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文档简介

§2.2算符的代数运算在量子力学中,经常出现不可对易线性算符的代数运算。在这一节里举几个比较复杂的算例,并用代数方法证明两个常用的算符等式。多重对易式设A,B为两个线性算符,互不对易.定义多重对易式1§2.2算符的代数运算在量子力学中,经常出现不可对易显然,对于型的多重对易式,有利用上式及其对易关系,容易得出对于型的多重对易式亦有类似的公式。例1证明:[证]利用数学归纳法1)当n=1时,上式变为这是显然的。2显然,对于型的多重对易式,有利用上2)若原式成立,即左边用A作用,利用式有看上式右端第二项,我们希望这两项能合并32)若原式成立,即左边用A作用,利用式有看上式右端第二项,为此,令,则与第一项进行比较进行傀标代换,第二项变为同样第一项也相应变为4为此,令,则与第一项进行比较进行傀这样原式就变为考虑两项求和符号后第一个分式的特点,可以将两个求和上下限写成一致,即5这样原式就变为考虑两项求和符号后第一个分式的特点,可以5从而有所以,若原式对n时成立,则n+1时也成立。3)已知n=1时成立,所以原式对任意整数n都成立。下面利用这个结论来证明一个常用的公式:[证]利用算符指数函数的定义,有所以6从而有所以,若原式对n时成立,则n+1时也成立。3)已知n利用上例结论,当时则﹟7利用上例结论,当时则﹟7下面我们把条件放宽一些:由此证明几个关系.虽然,但下面规定一种符号,其意义是,不管A,B是否对易,中A一律写在B前面所得的式子,如8下面我们把条件放宽一些:由此证明几个关系.虽然显然它符合普通代数中的二项式定理我们知道,根据定义当时,(利用定义式可以证明)现在规定可以证明(不再证)9显然它符合普通代数中的二项式定理我们知道,根据定义当(1)令,则有(2)另外,与有如下关系例5证明Glauber公式[证]在一些公式证明过程中很有用。10(1)令,则有(2)证毕。﹟11证毕。﹟11定义:上面在右矢空间中定义了算符A由于在右矢空间中每一个算符A都对应着左矢空间中的某一个算符,这个左矢空间中与A对应的算符,我们称作,称为算符A的伴算符§2.3作用于左矢的算符一、伴算符的定义域和值域是的定义域和值域的左矢空间的对应区域。12定义:上面在右矢空间中定义了算符A由于在右矢空间中每一伴算符是相互的,下面予以证明。3.伴算符的性质2.运算规则一般表示,但可定义这样就是右矢空间中一个确定的算符了,可省去括号。13伴算符是相互的,下面予以证明。3.伴算符的性质2.运算规[证]取(1)把上式看作左矢与右矢的内积,则(2)把上式看作左矢与右矢的内积,则比较(1)(2)有因为是各自在一定范围内的任意矢量所以故伴算符的伴算符就是原算符本身。14[证]取(1)把上式看作左矢与右矢左矢和右矢是两个互为对偶的空间:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.这种能左能右的性质是对偶空间优于单一空间的主要之点.当然也可定义二、一条定理[证](1)必要性:是明显的定理:在复矢量空间中,若算符A对其定义域中的任意满足,则必有(2)充分性:在A的定义域中取两任意矢量,则15左矢和右矢是两个互为对偶的空间:算符向右可以作用于右矢,向左由此得若对任意满足,则上式右方为0所以有既然上式对任意成立,可将上式中的换为相应左矢为,则有16由此得若对任意满足从而有由于是任意左矢,故有但是任意右矢,所以有﹟前面我们学习了作用于左右矢的算符的性质,即下面看单一空间的情况。17从而有由于是任意左矢,故有但是任意右矢,三、单一空间的情况对式右边右矢与左矢的内积单一空间说法:右矢与右矢的内积这正是伴算符的定义式,即在单一空间中常被称为的厄米共轭算符。即若已知算符,有存在满足上式,则即的伴算符。﹟18三、单一空间的情况对式右边右矢与左矢1.定义:§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H满足则算符H就是厄米算符,又称自伴算符。在单一空间中称为自轭算符。2.定理:算符H为厄米算符的充要条件是对其定义域中所有的矢量满足[证](1)必要性:对任意有191.定义:§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H满(2)充分性:若对任意,,则即因为上式对任意都成立,由上一节所介绍的定理,必有﹟20(2)充分性:若对任意,二、等距算符1.定义:若算符U满足,则为等距算符。2.性质定理:以下三命题是等价的(1)(2)对任意和,U满足(3)对任意都成立。[证]依次证明前一条是后一条的充分条件若,则21二、等距算符1.定义:若算符U满足,则为等距令,则即三、幺正算符1.定义:若算符U满足下列性质即,则该算符为幺正算符。显然它是等距算符。22令,则即三、幺正算符1.定义:若算符U满足下列2.性质定理除满足等距算符的性质外,另有两个性质定理。定理1在矢量空间中,若是一组基矢,则也是一组基矢。[证]只需证明正交归一完备即可。∴正交归一满足。又取任意两个矢量,因为∴完备性满足(Parseval等式)。232.性质定理除满足等距算符的性质外,另有两个性质定理。定理定理2若和是同一空间的两组基矢,则两者必能由一个幺正算符联系起来。即存在一个幺正算符U,使得[证]两组基矢的数目必定是相同的。定义一个算符A,使任取二矢量,由于都是完全的,满足Parseval等式。故24定理2若和是同一空间的两组基同样,利用可以得到(因为总可以定义一个算符B,使得,这个B就是)得证。即所以联系两组基矢的算符A必然是幺正算符。25同样,利用可以得到(因为总可以定义一个四、幺正变换1.矢量的幺正变换把一个矢量空间的全部矢量都用一个幺正算符作用,对其中每一个矢量和,各得一个新矢量和。这一操作称为矢量的幺正变换。性质:由幺正算符的性质可知,幺正变换不改变矢量的模、内积及正交关系。因此一组基矢经过幺正变换后仍是这个空间的一组基矢。从这一点上看,在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量(在多维空间)的转动。26四、幺正变换1.矢量的幺正变换把一个矢量空间的全部矢量都2.算符的幺正变换设有一个确定的算符A,它对空间中每一个矢量作用得到新矢量:现在用幺正算符U对空间中全部矢量幺正变换设联系与的算符为,即,则为算符A的幺正变换。下面求与的关系。显然272.算符的幺正变换设有一个确定的算符A,它对空间中每一个而∴对任意有故就是算符与矢量的幺正变换。上式与式由此可以看出:一个包含矢量和算符的关系式,经过幺正变换后其形式不变。因为28而∴对任意有故就是算符与矢量的幺正变换。上式与式由此§2.5投影算符一、定义将作用到右矢和左矢上:显然得到的是新的右矢和左矢,故实际上是一个算符。但这类算符一般意义不大。有用的是由基右矢或基左矢构成的算符,叫投影算符。在空间中取一组基矢,其投影算符是29§2.5投影算符一、定义将作用到右矢和左这是基右矢乘以矢量在上的分量。作用到右矢上得若沿用三维位形空间的术语,这就是右矢在上的投影。称为投向子空间的投影算符。▲对算符,定义将其作用到任意右矢上得30这是基右矢乘以矢量在上的分量。作作用结果是在三个基右矢所张的子空间中的一个矢量。这是右矢投向这个子空间的投影。故称为三维投影算符。二、性质1.投影算符是线性算符和厄米算符1)线性算符是显然的2)厄米算符的证明(要求会证明):对任意,设,有显然是实数。利用算符厄米性充要条件,故是厄米算符。31作用结果是在三个2.投影算符的幂等性,即对和,显然有﹟322.投影算符的幂等性,即对和,显然有﹟32二、全投影算符若中的取和是对所有基矢的,则称P为全投影算符。对任意矢量,有这是一个非常有用的关系,称为基矢的完全性关系。根据完全性定理,上式中的取和正是本身,由此我们得出33二、全投影算符若中的取和是对所有基上式左方是一个向整个空间投影的投影算符,因而矢量投影后不会发生任何变化。上式的关键是基矢一个不能少,否则不能构成完全性关系。此关系很有用,在一些关系的证明中经常作为桥梁来使用。﹟34上式左方是一个向整个空间投影的投影算符,上式的关键是基矢一个§3本征矢量和本征值§3.1定义一、本征矢量和本征值对于算符A,若有非零矢量满足下式式中a为常数。则称为算符A的本征矢量,而a为相应的本征值。上式称为本征值方程。本征值一般是复数,但也可以为0.算符A虽然可以不加限制,但是量子力学中用到的主要是厄米算符的本征值问题。35§3本征矢量和本征值§3.1定义一、本征矢量和本征值对于二、厄米算符本征值问题的两个重要性质1.在复空间中,厄米算符的本征值都是实数[证]若A是厄米算符,用左乘式两边,有已经知道是实数所以a必为实数。2.厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交[证]设但36二、厄米算符本征值问题的两个重要性质1.在复空间中,厄米算符则又由此得即但所以即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。37则又由此得即但所以即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交若是A的一个本征矢量,则也是属于同一个本征值的本征矢量;若都是

A

的本征矢量且本征值相同,则它们的线性叠加也是A的属于同一本征值的本征矢量。三、本征矢量问题—简并性厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个?这实际上是一个简并度的问题。1.问题的提出38若是A的一个本征矢量,则也是属于同一个所以算符A的属于同一个本征值a的本征矢量全体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称为算符A的属于本征值a的本征子空间。2.简并本征子空间的维数s称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是s重简并的。当简并度为1时,通常称为无简并。为了指出s维本征子空间,只需给出其中一组s个线性无关的本征矢量即可。39所以算符A的属于同一个本征值a的本征矢量全2.则A,B有相同的本征值谱,且每一本征值都有相同的简并度。3.相关的定理定理:若A,B两算符相似,即对于有逆算符R,有[证]设已知A的全部本征值和相应的本征矢量,利用,用R从左作用上式两边,得即40则A,B有相同的本征值谱,且每一本征值都3.相关的定理定理:下面设A的一个本征值是s重简并的,属于这个本征值的s个线性无关本征矢量记为。由于R有逆,也必为线性无关。所以算符B的属于本征值的本征矢量至少为s个,即简并度不会比A小。另外利用用同样的方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。因为R有逆,所以不为零所以所有也都是B的本征值。41下面设A的一个本征值是s重简并的,属于这个本所用反证法:如果线性相关,则存在,从而有比如由此可以得到因为R有逆,上式两边用作用后有这与线性无关相矛盾。命题得证。42用反证法:如果§3.2本征矢量的完全性一.问题的提出在一个确定的Hilbert空间中,一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种:1)不简并的本征矢量是彼此正交的;2)s重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s维的本征子空间,并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢作为代表,那么其线性叠加都是算符A的对应于同一本征值的本征矢量。43§3.2本征矢量的完全性一.问题的提出在一个确定在进行归一化后,算符A的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和。这个总数亦可能是无穷大。问题:一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所在空间中是否完全?二、完全性和封闭性一个确定的空间中,一组正交归一矢量集的完全性的含义是:空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。44在进行归一化后,算符A的所有不简并和简并的问题:一组正交归一矢量集的封闭性的含义是,这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量(否则此矢量集应再加一矢量)。二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间,二者是等价的。对有限维空间予以证明:定理:在有限维空间中,厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。[证]:设空间是n维的,厄米算符为A。我们只需证明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。45一组正交归一矢量集的封闭性的含义是,这个空间中不存在A的本征值方程为这组基矢共有n个。为求,在此空间中取一组已知的基矢将矢量按照这组基矢展开其中。知道了一组就知道了一个。将的展开式代入本征值方程,并用与方程两边作内积,得46A的本征值方程为这组基矢共有n个。为求,在此上式是关于未知数线性齐次方程组,可以写成式中是复数,对于给定的A,它们是已知的,而是待求的。会展开(j=1)(j=2)…式中a是待定的本征值。这一方程有非零解的条件是系数行列式为0:47上式是关于未知数线性齐次方程组,可以写成式中这是一关于a的n次方程,称为久期方程,有n个根当这些根互不相同时,对于每一个根,上述方程有一组非零解;所求得的那些根,就是厄米算符A的本征值。当每个都不同时,可得线性方程组的n组解从而得到相应的n个本征矢量。48这是一关于a的n次方程,称为久期方程,有n个根当这前面已经证明过,当本征值不同时,厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了A的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交完全集。总之,在n维空间中,不论厄米算符A的本征值有无简并,总有n个线性无关的本征矢量存在,总可以构成空间的一组正交完全集。当系数行列式有等根时,如是一个三重根,那么对于这个a值,不仅系数行列式本身为0,它的n-1,n-2阶的全部子行列式也都为0;对于这样的a,齐次方程也有3个线性无关的。于是对于这个三重简并的本征值,空间中有3个线性无关的本征矢量存在,即有一个三维的本征子空间存在.49前面已经证明过,当本征值不同时,厄米算符的本征矢当A的本征值没有简并时,这组是完全确定的。而当有简并时,就有许多组这样的正交归一完全集存在,因为在本征子空间中,选取n个互相正交的矢量作为代表(不要求归一),其选法是很多的。三、基矢的选择可用它们作为这个空间的一组基矢。把一个厄米算符A的全部(彼此正交的)本征矢量编上一定的次序(通常是按照本征值由小到大的次序),就可以构成这个空间的一组正交归一完全集,它们满足完全性关系50当A的本征值没有简并时,这组对于无穷维Hilbert空间,厄米算符具有离散本征值的情况,虽然没有经过数学上的一一证明,在物理上总是认为,厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完全集。进行正交化以后,完全性关系成立。写成通常的下标形式,有﹟在物理上,常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢,甚至用厄米算符的本征矢量去“构造”一个Hilbert空间,原因在此。51对于无穷维Hilbert空间,厄米算符具有离散本征值对于一个Hilbert空间,每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集(条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间)。§3.3厄米算符完备组一、基矢的选择问题但是当此厄米算符的本征值有简并时,对应于这一本征值的线性无关的本征矢量的数目与简并度相同,这时由本征矢量所确定的基矢不是唯一的。在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法消除这一不确定性。52对于一个Hilbert空间,每一个厄米算符的全部线性无关1.定理:二、本征矢量完全性定理当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时,它们有一组共同的本征矢量完全集。[证]设两个算符是A和B.(1)必要性:完全集→对易设A和B有一组共同的本征矢量完全集,这时有则同样所以对所有都成立。因为是完全的,所以有531.定理:二、本征矢量完全性定理当且仅当两个粒子的厄米算(2)充分性:对易→完全集设AB-BA=0,且是A的一套正交归一化的本征矢量完全集。我们将用它来构造同是A、B的共同本征矢量完全集。显然即也是A的属于本征值的本征矢量。下面分两种情况讨论。1°A的本征值无简并这时与属于同一个一维本征子空间,它们只能差一个常数倍:54(2)充分性:对易→完全集设AB-BA=0,且即也同是B的本征矢量,常数就是B的本征值。如果所有A的本征值都没有简并,则就是A和B的共同本征矢量完全集。2°A的本征值有简并新的问题:在A的2D以上的本征子空间中随便取一个矢量未必就是B的本征矢量。设A的本征值aj有m重简并(无简并的前面已经讨论),在{|i>}中属于这一本征值的本征矢量是|j1>,|j2>,…,|jm>(不见的相互正交,但可以化成正交的),它们是在m维子空间中互相正交m个矢量的代表。55即也同是B的本征矢量,常数就是B的本征式中{Cα}是一组叠加系数。这种矢量应该具有m个(总维数要求)。现在要在这个m维本征子空间中寻找一些也是B的本征矢量的矢量。设这种矢量是用同上式作内积,利用得上述矢量成为B的本征矢量的条件是这是一个的线性齐次方程组,设其系数56式中{Cα}是一组叠加系数。这种矢量应该具有m个(总维数要求这一方程组有解的条件是系数行列式为0,即根据前面的讨论,b有m个根(其中可能有相同的),对每一个,有一组解,即一个矢量。于是我们求得了m个矢量,它们是A的本征矢量(本征值为),同时又是B的本征矢量(本征值为)。57这一方程组有解的条件是系数行列式为0,即根据前面的讨论当b没有等根时,所得的共同本征矢量完全集是完全确定的。当b有等根时,还有一个一维以上的本征子空间中的所有矢量都同时是A和B的本征矢量,共同

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