2022-2023学年福建省莆田市埭头第一中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年福建省莆田市埭头第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△中，若，则△是(

)A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形参考答案：D

2.已知函数y＝f（x）是偶函数，且函数y＝f（x－2）在[0,2]上是单调减函数，则

A．f（－1）<f（2）<f（0）

B．f（－1）<f（0）<f（2）

C．f（0）<f（－1）<f（2）

D．f（2）<f（－1）<f（0）参考答案：C3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有（

）A.10种 B.15种 C.4种 D.5种参考答案：D【分析】依据图形可以得到2类元素相生的选取方案总数.【详解】从5类元素中任选2类元素，它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种，故选D.4.在中，＝60，AB＝2，且，则BC边的长为 （

）A．1

B．3

C．

D．参考答案：D略5.设是等差数列的前项和，若，则………………（） A． B． C． D．参考答案：A试题分析：根据等差数列的性质，结合着题的条件，设则，从而有，结合着等差数列的性质，可知成以为首项，以为公差的等差数列，故可以得出，，所以有，故选A.考点：等差数列的性质.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（

）A B. C. D.参考答案：A【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【详解】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，且四棱锥的高为的正四棱锥．它的体积为．故选：A．【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，属于基础题．7.参考答案：A略8.与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略9.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，则sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==故选：A．10.（多选题）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（

）A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势参考答案：ABD【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为．参考答案：y2=16x考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，结合三角形的面积求出半径，再由M的坐标相等求得p，则抛物线方程可求．解答：解：如图，由题意可知，圆的圆心M在抛物线上，又圆的面积为36π，∴半径|OM|=6，则|MF|=，即，又，∴，解得：p=8．∴抛物线方程为：y2=16x．故答案为：y2=16x．点评：本题考查了抛物线的几何性质，考查了数学结合的解题思想方法，训练了抛物线焦半径公式的应用，是中档题．12.三视图如右的几何体的体积为

参考答案：113.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的动点到直线距离的最大值为

．

参考答案：14.若向量满足=1，=2，且与的夹角为，则=

。参考答案：略15.已知向量，满足=(1，)，||=1，且+λ=，则λ=

．参考答案：±2

【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意和向量的坐标运算求出的坐标，由向量模的坐标运算列出方程求出λ的值．【解答】解：因为，，所以==，又，则，解得λ=±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，以及向量模的坐标运算，属于基础题．16.已知直线的方程为，点与点关于直线对称，则点的坐标为

．参考答案：17.己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为

。参考答案：(3，3．5)【知识点】函数利用导数研究函数的单调性因为

故答案为：(3，3．5)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线，是x轴上一点，是抛物线上任意一点.（1）若，求的最小值；（2）已知O为坐标原点，若的最小值为，求实数a的取值范围.参考答案：（1）1；（2）.【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得=到准线的距离，可得为抛物线的顶点时，的最小值为1.（2）将表示为关于x的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】（1）当时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时=到准线的距离，∴当为抛物线的顶点时，到准线的距离最小为1，即的最小值为1.（2）的最小值为，即当时取得最小值，所以，即.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.19.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．

（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.参考答案：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为

（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：

（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=．（1）求证：ME⊥平面ADE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD的中点N，连结NM，NE，推导出AD⊥ME，过E点，作EO⊥NM于O，推导出NE⊥ME，由此能证明ME⊥面ADE．（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结NM，NE，则AD⊥NM，AD⊥NE，∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，过E点，作EO⊥NM于O，根据题意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE=，EM=2，∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，∴ME⊥面ADE．解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，根据题意得：A（2，﹣1，0），B（2，3，0），D（﹣2，﹣1，0），E（0，0，），M（0，3，0），设平面BAE的法向量=（x，y，z），∵=（0，4，0），=（﹣2，1，），∴，取z=2，得=（，0，2），由（1）知=（0，﹣3，）为平面ADE的法向量，设二面角B﹣AE﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.已知等比数列{an}的公比q＞1，是的等差中项，数列{an+bn}??的前n项和为Sn＝n2+n.（1）求数列{an}的通项公式;（2）求数列{bn}的通项公式.参考答案：（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.

22.如图1，已知在菱形ABCD中，∠B=120°，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．（1）求证：DE⊥面ABE；（2）若二面角A﹣DE﹣H的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABD为正三角形，再由E为AB的中点，得DE⊥AE，DE⊥BE，利用线面垂直的判定可得DE⊥面ABE；（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由二面角A﹣DE﹣H的平面角为，再设AE=1，可得E，A，B，D的坐标，然后分别求出平面ABH与平面ADE的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠B=120°，∴△ABD为正三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AE，DE⊥BE，∴DE⊥面ABE；（2）解：以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．∵D