【第7章】有限脉冲响应数字滤波器的设计解读课件

第七章

FIR数字滤波器的设计第七章

FIR数字滤波器的设计主要内容线性相位FIR数字滤波器的条件和性质

窗函数法设计FIR数字滤波器频率采样法设计FIR数字滤波器切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器IIR和FIR数字滤波器的比较主要内容线性相位FIR数字滤波器的条件和性质对于N点长h(n)，传输函数为：H(z)有(N-1)个零点，有(N-1)阶重极点z=0.因此，系统永远稳定.稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点.7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点对于N点长h(n)，传输函数为：H(z)有(N-1)个零点，FIR滤波器h(n)的长度为N，其系统函数为：1.线性相位条件Hg(w)称为幅度特性，J(w)称为相位特性.Hg(w)不同于|H(ejw)|，Hg(w)为w的实函数，可能取负值，而|H(ejw)|总是正值.H(ejw)线性相位指J(w)是w的线性函数.即FIR滤波器h(n)的长度为N，其系统函数为：1.线性相位分别称为第一类线性相位和第二类线性相位.满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称。即：h(n)=h(N-n-1)

满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称。即：h(n)=-h(N-n-1)分别称为第一类线性相位和第二类线性相位.满足第一类线性相位的(1)第一类线性相位条件证明将线性相位条件代入上式，则有：令m=N-n-1,则有：(1)第一类线性相位条件证明将线性相位条件代入上式，则有：可以将H(z)表示为：将z=ejω代入上式得可以将H(z)表示为：将z=ejω代入上式得幅度函数和相位函数分别为：幅度函数和相位函数分别为：令m=N-n-1，则有：(2)第二类线性相位条件证明可以将H(z)表示为：令m=N-n-1，则有：(2)第二类线性相位条件证明可以将z=ejω代入上式得将z=ejω代入上式得幅度函数和相位函数分别为：幅度函数和相位函数分别为：FIR滤波器h(n)的长度N取奇数还是偶数，对Hg(w)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，有四种情况.2.幅度特性Hg(w)的特点幅度函数Hg(w)为：(1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇数FIR滤波器h(n)的长度N取奇数还是偶数，对Hg(w)的特式中h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对，以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2.令m=(N-1)/2-n→n

，则有式中h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2式中式中cosnw项对w=0,p,2p偶对称.幅度特性的特点是对w=0,p,2p是偶对称.式中式中cosnw项对w=0,p,2p偶对称.推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(w)中没有单独项，相等的项合并成N/2项.(2)h(n)=h(N-n-1)，N=偶数令m=N/2-n→n

，则有推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(w)式中余弦项在w=p时为零，且对w=p奇对称，因此幅度特性的特点是对w=p奇对称，且在w=p处有一零点.高通和带阻滤波器不适合采用这种情况.式中余弦项在w=p时为零，且对w=p奇对称，因此幅度特性的特(3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数可见h(n)奇对称时，中间项为零.(3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数可见h(n)奇在Hg(w)中h(n)对(N-1)/2奇对称，正弦项对该点也是奇对称.在求和式中将相同项合并，共合并成(N-1)/2项.令m=(N-1)/2-n→n，则有在Hg(w)中h(n)对(N-1)/2奇对称，正弦项对该点也式中sinnw项在w=0,p,2p时为零，因此幅度特性的特点是对w=0,p,2p处为零。即在z=±1处是零点.Hg(w)对w=0,p,2p

呈奇对称.式中sinnw项在w=0,p,2p时为零，因此幅度特性的令m=N/2-n，则有(4)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数类似(3)情况：令m=N/2-n，则有(4)h(n)=-h(N-n-1)，式中正弦项在为w=0，2p时为零→幅度特性Hg(w)在w=0，2p处为零。即在z=1处是零点.Hg(w)对w=0，2p呈奇对称，对w=p呈偶对称.式中正弦项在为w=0，2p时为零→幅度特性Hg(w)在w=03.线性相位FIR滤波器零点分布若zi是H(z)的零点，则zi-1必然也是其零点.因为h(n)是实序列，H(z)的零点必然共轭成对，所以zi*和(zi-1)*也是其零点.确定其中一个，另外三个也就确定了.第一、二类线性相位的系统函数表示：3.线性相位FIR滤波器零点分布若zi是H(z)的零点，则线性相位FIR滤波器零点分布线性相位FIR滤波器零点分布令m=N-n-1，则有4.线性相位FIR滤波器的网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1，则有4.线性相位FIR滤波器的网络结构设若N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单列.FIR的直接型结构需要N个乘法器.FIR的线性相位结构：当N=偶数时，需要N/2个乘法器，当N=奇数时，需要(N+1)/2个乘法器.FIR的线性相位结构节约了近一半的乘法器.总结：若N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单列.FIR的直接第一类线性相位网络结构第一类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构7.2窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejw)，对应的单位脉冲响应是hd(n).如果能够由已知的Hd(ejw)求出hd(n)，经过ZT可得到滤波器的系统函数H(z).7.2窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数显然，hd(n)是无限长非因果序列.例如:理想低通滤波器一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，所以hd(n)是无限时宽，且非因果.显然，hd(n)是无限长非因果序列.例如:理想低通滤波器一为构造长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称.设截取的一段用h(n)=hd(n)RN(n)表示.实际实现的滤波器的h(n)长度为N，其系统函数为H(z).用有限长h(n)去代替无限长hd(n)，必然会带来误差，表现在频域上就是吉布斯(Gibbs)效应(引起通带和阻带内的波动).为构造长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗Hd(ejw)是一个以2p为周期的函数，可以展开为Fourier级数，系数就是Hd(ejw)对应的hd(n).即截断效应的讨论FIR设计就是寻找有限项傅立叶级数的系数去近似代替无限项傅立叶级数的系数.这种近似会在一些频率不连续点附近引起较大误差.即所谓的截断效应.Hd(ejw)是一个以2p为周期的函数，可以展开为Fouri矩形窗截断效应对上式进行FT，根据复卷积定理：式中：矩形窗截断效应对上式进行FT，根据复卷积定理：式中：将Hd(ejw)写成如下形式：式中：将Hd(ejw)和RN(ejw)代入卷积式得：将Hd(ejw)写成如下形式：式中：将Hd(ejw)和RN(将H(ejw)写成如下形式：上式表明:滤波器的幅度特性等于理想低通的幅度特性与矩形窗的幅度特性的卷积.将H(ejw)写成如下形式：上式表明:滤波器的幅度特性等于矩形窗对理想低通幅度特性的影响矩形窗对理想低通幅度特性的影响在理想特性不连续点w=wc附近形成过渡带，宽度近似等于RN(w)主瓣宽度4p/N.通带内增加波动，最大的峰值在wc-2p/N处.阻带内产生余振，最大的负峰在wc+2p/N处.对hd(n)加矩形窗处理后，H(w)和原理想低通Hd(w)差别有以下两点：在主瓣附近，RN(w)可近似为：在理想特性不连续点w=wc附近形成过渡带，宽度近似等于RN(当N↑时，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变.同时，波动的频率加快.当N→∞时，sinx/x→δ函数.因此，当N↑时，H(w)幅度没有多大改善，但过渡带变窄(过渡带宽度4p/N).调整窗口长度N可有效控制过渡带的宽度，但并不是减小吉布斯效应的有效办法.减小带内波动以及加大阻带衰减只能从窗函数的形状上寻找解决的办法.结论：当N↑时，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相1.矩形窗(RectangleWindow)

wR(n)=RN(n)几种常用的窗函数主瓣宽度为4p/N，第一副瓣比主瓣低13dB.其频率响应为：1.矩形窗(RectangleWindow)几种常用的窗2.三角形窗(BartlettWindow)其频率响应为：主瓣宽度为8p/N，第一副瓣比主瓣低26dB.2.三角形窗(BartlettWindow)其频率响应为3.汉宁(Hanning)窗—升余弦窗当N>>1时，N-1≈N3.汉宁(Hanning)窗—升余弦窗当N>>1时，N-汉宁窗的幅度函数由三部分相加，使能量更集中在主瓣内，但付出的代价是主瓣宽度加宽到8p/N.汉宁窗的幅度函数由三部分相加，使能量更集中在主瓣内，但付出的4.哈明(Hamming)窗—改进的升余弦窗其频域函数WHm(ejω)为:其幅度函数WHm(ω)为：4.哈明(Hamming)窗—改进的升余弦窗其频域函数WH当N>>1时，可近似表示为：改进的升余弦窗的能量更加集中在主瓣内，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB，但主瓣宽度仍为8p/N.当N>>1时，可近似表示为：改进的升余弦窗的能量更加集中在主5.布莱克曼(Blackman)窗其频域函数为：5.布莱克曼(Blackman)窗其频域函数为：其幅度函数为：幅度函数由五部分构成.它们使旁瓣再进一步抵消，阻带衰减进一步增加.过渡带宽度是矩形窗过度带的3倍.其幅度函数为：幅度函数由五部分构成.它们使旁瓣再进一步抵消五种窗函数的波形五种窗函数的波形(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗下图是N=51时五种窗函数幅度谱.特点:随着旁瓣的减小，主瓣宽度增加.(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；((a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗下图表示理想低通加窗后的幅度特性(N=51，ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；式中：I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数：6.凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)式中：I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数：6.凯塞—贝一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求.a参数可以控制窗的形状.一般a加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小.典型数据为4<a<9，当a=5.44时，窗函数接近哈明窗，a=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗.凯塞窗的幅度函数为：一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求.凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数(1)根据技术要求确定待求滤波器的hd(n).窗函数设计FIR滤波器的步骤如果给出待求滤波器的频响为Hd(ejw)，则：如果Hd(ejw)较复杂，不能用封闭公式表示时，可以对Hd(ejw)从w=0~2p采样M点，则dw=2p/M表示，上式近似为：(1)根据技术要求确定待求滤波器的hd(n).窗函数设计FI根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足：如果M选的足够大，可以保证在窗口内hM(n)有效逼近hd(n).若给出通带阻带衰减和边界频率的要求，可选用理想滤波器作为逼近函数，从而用理想滤波器的特性作FT-1求出hd(n).根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足：如果M选的足例如：对理想低通，可求出单位取样响应hd(n)如下：为保证线性相位，取a=(N-1)/2.例如：对理想低通，可求出单位取样响应hd(n)如下：为保证(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N.设待求滤波器的过渡带用Dw表示，它近似等于窗函数主瓣宽度.所以N=A/Dw

，A决定于窗口形式.按照过渡带选择窗函数形式，原则上在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数.(3)计算滤波器的单位取样响应h(n).(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计若要求线性相位，则要求hd(n)和w(n)均对(N-1)/2对称，若要求h(n)奇对称，则只要保证hd(n)对(N-1)/2奇对称.设计出的滤波器频率响应用下式计算：(4)验算技术指标是否满足要求.若H(ejw)不满足要求，则重复(2)(3)(4)步，直到满足为止.若要求线性相位，则要求hd(n)和w(n)均对(N-1)/2用汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器.设N=11,wc=0.2prad.【例题】用理想低通作为逼近滤波器，有解：用汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器.设N=11,w用布莱克曼窗设计：用汉宁窗设计：分别求出h(n)后，再求出H(ejw).幅度特性如图所示.用布莱克曼窗设计：用汉宁窗设计：分别求出h(n)后，再求出低通幅度特性低通幅度特性7.3频率采样法设计FIR滤波器待设计滤波器的传输函数用Hd(ejw)表示，对它在w=0~2p之间等间隔采样N点得到Hd(k).对N点Hd(k)进行IDFT得到h(n).频率采样法的基本原理：7.3频率采样法设计FIR滤波器待设计滤波器的传输函数用对h(n)进行ZT得设计滤波器的系统函数H(z).直接利用频率采样值Hd(k)形成滤波器的系统函数H(z)可利用插值公式得到.前一种方法得到的H(z)适合FIR直接型网络结构.后一种方法得到的H(z)适合FIR频率采样型网络结构.对h(n)进行ZT得设计滤波器的系统函数H(z).直接利用频FIR具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上推导出其传输函数应满足的条件是：1.频率采样法设计线性相位滤波器的条件在w=0~2p之间等间隔采样N点：FIR具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=

将w=wk代入上述表达式中，并写成k的函数：以上各式就是频率采样值满足线性相位的条件.将w=wk代入上述表达式中，并写成k的函数：以上各式就是频用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为wc，采样点数N，Hg(k)和q(k)用下面公式计算.N=奇数时：用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为wc，采样点数N，N=偶数时：公式中的kc是小于等于wcN/(2p)的最大整数.对于高通和带阻滤波器，N只能取奇数.N=偶数时：公式中的kc是小于等于wcN/(2p)的最大整若待设计的滤波器为Hd(ejw)，对应hd(n).2.逼近误差及其改进措施由频率域采样定理，在频域0~2p之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期进行周期延拓后乘以RN(w).即若待设计的滤波器为Hd(ejw)，对应hd(n).2.逼近误若Hd(ejw)有间断点，则hd(n)无限长.由于时域混叠，引起所设计h(n)和hd(n)有偏差.在频域中的采样点数N越大，设计出的滤波器越接近待设计的滤波器Hd(ejw).采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)经过IDFT得到h(n).其H(z)和H(k)的关系为：若Hd(ejw)有间断点，则hd(n)无限长.由于时域混叠在采样点w=2pk/N处，F(w-2pk/N)=1.因此，在采样点处H(ejw)=H(k)，误差为0.采样点之间，H(ejw)由有限项的H(k)F(w-2pk/N)之和形成，误差和Hd(ejw)特性的平滑程度有关，特性越平滑的区域，误差越小，特性曲线间断点处，误差最大.在采样点w=2pk/N处，F(w-2pk/N)=1.因此，增加采样点数N，可以减小逼近误差，但间断点附近误差仍然很大.提高阻带衰减最有效的办法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡点，使不连续点变成缓慢过渡，这样，虽然加大了过渡带，但明显增大阻带衰减.增加采样点数N，可以减小逼近误差，但间断点附近误差仍然很大.理想低通滤波器增加过渡点理想低通滤波器增加过渡点利用频率采样法设计线性相位低通滤波器。要求截止频率wc=p/2(rad)，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况.【例题】利用频率采样法设计线性相位低通滤波器。要求截止频率wc=p/对理想低通幅度特性采样：解：用理想低通作为逼近滤波器.对理想低通幅度特性采样：解：用理想低通作为逼近滤波器.对上式进行IDFT得到h(n)，计算其频响.其幅度特性如图(a)所示.该图表明从16p/33到18p/33之间增加了一个过渡带，阻带最小衰减略小于20dB.增加一个过渡点H1=0.5，滤波器幅度特性如图(b)所示.该图表明过渡带加宽了一倍，但阻带最小衰减加大到30dB.如果改变H1=0.3904，滤波器幅度特性如图(c)所示.该图表明阻带最小衰减可达40dB.可见过渡点取值不同也会影响阻带衰减.对上式进行IDFT得到h(n)，计算其频响.如果改变H1=0对理想低通进行采样对理想低通进行采样幅度特性幅度特性如果N=65，采用两个过渡点，可保持过渡带和原例的过渡带相同.通过优化取值H1=0.5886，H1=0.1065，此时得到滤波器幅度特性如图所示.该图表明阻带最小衰减超过60dB.如果N=65，采用两个过渡点，可保持过渡带和原例的过渡带相同(N=65)有两个过渡点幅度特性(N=65)有两个过渡点幅度特性频率采样法设计滤波器的最大优点是直接从频域进行计算，比较直观，也适合于设计任意幅度特性的滤波器，但边界频率不易控制.如果增加采样点数N，对确定边界频率有好处，但N增加会增加滤波器的成本.因此，它适合于窄带滤波器的设计.总结:频率采样法设计滤波器的最大优点是直接从频域进行计算，比较直观7.4切比雪夫逼近法设计FIR滤波器如果用E(ejw)表示希望的滤波器Hd(ejw)和所设计滤波器H(ejw)之间的频响误差：其均方误差为：7.4切比雪夫逼近法设计FIR滤波器如果用E(ejw)表希望设计的滤波器幅度特性为Hd(w)，实际设计的滤波器幅度特性为Hg(w)，其加权误差E(w)用下式表示：

E(w)=W(w)[Hd(w)-Hg(w)]W(w)为误差加权函数，设计过程中为已知函数.为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件.1.切比雪夫最佳一致逼近准则希望设计的滤波器幅度特性为Hd(w)，实际设计的滤波器幅度特假设设计的是h(n)=h(n-N-1)，N=奇数.式中M=(N-1)/2.假设设计的是h(n)=h(n-N-1)，N=奇数.式中M=(选择M+1个系数a(n)，使加权误差E(w)的最大值为最小(最佳一致逼近).即式中A表示所研究的频带，即通带或阻带.上述分析实际上是用一个M次多项式逼近一连续函数的问题.切比雪夫理论指出这个多项式存在且唯一，并指出构造该多项式的方法是“交错点组定律”.选择M+1个系数a(n)，使加权误差E(w)的最大值为最小(按照该准则设计滤波器的通带或阻带具有等波纹特性.交错点组定律指出最佳一致逼近的充要条件是E(w)在A上至少呈现M+2个“交错”，使得：按照该准则设计滤波器的通带或阻带具有等波纹特性.交错点组定律2.最佳一致逼近准则设计线性相位FIR设希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为：设单位脉冲响应长度为N.2.最佳一致逼近准则设计线性相位FIR设希望设计的滤波器是线【第7章】有限脉冲响应数字滤波器的设计解读ppt课件如果我们知道A上的M+2个交错点频率：

w0,w1,…,wM+1根据交错点组准则，可写出：如果我们知道A上的M+2个交错点频率：写成矩阵形式：写成矩阵形式：解上式可唯一地求出a(n)及ρ.由a(n)可以求出滤波器的h(n).实际上，交错点组的频率w0,w1,…,wM+1是不知道的.直接求解上式也比较困难.利用数值分析中的Remez算法，通过一次次迭代求得一组交错点组频率，而且每次迭代都不用求解上式.解上式可唯一地求出a(n)及ρ.(1)在频域等间隔取M+2个频率ω0,ω1,…,ωM+1作为交错点组的初始值.按下式计算ρ值：算法步骤:(1)在频域等间隔取M+2个频率ω0,ω1,…,ωM+1作为一般初始值ωi并不是最佳的极值频率，ρ也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差.利用Lagrange插值公式求出Hg(ω)，即一般初始值ωi并不是最佳的极值频率，ρ也不是最优估计误差，它把Hg(ω)代入误差公式，求出误差函数E(ω).如果对所有的频率都有|E(ω)|≤|ρ|，说明ρ是波纹的极值，频率ω0,ω1,…,ωM+1是交错点组频率.如果在某些频率处|E(ω)|>|ρ|，说明需要交换初始交错点组中的某些点，形成一组新的交错点.(2)对上次确定的ω0,ω1,…,ωM+1中每一点，都检查其附近是否存在某一频率|E(ω)|>ρ.如有，再在该点附近找出局