高等数学函数的单调性和凹凸性课件

函数的单调性与曲线的凹凸性1函数的单调性与1一、函数单调性的判别法

二、曲线的凹凸与拐点

主要内容：2一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸与拐点主要内容：2一、函数单调性的判定法

3一、函数单调性的判定法3ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：4ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：4定理1严格单调5定理1严格单调566(2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.例如,注意:(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；7(2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.例如,注例1.解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.导数在这一区间上的符号来判定,而不能用令得把分成两个区间8例1.解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用一点处的例2.解:单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.

说明:9例2.解:单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)3．以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。10把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤1．写解:令得故的单调增区间为的单调减区间为11解:令得故的单调增区间为的单调减区间为11练习解5/2112练习解5/2112例4证注

利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。13例4证注利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。练习.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且14练习.证明时,成立不等式证:令从而因此且14二、曲线的凹凸与拐点15二、曲线的凹凸与拐点15图形上任意弧段位于所张弦的上方。图形上任意弧段位于所张弦的下方。问题:

如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?16图形上任意弧段位于所张弦的上方。图形上任意弧段位于所张弦的下定义1

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的

.17定义1设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图18曲线凹凸的判定定理21818曲线凹凸的判定定理218定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I

内图形是凹的;(2)在I内则在

I

内图形是凸的.证:设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：只须证：只须证：记作

只须证：19定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I

内图形是凹的;(2)在I内则在

I

内图形是凸的.证:设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：只须证：分别在区间上应用拉格朗日中值定理得这说明在I

内单调递减.20定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则21例5

判断曲线的凹凸性.解上是凸的.2121例5判断曲线的凹凸性.解上是凸的.2122例6解注意到,2222例6解注意到,22定义2

若连续曲线在其上一点的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线的拐点.xyoy=f(x)注：拐点是凹弧与凸弧的分界点23定义2若连续曲线在证24证24注意:例如,例如,yxoyxo25注意:例如,例如,yxoyxo251．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2．求出二阶导函数的零点、和不存在的点3．检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性注意判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：261．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2．求出二阶例7.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)

求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸27例7.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑例8

讨论的凹凸性及拐点.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐点凹非拐点凹28例8讨论的凹凸性及拐点.解：xy曲线的凹凸性反映的是不等式关系：(1)若曲线的图形是凹的（即），则有(2)若曲线的图形是凸的（即），则有注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。29曲线的凹凸性反映的是不等式关系：(1)若曲线的图形是凹的例9解30例9解3031例103131例10312.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上凹凸弧的分界点小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减322.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上凹凸弧的分界点思考题33思考题33思考题解答不能断定.例但34思考题解答不能断定.例但3