2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题39 分式方程（学生版+解析版）

专题39分式方程一、解复杂分式方程【典例】计算⑴而;(2) + +•,• x(x+l)(x+l)(x+2) 3+2005)3+2006)【解答】解：⑴—-x+yx2x2-y~x+yx+y=匸x+y'(2) + +,,,+ ,x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)一x+1+x+T~x+2+…+7+2005一x+2006'~xx+2006'2006=x(x+2006)-【巩固】实数*与），使得x+y,x-y,个，§四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x,y).二、求分式方程的取值范围【典例】若以、为未知数的方程亡-左=器*无解，则.=【解答】解：去分母得：x-2+a（X-1）=2（a+1）解得:3a+4解得:3a+4X=~a+1当。+1=。即。=-1时，方程无解.3-2根据题意得：竺;=1时，解得3-2a+1当竺芒=2时，解得:a=-2a+1故答案是・1或一言或-2.

【巩固】若关"的方程号+鴛=1+緡有且只有-个实数根，求实数挪所有可能值.三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中"科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%,购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本.（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买'‘科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）尤元/本，依题意:(l+20%)x依题意:(l+20%)xx解之得：x=15.经检验，x=15是所列方程的根，且符合题意,所以(1+20%)1=18.答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本;（2）设“科普类”书购0本，则“文学类”书购（100-a）本,依题意:18a+15(100-a)<1600.解之得:因为。是正整数,所以a最大（n=33.答：最多可购“科普类”图书33本.【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售.当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务.（1） 原来每天生产健身器械多少台？（2） 运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输.己知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元.在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？

巩固练习e—l+x y+a2a<~f有且只有四个整数解，且使关于y的分式方程J•十一；=】

22x+q y-1y-1TOC\o"1-5"\h\z的解为非负数，则符合条件的所有整数0的和为（ ）A.-3 B.-2 C.1 D.2若关于x的方程x+¥=c+M的两个解是x=c，U*,则关于x的方程的并畐=。+涪j的解是（ ）a+1a,a+1a, a-1A.a,— B.a-1, C.a, D.a a-1 a-1己知关于x的分式方程岂一3=冬的解为正数，则&的取值范围是kK6且奸-2A.k>・6 B.k>-2 C.k>-6kK6且奸-2对于两个不相等的实数力，我们规定符号min{a,时表示a,b中较小的数，如：min{3,5}=3.按照这个规定，方程-3}=吕一去的解为（3A.-2D.-A.-245.Y—5.Y—IX已知关于I的方程口-姉=^豈无解，则〃的值为解下列分式方程如图，某小区有一块长为4。米（0>1）,宽为（4“-2）米的长方形地块.该长方形地块正中间是一个长为（2。+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案.（1） 用含〃的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形边长是 米，B型绿化方案的长方形的另一边长是 米.（2） 请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由.540（3） 若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多（2a_i）2元，求两个工程队共同参与一项筑路工程.若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元.（1） 求乙队单独完成这项工程需多少天（2） 甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3） 若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？ x+1定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分 x+1 式，，.如1±1=^=^+^_=1+2竺2=心^生£+兰=2+奇，则区和x-1 x-1 x-1x-1 x-1x+lx+1 x+1 x+1 x+1 X-12乂一3x+1都是“和谐分式”.（I）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）:吁泮专尊 （2） 将“和谐分式”"-2：+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为:宀2：+3= a-1 a-1+ ； （3） 应用：先化简竺平-二普号三~,并求x取什么整数时，该式的值为整数.x+1xx2+2x某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶.甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍.已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）.（1） 扶梯露在外面的部分有多少级？（2） 如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼拂上？他已经走动的级数是多少级？专题专题39分式方程一、解复杂分式方程［典例】计算(1)——-x+y；x+y111(2) 4- 4-... x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)-尤2【解答】解：(1) -x+y,x+y_¥_》2_y2一x+yx+y'=匸x+y111(2) + +…+ .x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006) 1 _1_ 1_ 1 1_~x~FT1+x+l x+2十…十x+2005 x+2006'11=x_x+2006,2006=x(x+2006)-【巩固】实数》与y使得Hy,x-y,功；四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x,y).【解答】解：由题意知片0,此时我y/x-y,依题意，有x+y=xy=或x-y=xy=5，I、 当x+y=秽=；时，=xy(D9②由②得，尸±1,将)，=1代入①得，Hl=x,此等式不成立，将)，=-1代入①得，x-l=-x,••x=即卜=壹(y=-1.II、 当x-y=xy=^时，

\x~y=^⑴即X*弓⑵由(2)得，y=±l,将y=l代入(1)得，x・l=x,此等式不成立,将)，=-1代入(1)得，x+l=-x,•'•x=故满足条件的数对3y)为弓，・1)和(・壹，-1).二、求分式方程的取值范围【典例】若以、为未知数的方程訪一2-广宀3并22("1)无解，则。= 【典例】若以、为未知数的方程訪一2-广宀3并22("1)无解，则。= 【解答】解：去分母得：x・2+0(x-1)=2(0+I)解得：x：解得：x：~a+l当。+1=0即。=-1时，方程无解.3a+4 2根据题意徐訶=1时，解得“7当藉=2时，解得：.=・2故答案是・1或一宣或-2.【巩固】若关于"勺方程”尹+柴=1+緡有且只有一个实数根，求实数A的所有可能值.【解答】解：竺¥+瓮=”爵两边同时乘以x(x+1)得：k(X-I)(计1)+2好l=x(H1)+2公整理得：(jt-1) (2妍1)屮■妍1=0(I)当*=1时，原方程可变为：・3x+2=0解得:经检验，x=壹是原分式方程的唯一实数根，符合题意.(2)当妇M时，关于x的方程(^-1) (2好l)x+好1=0是一元二次方程,..•原分式方程有且只有一个实数根，(2jH1)]2-4(k-1)(jHD=0解得k=-j将*=一乎代入方程得：一#+気一扌=0解得：X1=X2=§经检验，x=§是原分式方程的唯一实数根，符合题意.当△=（）时，则方程必有一个实数根为0或-1.把x=0代入，可得k=-1,此时方程为-2?+x=0,解得x=0或§经检验是方程的解.把x=・l代入，可得k=-\.此时方程为5?+2r-3=0.解得）=-1或§经检验x=?是方程的解，综上，实数&的所有可能值为1或-?或0或・1.三、分式方程的应用【典例】为増加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%,购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本.（1） 求这两种图书的单价分别是多少元？（2） 学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（I）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）I元/本,依题意:——-20=依题意: (l+20%)x %解之得：x=15.经检验，x=15是所列方程的根，且符合题意,所以(1+20%)x=18.答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购。本，则“文学类”书购（100-G本,依题意：18。+15(1003)W1600,解之得：a＜羽因为〃是正整数,所以a«Affi=33-答：最多可购“科普类”图书33本.【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售.当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务.（1） 原来每天生产健身器械多少台？（2） 运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输.已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元：每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元.在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械X台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4尤台，a，口150 500-150依题忠得： + =8,X1AX解得：x=50,经检验，x=50是原方程的解，且符合题意.答：原来每天生产健身器械50台.（2）设使用，〃辆大货车，使用〃辆小货车，•・•同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，・・.50，”+20〃N500,...〃=25-备〃.又..•运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，♦e—in m<10.•JmVIO ，即 5 ,（1500m+800n<16000 1500m+800（25-^m）<16000解得：8W〃V10.又5为整数，可以为8,9.当/n=8时，n^25-|/n=25-|x8=5：当用=9时，n>25-|/n=25-|x9=|,又•.靠为整数，・..〃的最小值为3.・.・共有2种运输方案，方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；方案2：使用9辆大货车，3辆小货车.方案1所需费用为1500X8^800X5=16000（元），方案2所需费用为1500X9+800X3=15900（元）.VI6000>15900,..•运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元.

巩固练习/+x y+a2a蒔数,使关"的不等式组｛/彦；严只有四个整数解，且使关于,，的分式方程云+戸=1的解为非负数，则符合条件的所有整数〃的和为（ ）A.-3B.-2C.1A.-3B.-2C.1D.2【解答】解：解不等式—<—，得x<5.解不等式5x-2Nx+0,得x>哼由不等式组有且仅有4个整数解，得到0V宰式1，解得・2<a^2.解分式方程7+~~=2»得y=2-a（y^=l,即aHl）.y-11-yv+a2a.・•关于y的方程匕二+—=2的解为非负数，y-ii-y・..2*N0,・.・aW2,..・满足条件的】的值为-1、0、2,..・满足条件的整数】的值之和是-1+0+2=1.故选：C.若关于x的方程］+¥*+¥的两个解是X=c,x=|,则关于x的方程的1+£=。+冬的解是（a+1D.a, a-1a+1D.a, a-1A.a,- B.a-1.—- C.a,—-a a-1 a-1【解答】解:x+£=，+£r即xt+£=0t+£i则xT=〃-1或a-1解得：x\=a,X2= +1=故选：D.已知关于x的分式方程岂-3=占的解为正数，则化的取值范围是（ ）A.k>-6 B.k>-2 C.k>-6且k尹-2D.kN-6且A尹-2【解答】解：分式方程岂-3=右,

去分时得：x-3(x-2)=-k.去括号得：x-3x+6=-k,解得:》=号^,由分式方程的解为正数，得哮X),且%於2,解得：k>-6且妃：・2.故选：C.对于两个不相等的实数。，饥我们规定符号min{a,b}表示。中较小的数，如：5)=3.按照这个规定，方程min{-2,-3}=亮一疫的解为(B.-3A.-2【解答】解：由题意：・3=刍-击,B.-3两边乘x-2得到：-3x+6=3+x3-43-4经检验：是分式方程的解.故选：D.,已知关于、的方程岩左=骼无解，则〃的值为 V—,已知关于、的方程岩左=骼无解，则〃的值为 V—1【解答】解：口-奸1-宀》_2‘ax+1(x+1)(X-1)-X(x-2)=ax+l.x—1 xax+1,・•关于X的方程口一姉=E无解'：.x-2=0或x+l=O,把x=2代入(x+1)a-1)a・2)=E1中可得：3=2a+l,解得a=l,把x=-1代入(x+1)(尤-1)-x(x-2)=ar+l中可得：-3=・a+l,解得a=4,..•a的值为1或4,故答案为：1或4.6.解下列分式方程1-x22x1-x22xx-2(x-3)(x-2)x-3'(3)三=2-义y-3 3-y【解答】解：（1）两边同时乘以G-2）（厂3）得:x(x-3)-(1-x2)=2xCx-2)»解得x=l，经检验，x=l是原方程的解,（2）两边同时乘以（a-1）（对1）得:(对1)2-4=(X-1)(x+1),解得x=1.经检验，x=1是原方程的增根,・.・原方程无解;（3）两边同时乘以（y-3）得:y-2=2(y-3)+1,解得）=3,经检验，），=3是原方程的增根,・.・原方程无解;7.如图，某小区有一块长为4〃米宽为（4。-2）米的长方形地块.该长方形地块正中间是一个长为（2。+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形釆用B型绿化方案.米，B型绿化方案的长方形的另（I）用含0的代数式表示釆用A米，B型绿化方案的长方形的另一边长是. 一边长是. 米.（2）请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由.540⑶若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为炫。元，每平方米造价高的比低的多不讦元，求。的值.。的值.【解答】解：（1）A型绿化方案的四个正方形边长是（«-|）米，B型绿化方案的长方形的另一边长是（匕-1）米；

故答案为：(。一凯(&-1);记A型面积为Sa,B型面积为Sb,根据题意得：Sa=4(o-|)2=4a2-4a+l,Sb=(2a+l)(2a~1)=4a2-1,Sa-Sb=-4a+2,V4«-2>0,•.•-4"+2V0,即Sa・SbVO,则Sa<Sb；由(2)得SaVSb,13501350 540 nr,1350 1350 540.L— ■=， ,即— 1= ，.SASB(2q-1)2 (2a-l)2(2a+l)(2a-l)(2a-1)2解得：a=2,经检验a=2是分式方程的解.两个工程队共同参与一项筑路工程.若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元.求乙队单独完成这项工程需多少天甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？【解答】解：(1)设乙队单独完成这项工程需x天，由题意得：土X30+啓=1,解得:x=90,经检验x=90是分式方程的解；答：乙队单独完成这项工程需90天；(2)设甲队每天的施工费为小万元，乙队每天的施工费为〃万元，答：甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元:..•乙队单独完成这项工程需90天，甲、乙合作完成此项工程共需36天,・.・甲队单独完成这项工程的天数为匚三=60,36_90设乙队施工〃天，甲队施工b天,由题意得：90+60=1①(15b+8a<840@

由①得：。=60-争，把。一60-爭代入②得：15X（60-条）&W840,解得：。》30,即乙队最少施工30天；答：乙队最少施工30天.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分4,LX+l X-l+2 X-1 2 2 2x-3 2X+2-5 2x4-2 -5 一5r,,x+lr式”.如：一-=———=―+—-=1+=，—-= =―-+—-=2+K,则一和x-1x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x+1X+l X+l X+1x-12x—3-7厂都是“和谐分式”.X+1（1） 下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；号冷专尊a2a2-2a+3（2） 将“和谐分式”"一2：+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为:a-1a-1 a-1+ ;3x+6X—l V2—1（3） 应用：先化简— 并求X取什么整数时，该式的值为整数. 【解答】解：（1）=1+；是和谐分式；是和谐分式；④=1+^2是和谐分式：故答案为：①®④； ⑵七空=411