2021-2023年高考数学真题分类汇编专题18 坐标系与参数方程、不等式选讲（解析版）

专题18坐标系与参数方程、不等式选讲知识点目录知识点1：不等式选讲之面积问题知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化知识点4：SKIPIF1<0的几何意义近三年高考真题知识点1：不等式选讲之面积问题1．（2023•甲卷（文））设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．（1）求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）若曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴所围成的图形的面积为2，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0，即不等式的解集为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）作出SKIPIF1<0的图象如图：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2023•乙卷（文））已知SKIPIF1<0．（1）求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）在直角坐标系SKIPIF1<0中，求不等式组SKIPIF1<0所确定的平面区域的面积．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．综上SKIPIF1<0，即不等式的解集为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）不等式组SKIPIF1<0等价为SKIPIF1<0，作出不等式组对应的平面区域如图：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则阴影部分的面积SKIPIF1<0．3．（2023•甲卷（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）解不等式SKIPIF1<0；（2）若曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴所围成的面积为2，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原不等式的解集为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，且最低点的坐标为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的两零点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，函数图象大致如下：SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴所围成的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题4．（2022•乙卷（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正数，且SKIPIF1<0，证明：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得证．（2）根据基本不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故得证．5．（2022•甲卷（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为正数，且SKIPIF1<0，证明：（1）SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【解析】证明：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为正数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号；（2）法一、由（1）知，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由权方和不等式可知，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0．法二、由（1）知，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0等号成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0等号成立，故SKIPIF1<0．6．（2021•乙卷（文））已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式的解集为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式恒成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0两边平方可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可得，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化7．（2021•乙卷（文））在直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为1．（1）写出SKIPIF1<0的一个参数方程；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线．以坐标原点为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解析】（1）SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为1，则SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个参数方程为SKIPIF1<0为参数）．（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到切线的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这两条切线的极坐标方程为SKIPIF1<0．8．（2022•甲卷（文））在直角坐标系SKIPIF1<0中，曲线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数），曲线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数）．（1）写出SKIPIF1<0的普通方程；（2）以坐标原点为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的直角坐标，及SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的直角坐标．【解析】（1）由SKIPIF1<0为参数），消去参数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的普通方程为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0为参数），消去参数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的普通方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的直角坐标方程为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的直角坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的直角坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．9．（2022•乙卷（文））在直角坐标系SKIPIF1<0中，曲线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数）．以坐标原点为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0．（1）写出SKIPIF1<0的直角坐标方程；（2）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的直角坐标方程为SKIPIF1<0；（2）由曲线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数）．消去参数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．（2023•乙卷（文））在直角坐标系SKIPIF1<0中，以坐标原点SKIPIF1<0为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0为参数，SKIPIF1<0．（1）写出SKIPIF1<0的直角坐标方程；（2）若直线SKIPIF1<0既与SKIPIF1<0没有公共点，也与SKIPIF1<0没有公共点、求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0转换为直角坐标方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直角坐标方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由于曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0为参数，SKIPIF1<0，转换为直角坐标方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如图所示：由于SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0没有公共点；当曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切时，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），由于直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0没有公共点，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0既与SKIPIF1<0没有公共点，也与SKIPIF1<0没有公共点、实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．知识点4：SKIPIF1<0的几何意义11．（2023•甲卷（理））已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为参数），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的倾斜角，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正半轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）以原点为极点，SKIPIF1<0轴正半轴为极轴建立极坐标系，求SKIPIF1<0的极坐标方程．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为参数），SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正半轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正半轴，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0