2023年四川省雅安市中考数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在，，，四个数中，负数是()

A.B.C.D.

2.计算的结果是()

A.B.C.D.

3.如图，是由个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是()

A.

B.

C.

D.

4.如图，，于点，，则的度数为()

A.B.C.D.

5.若，则的值是()

A.B.C.D.

6.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

7.不等式组的解集是()

A.B.C.D.

8.如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为()

A.B.C.D.

9.某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这次成绩的平均数和中位数分别是()

A.，B.，C.，D.，

10.在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移个单位长度，所得直线的函数表达式为()

A.B.C.D.

11.如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

12.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，下列结论中，所有正确结论的序号为()

；

点的坐标为；

；

对于任意实数，都有．

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.在一个不透明的口袋中，装有个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有______个

14.若，，则的值为______．

15.已知关于的方程的一个根为，则该方程的另一个根为______．

16.如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为______．

17.如图，四边形中，，，，交于点，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

计算：

先化简，再求值：，其中．

19.本小题分

某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：

成绩分频数人频率

请根据图表信息解答下列问题：

求，，的值；

补全频数分布直方图；

某班有名男生和名女生的成绩都为分，若从这名学生中随机抽取名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的名学生恰好为男女的概率．

20.本小题分

如图，已知，是对角线上两点，．

求证：≌；

若交的延长线于点，，，，求的面积．

21.本小题分

李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：

品名甲蔬菜乙蔬菜

批发价元

零售价元

若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？列方程或方程组求解

若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式；

在的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？

22.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象经过点．

求反比例函数的表达式；

点在反比例函数图象上，且横坐标大于，，求直线的函数表达式．

23.本小题分

如图，在中，，以为直径的与交于点，点是的中点，连接，．

求证：是的切线；

若，，求的长；

在的条件下，点是上一动点，求的最大值．

24.本小题分

在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

求此抛物线的函数表达式及顶点的坐标；

若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当是等边三角形时，求出此三角形的边长；

已知点在抛物线的对称轴上，点的坐标为是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在，，，四个数中，，是正数，是负数，既不是正数也不是负数．

故选：．

根据负数的定义即可判断．

本题考查了实数，解题的关键是正确区分正数与负数．

2.【答案】

【解析】解：

．

故选：．

零指数幂：，由此即可计算．

本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：．

3.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形．

故选：．

根据主视图的概念找出找到从正面看所得到的图形即可．

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

4.【答案】

【解析】解：，

，

于点，

，

，

，

故选：．

先根据平行线的性质求出的大小，再根据余角的性质即可求出．

本题考查平行线的性质和余角的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．

5.【答案】

【解析】解：．

故选：．

将化简，代入求值计算即可．

本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想．

6.【答案】

【解析】解：、与不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；

B、，故选项B不符合题意；

C、，故选项C不符合题意；

D、，故选项D符合题意．

故选：．

分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案．

此题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：由题意，，

由得，；由得，．

原不等式组的解集为：．

故选：．

依据题意，分别解出组成不等式组的两个不等式的解集，进而可以得解．

本题主要考查一元一次不等式组的解集，解题时需要熟练掌握并能准确计算．

8.【答案】

【解析】解：

故选：．

大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．

本题考查了扇形面积公式，比较简单．

9.【答案】

【解析】解：平均数：，

将个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，共十个数，第五个与第六个数分别为，，所以中位数是，

故答案选：．

根据折线图将成绩从小到大排列，然后求中位数与平均数即可．

本题考查了中位数平均数，解题的关键在于熟练掌握平均数中位数的定义求与求解方法．

10.【答案】

【解析】解：在函数的图象上取点，

绕原点逆时针方向旋转后得到对应的点的坐标，

设旋转后的直线的解析式为，

再向上平移个单位长度，得到．

故选：．

找出上一个点坐标，进而旋转后对应点的坐标，利用待定系数法求出旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为．

此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．

11.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，

，

∽，

，

，，

，

即，

，

，

∽，

，

，，

，

，

，

故选：．

根据平行四边形的性质得出，，，于是推出∽，∽，先求出与的比值，继而得出与的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．

本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，

，错误，

、关于对称轴对称，

点的横坐标为，正确，

二次函数的对称轴为直线，

，

，

把代入，得：

，

，整理得：

，正确，

二次函数的对称轴为直线，

当时，抛物线取得最大值为，

当时，，

，

即，正确．

所有正确结论的序号为．

故选：．

通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断、、，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．

13.【答案】

【解析】解：设有黄球个，

根据题意得：，

解得：，

经检验是原方程的解．

故答案为：．

根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．

14.【答案】

【解析】解：，，

．

故答案为：．

根据平方差公式得，再将已知代入即可．

本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：设方程的另一个根为，

根据题意得：，

解得：．

故答案为：．

设方程的另一个根为，根据两根之积等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，连接，

，，，

，，

，

四边形是矩形，

，

由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，

此时，，

，

的最小值为，

故答案为：．

连接，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结论．

本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：如图：连接、交于点，过点作，交于点，

又，，

是等边三角形，

，

，，

，，

，

又，

．

，

过点作，交于点，

，

，

，

，

．

在中，．

故答案为：．

连接、交于点，过点作，交于点，先证明是等边三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，最后运用勾股定理求得即可．

本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．

18.【答案】解：原式

；

原式

，

当时，原式．

【解析】先根据负整数指数幂、实数的运算和绝对值的意义化简，然后计算加减即可；

首先计算小括号里面的分式的加法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入的值可得答案．

此题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂公式，二次根式的化简，通分，以及约分，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

19.【答案】解：调查人数为：人，，，，

答：，，；

由各组频数补全频数分布直方图如下：

用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中男女的有种，

所以抽取的名学生恰好为男女的概率是．

【解析】成绩在的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数，进而求出、、的值；

根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；

从男女三人中随机选取人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．

本题考查频数分布表、频数分布直方图以及列表法或树状图法，掌握频率以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．

20.【答案】证明：四边形为平行四边形，

，，

，

在和中，

，

≌；

解：，

，

于，

，

，

，

，

解得，

，

在中，，

，

，

．

【解析】由平行四边形的性质利用可证明结论；

利用更改的先求解，的长，再解直角三角形求解的长，即可求得的长，再利用平行四边形的面积公式计算可求解．

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识的综合运用，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

21.【答案】解：设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，根据题意得，

，解得，

答：批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克；

根据题意得，

整理得；

设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意得，

，

整理得，

要保证利润不低于元，

，

解得，

至少批发甲种蔬菜千克．

【解析】设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，根据题意列方程组求解即可；

根据题意批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜千克，再列出关系式即可；

设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意列出关于的函数关系式，进而得到不等式，求解即可．

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解，并且要熟练掌握一次函数的性质．

22.【答案】解：四边形是边长为的正方形，

，

反比例函数的图象经过点，

，

反比例函数的表达式为；

作轴于，

轴，

，

设，则，，

，

，

，

整理得，

解得或舍去，

，

设直线的解析式为，

把、的坐标代入得，

解得，

直线的函数表达式为．

【解析】根据正方形的性质得到，然后利用待定系数法即可求解；

作轴于，根据反比例函数系数的几何意义得出，设，则，，然后根据，求得的值，从而求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式．

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，正方形的性质，反比例函数系数的几何意义，求得点、的坐标是解题的关键．

23.【答案】证明：连接，如图所示，

为的直径，

，

，

点为的中点，

，

，

．

．

，

，

，

是的半径，

与相切；

解：由知，，

是的中点，

．

，

，

，

又在中，，即，

负值已舍去，

：

解：设中边上的高为，

由可知，

又是直径，

，

，

，

当取最大值时，也取最大值，

又，

当取最大值时，取最大值，

此时边高为取最大值为，

．

，

，

．

综上所述：的最大值为．

【解析】连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线