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文档简介

常数项级数的概念与敛散性常数项级数的概念与敛散性

1.常数项级数的概念知识点讲解2.

典型例题讲解常数项级数的概念引例

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形，设表示内接正三角形面积,表示边数增加时增加的面积，

则圆内接正边形面积为当

时，这个和逼近于圆的面积

.即常数项级数的概念定义1给定数列称无限和为常数项无穷级数，或无穷级数.称为级数的部分和.常数项级数的概念定义2

若级数的部分和极限存在，即若不存在，则称数项级数发散.则称数项级数收敛，称为数项级数的和，记为常数项级数的概念定理若数项级数收敛，则称差值为级数的余项.若数项级数收敛于,典型例题讲解例1

判断数项级数是否收敛.解故级数收敛，且和为1.典型例题讲解(1)当时，(2)当时，不存在，此时级数发散；例2

讨论等比级数(也叫几何级数)的敛散性.解当时，此时级数收敛，且和为典型例题讲解此时级数发散.(3)当时，不存在，此时级数发散；(4)当时，不存在，课程小结1.介绍了常数项级数的概念及敛散性

2.两种常见级数的敛散性

无穷级数的性质常数项级数的概念与敛散性

1.无穷级数收敛的性质知识点讲解

2.典型例题讲解无穷级数收敛的性质性质1证明

令则说明级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.

若级数收敛于是任意常数，则也是收敛的，其和为无穷级数收敛的性质性质2

若有两个收敛级数证明

令则级数也收敛，其和为这说明级数也收敛，其和为级数的性质级数

收敛的充要条件是：推论1

若级数收敛，则

级数的柯西收敛准则无穷级数收敛的性质（2）若两级数中一个收敛一个发散，则它们的和、差必发散；（1）收敛级数可逐项相加减；（3）若两级数都发散，它们的和、差不一定发散.

例如，取此时收敛；取此时发散.性质2表明无穷级数收敛的性质推论2

若加括号后的级数发散，则原级数必发散.

性质3

在级数前面加上或减去有限项，不会影响级数的敛散性.

性质4

收敛级数加括号所成的级数仍收敛于原级数.

典型例题讲解证明

因为

所以级数是发散的.例1

证明级数

是发散的.典型例题讲解例2

证明调和级数

是发散的.证明

因为

由推论1无法判断级数是发散的.在柯西收敛准则中，取

所以调和级数是发散的.

典型例题讲解例3

判断级数

是否收敛；若收敛，求其和.解

因为级数

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