房间的密封性能很好；3．玻璃材料均匀，热传导系数是常数.

2．热传导过程已处于稳定状态，室内温度和室外温度保持不变，即沿着热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；双层玻璃每层厚度d，空隙厚度l；单层玻璃厚度2d，玻璃热传导系数，干燥空气热传导系数.双层窗和单层窗单位时间、单位面积传导的热量分别为,.三、模型的建立与求解模型建立：物理学中稳定状态下的热传导定律：此即牛顿热传导方程。单位时间、单位面积由高温端向低温端传导的热量其中d表示材料厚度，ΔT表示两端温度差，k是材料的热传导系数三、模型的建立与求解模型建立：

根据牛顿热传导方程，双层玻璃在单位时间里通过单位面积传导的热量（即热量流失）为牛顿热传导方程（其中表示内层玻璃的外侧温度，表示外层玻璃的内侧温度）三、模型的建立与求解模型建立：

双层玻璃在单位时间里通过单位面积传导的热量为消去，得到单层玻璃在单位时间里通过单位面积传导的热量为结论：双层与单层玻璃传导的热量之比取决于各参数。三、模型的建立与求解模型求解：

双层与单层玻璃传导的热量之比为，显然

普通玻璃的热传导系数为

不流通的干燥空气的热传导系数为结论：材料一定，双层与单层玻璃传导的热量之比取决于空隙与玻璃厚度之比。三、模型的建立与求解模型求解：结论：双层玻璃窗与相同材质的单层玻璃窗相比，可减少94%以上的热量损失。小结在合理、简化的假设下运用基本的物理规律和初等数学方法，得到了非常简单的数量结果。1双层玻璃窗与相同材质的单层玻璃窗相比，可减少94%以上的热量损失。2

实际上房间通过墙壁、天花板、地板损失的热量更多，于是人们常使用隔热墙等减少热量损失，试建立数学模型分析隔热墙减少热量损失的原理。思考题银行存款初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析定期存储的利息计算活期存储的利息计算一、问题的提出与分析背景无需任何事先通知，存款户可随时存取和转让活期存储银行与存款人双方在存款时事先约定期限、利率，到期后支取本金和利息定期存储一、问题的提出与分析背景利率是指一定时期内利息额与借贷资金额即本金的比率。根据计量的期限标准不同，表示方法有年利率、月利率、日利率三种。年利率1.75%月利率1.458‰日利率0.486‰o一、问题的提出与分析问题五万元本金放银行存储一年，采用何种存储方式可获最高利息？分析

利息=本金×利率二、定期存储的利息计算定期存储：定期存储时间三个月半年一年利率1.351.551.75五万本金，定期存储一年五万本金，定期存储半年，结算利息后，本息再存储半年二、定期存储的利息计算定期存储：定期存储时间三个月半年一年利率1.351.551.75五万本金，定期存储三个月，结算利息后，本息再存储三个月，如此反复四次三、活期存储的利息活期存储：中国银行2020年的活期存储利率为0.3%，结息方式为：

按季结息，每季度末月20日结息一次，以结息日挂牌公告的活期存款利率计息，利息并入本金。未到结息日清户者，按清户日挂牌公告的活期存款利率算到清户前一日止。五万本金，活期存储一年三、活期存储的利息活期存储：每月去柜台办理一次存取每天去柜台办理一次存取三、活期存储的利息活期存储：

对此问题做如下改进：假设在一年中等间隔地存取有限次，不妨计为n次，然后再令n趋向于无穷大，利息是否也会无穷大？等间隔存取n次，n趋向于无穷大结论：定期存储中增加存取次数，利息越来越少；但是活期存储中增加存取次数，利息却越来越高，但也不会无限增大。小结利用数学知识解析银行存款问题1本息结算公式为：本金

(1+利率)2×

现在有本金50000，期限是从现在开始到一年后的今天，同学们考虑下，怎样理财能获得最大收益，不限制理财平台，但必须合法，远离非法借贷平台。思考题住房贷款--等额本金初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析等额本金还款法一、问题的提出与分析背景

当前商品房价格一涨再涨，居高不下，动辄上百万元。对大部分的年轻人来讲，要想安家买房，全款购买压力太大，可以考虑个人住房贷款。一、问题的提出与分析背景等额本金等本不等息，递减还款。每月等额偿还贷款本金，贷款利息随本金逐月递减，直至期满还清等额本息每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清一、问题的提出与分析问题

现在为购买住房必须向银行申请个人住房贷款20万元，并分30年还清，选择等额本金的还款方式，每月需还多少？分析每月还款额=贷款本金/贷款期月数+（本金-已归还本金累计额）×月利率二、等额本金还款法模型准备：贷款期限贷款一年以内（含一年）贷款一致五年（含五年）贷款五年以上年利率4.35%4.75%4.90%截止2020年1月13日，央行贷款基准利率是：二、等额本金还款法模型建立：本金总额/还款月数每月本金每月利息（本金总额-累计已还本金）×月利率二三一二、等额本金还款法模型建立：贷款年利率r(月利率r/12)贷款本金总额m贷款期年数n(贷款期月数12n)办理按揭之后第k月，应付本息xk每月应付本金办理按揭之后第k月应付利息二、等额本金还款法模型求解：fork=1:360;m=200000;n=30;r=0.049;x(k)=m/(12*n)+(m-m*(k-1)/(12*n))*(r/12);x=x'end总结：累计还款总额为347408.33元，累计支付利息147408.33元，累计支付利息占本金总额的比例为73.7%。小结等额本金还款法的数学模型,关于第k月应付本息金额xk,是一个递减的等差数列。1累计支付利息占本金总额的比例为73.7%。2

某城市居民购买一套住房，申请商业性个人贷款40万，年利率4.9%，贷款期限25年。若在整个贷款期内年利率不变，用等额本金还款法，每月需还多少钱？思考题住房贷款--等额本息初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析等额本息还款法一、问题的提出与分析背景等额本金等本不等息，递减还款。每月等额偿还贷款本金，贷款利息随本金逐月递减，直至期满还清等额本息每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清一、问题的提出与分析问题

现在为购买住房必须向银行申请个人住房贷款20万元，并分30年还清，选择等额本息的还款方式，每月需还多少？分析贷款年利率r(月利率r/12)贷款本金总额x0贷款期年数n(贷款期月数12n)每月支付本息b办理按揭之后第k月剩余本金xk每月利息=本月剩余本金×贷款月利率每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金每月月供额=每月本金+每月利息二、等额本息还款法模型建立：1234办理按揭之后第一月办理按揭之后第二月办理按揭之后第k月二、等额本息还款法模型求解：总结：累计还款总额为1061.5×360=382123.23元，累计支付利息182123.23元，累计支付利息占本金总额的比例为91.06%。当k=12n时，有x2n=0成立，即利用MATLAB求解，解得b=1061.5元。symsbx=200000;r=0.049;n=30;solve((x-(12*b)/r)*((1+r/12)^(12*n))+(12*b)/r)double(ans)ans=1.0615e+03小结等额本息还款法的数学模型是关于第k月剩余本金xk的一阶线性常系数非齐次差分方程，本质上是等比数列。1等额本息还款法比等额本金法支付的利息更多。2

某城市居民购买一套住房，申请商业性个人贷款40万，年利率4.9%，贷款期限25年。若在整个贷款期内年利率不变，用等额本息还款法，每月需还多少钱？思考题桌子能否放平？初等模型与数据处理知识点问题的提出与分析模型假设模型的建立与求解一、问题的提出与分析将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，问是否总