热力学统计物理第八章玻色统计和费米统计课件

1热统定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统

玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）§8.1热力学量的统计表达经典极限条件（非简并条件）一、从非简并到简并玻色分布和费米分布趋向于玻耳兹曼分布。

孤立系统1热统定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近12热统玻色统计费米统计不满足非简并条件采用玻色分布或费米分布二、巨配分函数对比玻耳兹曼分布

开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。2热统玻色统计费米统计不满足非简并条件采用玻色分布或费米分布23热统1平均粒子数对比玻耳兹曼分布三、用巨配分函数表示热力学量3热统1平均粒子数对比玻耳兹曼分布三、用巨配分函数表示热力34热统2内能对比玻耳兹曼分布4热统2内能对比玻耳兹曼分布45热统3广义力压强对比玻耳兹曼分布5热统3广义力压强对比玻耳兹曼分布56热统4其它热力学函数****由开系的热力学公式6热统4其它热力学函数****由开系的热力学公式67热统熵与玻耳兹曼关系比较7热统熵与玻耳兹曼关系比较78热统对于玻色分布？8热统对于玻色分布？89热统9热统910热统对于费米分布？10热统对于费米分布？1011热统11热统1112热统

玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。一、弱简并气体虽小但不可忽略§8.2弱简并玻色气体和费米气体12热统玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要1213热统考虑平动总粒子数粒子微观状态数6.2.17式13热统考虑平动总粒子数粒子微观状态数6.2.17式1314热统两式相除得到内能又14热统两式相除得到内能又1415热统附录C.15近似求解过程：15热统附录C.15近似求解过程：1516热统16热统1617热统二、弱简并条件物理含义利用玻耳兹曼统计的结果第二项：微观粒子全同性引起的量子统计关联导致的附加内能费米粒子相互排斥；玻色粒子相互吸引。第一项：根据玻耳兹曼分布得到的内能17热统二、弱简并条件物理含义利用玻耳兹曼统计的结果第二项1718热统一、玻色气体的化学势玻色分布下一个能级的粒子数最低能级在粒子数给定情况下，μ与T的关系μ随温度的升高而降低0§8.3玻色—爱因斯坦凝聚18热统一、玻色气体的化学势玻色分布下一个能级的粒子数最低能1819热统连续化临界温度Tc：所有玻色粒子都在非零能级的最低温度能级能级可以忽略n0可以和所有激发态能级上粒子数相比较，即粒子都往能级聚集。19热统连续化临界温度Tc：所有玻色粒子都在能级能级可以忽略1920热统0令20热统0令2021热统玻色粒子都在高能级。高能级装不下所有玻色粒子，必有可观数目粒子出现在零能级。

——玻色—爱因斯坦凝聚。21热统玻色粒子都在高能级。高能级装不下所有玻色粒子，2122热统因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦凝聚，需要提高临界温度。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。二、热力学量T<Tc，理想玻色气体的Cv与T3/2成正比，T=Tc达极大值。高温时趋于经典值T<Tc时22热统因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦凝聚，需要提高临界温2223热统三、发展过程1.理论准备1924.6.24，印度人玻色给爱因斯坦寄“玻色分布”文章。经爱因斯坦努力，该论文发表。在这篇文章基础上，爱因斯坦继续发表论文，提出“玻色凝聚”Bose-EinsteinCondensation(BEC)的概念。2.实验检验1995年7月13日，美国科罗拉多大学报告：铷蒸气在170nK出现BEC。8月，休斯顿Rice大学宣布，在锂蒸气中出现BEC。11月，麻省理工学院宣布，钠蒸气中出现BEC.23热统三、发展过程1.理论准备1924.6.24，印度人2324热统S.Bose

A.Einstein

1924年，玻色和爱因斯坦在理论上预言了玻色—爱因斯坦凝聚（BEC:Bose-EinsteinCondensation）现象,如果将原子气体冷却到非常低的温度，那么所有原子会突然以可能的最低能态凝聚。

24热统S.BoseA.Einstein2425热统光子——辐射场能量的量子化，自旋1－玻色子。平衡辐射场中，光子数不守恒。空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子数守恒。§8.4光子气体一、光子气体特性光子气体服从玻色分布化学势描述物质变化25热统光子——辐射场能量的量子化，自旋1－玻色子。§8.2526热统二、普朗克公式德布罗意关系：色散关系：光子能动关系中量子态数动量空间分布：中量子态数频率空间26热统二、普朗克公式德布罗意关系：色散关系：光子能动关系中2627热统普朗克公式(辐射场内能)低频（弱简并），经典描述——能量均分定理。瑞利-金斯公式中平均光子数频率空间一个量子态的平均粒子数27热统普朗克公式(辐射场内能)低频（弱简并），经典描述——2728热统三、平衡辐射公式热力学只能通过实验确定系数a；统计物理可以计算a1.内能高频U随ω的增加迅速趋近于零。温度为T的平衡辐射中，高频光子几乎不存在；温度为T时，窖壁发射高频光子的概率极小。28热统三、平衡辐射公式热力学只能通过实验确定系数a；统计物2829热统2.维恩位移律内能最大的频率ω1ω2ω3T1T2T3ωU(ω,T)T3>T2>T129热统2.维恩位移律内能最大的频率ω1ω2ω3T1T2T2930热统3.压强、辐射通量密度中量子态数分部积分30热统3.压强、辐射通量密度中量子态数分部积分3031热统平衡辐射通量密度习题7.2结果31热统平衡辐射通量密度习题7.2结果3132热统32热统3233热统每个原子贡献一个电子，晶格中的自由电子气体。晶格——三维线性振子电子对热容量的贡献未计！一、固体§8.5金属中的自由电子气体33热统每个原子贡献一个电子，晶格——三维线性振子电子对热容3334热统量子性质例Cu：非简并条件弱简并强简并34热统量子性质例Cu：非简并条件弱简并强简并3435热统二、T=0K1.费米气体一个量子态的平均费米粒子数电子g=2；间粒子数每个量子态上最多能容纳一个粒子（费米子遵从泡利原理）。服从费米粒子微观状态数6.2.17式35热统二、T=0K1.费米气体一个量子态的平均费米粒子数3536热统36热统3637热统对能量积分得到粒子数总数2.化学势泡令不相容原理37热统对能量积分得到粒子数总数2.化学势泡令不相容原理3738热统费米能级费米动量能量38热统费米能级费米动量能量3839热统零温下粒子的平均能量为：39热统零温下粒子的平均能量为：3940热统内能例Cu间粒子数已求出费米能级40热统内能例Cu间粒子数已求出费米能级4041热统费米温度Cu:零温电子气体压强——简并压习题7.1结果41热统费米温度Cu:零温电子气体压强——简并压习题7.1结4142第八章玻色统计与费米统计费米简并压强是量子力学泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联使得费米气体的附加内能为正，使费米子间出现等效的排斥作用。它是一种与热运动无关的压强。铜内的电子费米能量和简并压强为费米简并压强与热运动压强42第八章玻色统计与费米统计费米简并压强4243第八章玻色统计与费米统计由微观粒子热运动产生的压强称为热运动压强（辐射压强），它与温度有关，在绝对零度下该压强为零。这巨大的简并压在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿；在白矮星和中子星中则被强大的引力所补偿。43第八章玻色统计与费米统计由微观粒子热运4344第八章玻色统计与费米统计中子星：辐射压力和中子简并压力与万有引力平衡恒星演化中的平衡机制恒星：辐射压力与万有引力平衡白矮星：辐射压力和电子简并压力与万有引力平衡黑洞：辐射压力和中子简并压力无法抵抗万有引力时，平衡被破坏，恒星无限坍缩为一点。44第八章玻色统计与费米统计中子星：辐射压力和中子简并压力4445第八章玻色统计与费米统计理想玻色气体在绝对零度时的玻色－爱因斯坦凝聚体的能量、动量、速度、压强和熵均为零。理想费米气体在绝对零度时的费米能量、费米动量、费米速度和费米压强均不为零，只有熵为零，符合热力学第三定律。

2、绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质的比较45第八章玻色统计与费米统计2、绝对零度下理想费米气4546第八章玻色统计与费米统计绝对零度下理想玻色气体和费米气体性质的比较(7个粒子的系统)46第八章玻色统计与费米统计绝对零度下理想玻色气体和费米气4647第八章玻色统计与费米统计三温度T>0情况下费米系统的性质1、T>0情况下费米分布及热容量估算T=0T>0εμf1/20kT47第八章玻色统计与费米统计三温度T>0情况下费米系4748第八章玻色统计与费米统计在绝对零度时电子占据了从０到μ(0)的每一个量子态，温度升高时由于热激发，电子可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去。但是处在低能态的电子要跃迁到没有被占据的状态，必须吸收很大的热运动能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变，只是在μ附近数量级kT的能量范围内占据情况发生改变。分布的性质可以解释为：48第八章玻色统计与费米统计在绝对零度时4849第八章玻色统计与费米统计在低温下电子气体的分布与绝对零度时的分布差异不大，μ(T)与μ(0)非常接近，49第八章玻色统计与费米统计在低温下电子气体的分4950第八章玻色统计与费米统计习题8-20由50第八章玻色统计与费米统计习题8-20由5051第八章玻色统计与费米统计因此费米气体的强简并条件等价于T<<TF

由此可见，只有能量在μ附近，数量级为kT范围内的电子对热熔量有贡献。由此可以粗略估计电子气体的热熔量。以N有效表示能量在μ附近kT范围内电子对热熔量有贡献的有效电子数在kT<<μ(0)，即的情形下恒有51第八章玻色统计与费米统计因此费米气5152第八章玻色统计与费米统计将能均分定理用于有效电子，每一个有效电子对热熔量的贡献为在室温范围铜的热容量包含离子和电子的贡献与离子振动的热熔量CV=3Nk相比，电子的热熔量可以忽略不计。那么金属中自由电子对热熔量的贡献为52第八章玻色统计与费米统计将能均分定理用5253第八章玻色统计与费米统计2自由电子气体的热熔量定量计算总电子数总内能

由53第八章玻色统计与费米统计2自由电子气体的热熔量定量5354第八章玻色统计与费米统计54第八章玻色统计与费米统计5455第八章玻色统计与费米统计令

55第八章玻色统计与费米统计令5556第八章玻色统计与费米统计56第八章玻色统计与费米统计5657第八章玻色统计与费米统计(8.5.15)(8.5.16)57第八章玻色统计与费米统计(8.5.15)(8.5.165758第八章玻色统计与费米统计解出(8.5.17)根据

58第八章玻色统计与费米统计解出(8.5.17)5859第八章玻色统计与费米统计

由在常温范围电子的热熔量远小于离子振动的热熔量，但在低温范围，离子振动的热熔量按T3随温度而减少；电子热熔量与T成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热熔量将大于离子振动的热熔量而成为对金属热熔量的主要贡献。得电子气体的定容热熔量为(8.5.18)59第八章玻色统计与费米统计在常温5960第八章玻色统计与费米统计计及电子和离子振动的热熔量（9.7节），低温下金属的热熔量可以表示为3、计及电子和离子振动的金属热熔量实验值落在一条直线上,与理论结果一致,但截距有差异.60第八章玻色统计与费米统计计及电子和离子6061第八章玻色统计与费米统计初级理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。更深入的描述金属中电子的运动相当复杂,高级理论必须考虑以下因素的影响.由于离子在空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期性势场,实际上电子是在这周期场中运动;离子的热振动对电子的运动也产生影响;电子之间存在着库仑相互作用。实验与理论结果差异的解释61第八章玻色统计与费米统计初级6162第八章玻色统计与费米统计为了分析电子间库伦作用的影响，我们将金属中的正离子用均匀的正电荷背景代替，以保持金属的电中性。由于每一个电子都要排斥其他电子，在每一个电子周围将出现等效的正电荷会对电子产生屏蔽作用，使电子间的库伦长程作用力变为短程的屏蔽作用力。因此可以将电子近似看作近独立粒子，遵守费米分布。不过这时所说的电子已经不是通常意义下的裸电子，而是为正电荷云围绕的一种准粒子，简称准电子。准电子与电子存在一一对应关系。不过它的质量不再是裸电子的质量而是有效质量。周期场和离子振动对电子运动的影响也可以归结为改变电子的质量。与电子质量成正比，将质量改正为考虑上述各种影响后的有效质量，可以解释γ和γ0的差异。对电子间库仑作用的影响分析62第八章玻色统计与费米统计为了分析电子间库伦6263第八章玻色统计与费米统计对电子间库仑作用的影响分析63第八章玻色统计与费米统计对电子间库仑作用的影响分析6364第八章玻色统计与费米统计大爆炸宇宙学1929年，美国天文学家哈勃通过观测发现了哈勃红移——遥远恒星发出的光谱线普遍存在红移现象。3、宇宙微波背景辐射1948年，俄裔美国物理学家伽莫夫提出，宇宙诞生于一次大爆炸,从高温、高密度状态开始膨胀，温度和密度不断下降，最终演化为今天的宇宙。64第八章玻色统计与费米统计大爆炸宇宙学3、宇宙微波背景辐6465第八章玻色统计与费米统计65第八章玻色统计与费米统计6566第八章玻色统计与费米统计大爆炸宇宙学的三个观测证据：（1）一切化学元素的年龄都是有限的，都不大于150亿年；（2）氦平均丰度：观测发现在不同天体上，氢含量和氦含量之比近似相同，质量之比为3：1。根据宇宙膨胀速度和热辐射温度的测量，计算出宇宙早期产生的氦丰度恰好是30%。