【解析】2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线

第第页【解析】2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线

一、选择题

1．（2023·岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（）

A．B．C．D．

2．（2023·怀化）如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（）

A．B．C．D．

3．（2023·长沙）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

4．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（）

A．B．C．D．

5．（2023·常德）如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为()

A．B．C．D．

6．（2023·邵阳）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（）

A．B．C．D．

7．（2023·邵阳）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（）

A．B．C．D．

二、填空题

8．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为．

9．（2023·株洲）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为．

10．（2023·怀化）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为．

三、解答题

11．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）

四、综合题

12．（2023·长沙）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）若，求的长和的面积．

13．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．

（1）求证：；

（2）若时，求证：四边形是菱形．

14．（2023·常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

15．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

（1）证明：．

（2）求线段的长．

16．（2023·株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．

（1）求的大小；

（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

17．（2023·常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．

（1）求证：；

（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．

求证：①；

②．

18．（2023·邵阳）如图，在等边三角形中，为上的一点，过点做的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．

（1）证明：在点的运动过程中，总有．

（2）当为何值时，是直角三角形？

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵AB//CD，

∴∠AEF=∠EFG=40°，

∵EG⊥EF，

∴∠EGF=90°-∠EFG=50°，

故答案为：C.

【分析】根据平行线的性质求出∠AEF=∠EFG=40°，再计算求解即可。

2．【答案】B

【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意可得：AB//CD，

∵∠1=60°，

∴∠EGC=∠1=60°，

∴∠2=∠EGC=60°，

故答案为：B.

【分析】根据平行线的性质求出∠EGC=∠1=60°，再根据对顶角相等求解即可。

3．【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得∠DAC=∠1+∠BAC=130°，

∵m∥n，

∴∠2+∠DAC=180°，

∴∠2=50°，

故答案为：C

【分析】先根据垂直结合题意得到∠DAC，进而根据平行线的性质即可求解。

4．【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵，平分，

∴∠FEB=140°，

∴∠FEG=70°，

∵，

∴∠1=∠EFG=40°，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。

5．【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，

∵，

∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，

∴∠FE0=∠EFO，

∴FO=EO，

∴△EOD≌△FOA（SAS），

∴∠EDO=∠FAC=15°，

∴∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-45°-30°=105°，

故答案为：C

【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。

6．【答案】D

【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定

【解析】【解答】解：

A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；

B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；

C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；

D、∵，

∴∠C＋∠ABC=180°，

∵，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。

7．【答案】B

【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：

由题意得∠3=∠2，

∵，

∴∠1=∠3=∠2=50°，

故答案为：B

【分析】先根据对顶角即可得到∠3=∠2，进而根据平行线的性质即可求解。

8．【答案】

【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案为：

【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

9．【答案】2

【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵EB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴DE=2，

故答案为：2

【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。

10．【答案】3

【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：过点P作PF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴∠PAE=45°，

∴△AEP为等腰直角三角形，AE=PE=3，

∵PE⊥AD，PF⊥AB，

∴∠FAE=∠AEP=∠AFP=90°，

又∵AE=PE，

∴四边形AFPE为正方形，

∴AE=PF=3，

∴点P到直线AB的距离为3，

故答案为：3.

【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，再求出四边形AFPE为正方形，最后求解即可。

11．【答案】解：方法一：

过点作交的延长线于点，

四边形是平行四边形，，

，

，

过点作于点，

由题意知，，

，

又，

，

过作于点，

，，

，

，

靠背顶端点距地面高度为

；

方法二：

如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，

，，

，

又，

，

，

，

过作于，

由题意知，，

，

又，

，

靠背顶端点距地面高度为．

【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的应用

【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；

方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。

12．【答案】（1）证明：在中，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴；

过D作交的延长线于H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的面积．

【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；

（2）先根据题意得到；过D作交的延长线于H，根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到AH的长，进而根据勾股定理即可求出DH，再根据三角形的面积即可求解。

13．【答案】（1）证明：∵，

∴，

即

在和中，

，

∴

∴，

∴

（2）证明：方法一：在和中，

，

∴

∴，又，

∴四边形是平行四边形

∵，

∴是菱形；

方法二：∵，

∴

∴，

又，

∴四边形是平行四边形

∵，

∴是菱形．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；

（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；

方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。

14．【答案】（1）证明：连接

∵为的中点，

∴=，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，为半径，

∴为的切线，

（2）解：∵为直径，

∴，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：

．

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而运用切线的判定即可求解；

（2）先根据圆周角定理即可得到，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合题意根据勾股定理即可求解。

15．【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

解得：．

【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；

（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。

16．【答案】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即的大小为；

（2）解：∵，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．

【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）根据垂直的性质即可得到，进而得到∠DOQ的度数，再根据垂直的定义结合题意即可求解；

（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求出OC的长，再运用解直角三角形的知识即可求解。

17．【答案】（1）证明：∵是的中点，

∴是的垂直平分线，

又∵E在上，

∴，

在和中，

∴

（2）证明：①连接，

∵分别是和的中点，

∴为的中位线，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴；

②在和中，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵A、H分别为和中点，

∴为的中位线，

∴，

∴，即为中点，

又∵，

∴为中点，

∴.

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；

（2）①连接，先根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明，然后进行等量代换即可得到；

（3）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可得到，即为中点，再已知条件即可求解。

18．【答案】（1）证明：∵等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∵绕点逆时针方向旋转，得到，

∴，

∴时等边三角形，

∴，

∴，

∴四点共圆，

∴，

∴．

（2）解：如图，根据题意，只有当时，成立，

∵绕点逆时针方向旋转，得到，

∴，

∴时等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质

【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质即可得到，，再根据平行线的性质即可得到，进而根据旋转的性质得到，进而结合题意得到四点共圆，进而即可求解；

（2）只有当时，成立，先根据旋转的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意得到，再根据等边三角形的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合锐角三角函数的定义即可求解。

二一教育在线组卷平台（）自动生成1/1登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线

一、选择题

1．（2023·岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵AB//CD，

∴∠AEF=∠EFG=40°，

∵EG⊥EF，

∴∠EGF=90°-∠EFG=50°，

故答案为：C.

【分析】根据平行线的性质求出∠AEF=∠EFG=40°，再计算求解即可。

2．（2023·怀化）如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意可得：AB//CD，

∵∠1=60°，

∴∠EGC=∠1=60°，

∴∠2=∠EGC=60°，

故答案为：B.

【分析】根据平行线的性质求出∠EGC=∠1=60°，再根据对顶角相等求解即可。

3．（2023·长沙）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得∠DAC=∠1+∠BAC=130°，

∵m∥n，

∴∠2+∠DAC=180°，

∴∠2=50°，

故答案为：C

【分析】先根据垂直结合题意得到∠DAC，进而根据平行线的性质即可求解。

4．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵，平分，

∴∠FEB=140°，

∴∠FEG=70°，

∵，

∴∠1=∠EFG=40°，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。

5．（2023·常德）如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为()

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，

∵，

∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，

∴∠FE0=∠EFO，

∴FO=EO，

∴△EOD≌△FOA（SAS），

∴∠EDO=∠FAC=15°，

∴∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-45°-30°=105°，

故答案为：C

【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。

6．（2023·邵阳）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定

【解析】【解答】解：

A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；

B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；

C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；

D、∵，

∴∠C＋∠ABC=180°，

∵，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。

7．（2023·邵阳）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：

由题意得∠3=∠2，

∵，

∴∠1=∠3=∠2=50°，

故答案为：B

【分析】先根据对顶角即可得到∠3=∠2，进而根据平行线的性质即可求解。

二、填空题

8．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为．

【答案】

【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案为：

【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

9．（2023·株洲）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为．

【答案】2

【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵EB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴DE=2，

故答案为：2

【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。

10．（2023·怀化）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为．

【答案】3

【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：过点P作PF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴∠PAE=45°，

∴△AEP为等腰直角三角形，AE=PE=3，

∵PE⊥AD，PF⊥AB，

∴∠FAE=∠AEP=∠AFP=90°，

又∵AE=PE，

∴四边形AFPE为正方形，

∴AE=PF=3，

∴点P到直线AB的距离为3，

故答案为：3.

【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，再求出四边形AFPE为正方形，最后求解即可。

三、解答题

11．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）

【答案】解：方法一：

过点作交的延长线于点，

四边形是平行四边形，，

，

，

过点作于点，

由题意知，，

，

又，

，

过作于点，

，，

，

，

靠背顶端点距地面高度为

；

方法二：

如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，

，，

，

又，

，

，

，

过作于，

由题意知，，

，

又，

，

靠背顶端点距地面高度为．

【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的应用

【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；

方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。

四、综合题

12．（2023·长沙）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）若，求的长和的面积．

【答案】（1）证明：在中，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴；

过D作交的延长线于H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的面积．

【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；

（2）先根据题意得到；过D作交的延长线于H，根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到AH的长，进而根据勾股定理即可求出DH，再根据三角形的面积即可求解。

13．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．

（1）求证：；

（2）若时，求证：四边形是菱形．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

即

在和中，

，

∴

∴，

∴

（2）证明：方法一：在和中，

，

∴

∴，又，

∴四边形是平行四边形

∵，

∴是菱形；

方法二：∵，

∴

∴，

又，

∴四边形是平行四边形

∵，

∴是菱形．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；

（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；

方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。

14．（2023·常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明：连接

∵为的中点，

∴=，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，为半径，

∴为的切线，

（2）解：∵为直径，

∴，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：

．

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而运用切线的判定即可求解；

（2）先根据圆周角定理即可得到，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合题意根据勾股定理即可求解。

15．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

（1）证明：．

（2）求线段的长．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

解得：．

【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；

（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。

16．（2023·株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．

（1）求的大小；

（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

【答案】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即的大小为；

（2）解：∵，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．

【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾