扭矩、扭矩图课件

8.2扭矩、扭矩图8.1扭转的概念与实例8.3圆轴扭转时的应力与变形8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件8.5静不定问题和弹塑性问题第八章圆轴的扭转返回主目录18.2扭矩、扭矩图8.1扭转的概念与实例8.3圆工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz扭转8.1扭转的概念与实例返回主目录2工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz变形前xyzoMoM变形后fAB汽车转向轴传动轴研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:

SMx=0变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。8.1扭转的概念与实例返回主目录3变形前xyzoMoM变形后fAB汽车转向轴传动轴研究对象：扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：

MoMo假想切面外力偶

Mo内力偶

T8.2扭矩与扭矩图返回主目录4扭矩：T是横截面上的内力偶矩。取左边部分平衡由平衡方程：M由平衡方程：

取右边部分T

和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。MoMo假想切面取左边部分平衡外力偶

Mo

扭矩

T扭矩外力偶

平衡TMo5由平衡方程：取右边部分T和T是同一截面上的内力，应当扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负MoTMoT正6扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。

2010画扭矩图：xoCABABCAB段：BC段：7以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的5kN5kN3kNFN

图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。FN图（轴力）按右手法确定+向xoCABT图85kN5kN3kNFN图+-5kN2kN8kN5kN2kN解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。

BMBMCCMAMDAD9解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=7最大扭矩在AB段，且求各截面内力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT

/kN·m1.643.282.18T

图10最大扭矩在AB段，且求各截面内力：BC段CA段AD段BMBM简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·mT

图按右手法确定+向1.6411简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xoCAB40kN·mD20kN·m10kN·m10kN·mABCD20xoCAB40kN·mD10kN·m10kN·m求反力偶：2010T图按右手法确定+向ABCD20返回主目录12讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xo变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件变形几何条件材料物理关系++1.变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前变形后8.3.1圆轴扭转的应力公式8.3圆轴扭转时的应力与变形返回主目录13变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件变形几何条件材料物理取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：df/dx

,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg14取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原1.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。切应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角d

/dx成正比。即得变形几何条件为：--(1)同样有：

CC=gdx=rddxOCDABrrCDdfTgrgr151.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。切应变2.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切胡克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为切变模量。--(2)半径为r处的切应力则为：

圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gts材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系。162.物理关系—材料的应力-应变关系--(2)半径为r处的讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布圆轴几何及T给定，d/dx为常数；G是材料常数。--(3)dxOCDABrrCDdfTgrgrtrTotrrtmax最大切应力在圆轴表面处。截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比；切应变在ABCD面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。17讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布圆轴几何及T给定，d3.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA183.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各3.力的平衡关系令：最后得到：--(4)IP称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。trTotrrtmaxtmax在圆轴表面处，且W=IP

/r，称为抗扭截面模量。T求IP，WT?193.力的平衡关系令：最后得到：--(4)IP称为截面8.3.2

圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/r

TPdDo讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积dA=2prdr,则有：极惯性矩:ò=AdAI2rPrdrdA极惯性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apP-==DDIWTa=d/D208.3.2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do极惯性矩P=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWTa=d/D=0324DIpP=163DWTp=21圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do极惯研究思路：变形几何条件dx---(1)d/jrg=+材料物理关系dxdGGjrgtrr==---(2)静力平衡关系+ATdAdxdG=ò2rj---(3)圆轴扭转切应力公式：rrtIpT=---(4)且由(2)、(4)可知单位扭转角为：PjGITdxd//=---(5)22研究思路：变形几何条件dx---(1)d/jrg=结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）

tr=Tr/IP

tmax=T/WT

dDo空心圆轴实心圆轴DoTtrtmaxTtrtmax23结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横2）讨论：2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?

若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToToT24讨论：2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?1）已知二轴8.3.3扭转圆轴任一点的应力状态

TdxTttdxCAdyttt′t′研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0

t=t切应力互等定理：物体内任一点处两相互垂直的截面上，切应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离两截面的交线。258.3.3扭转圆轴任一点的应力状态TdxTttdtdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=08.3.3扭转圆轴任一点的应力状态

dxCAdyttt′t′纯切应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。纯切应力状态:微元各面只有切应力作用。

45斜截面上的应力：

还有：s-45=t；t-45=0

t45dxCt45s45ttdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。26tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s458.3.4

圆轴的扭转变形单位扭转角为：相对扭转角

：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则ABGI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。P若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDABrCDddgTgTABLBAgdxGITdLABòò==0Pj若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T/GIp=const.,故有：PGILTAB/=278.3.4圆轴的扭转变形单位扭转角为：相对扭转角例2.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m

MC=100N·m，材料G=80GPa，试求（1）轴内的最大切应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-MPa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m28例2.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=52)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=PPjN-mm-MPa单位制292)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7MPaf思考题:8-2，8-3习题：8-1(b)(c)，8-2返回主目录30思考题:8-2，8-3返回主目录30拉压

ss/n

(延)

=[]=

sb/n

(脆)max

ts/n

(延)t

=[t]=

tb/n

(脆)扭转强度条件max[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：

[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxss£=AFN][/maxtt£=TWT8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录31拉压ss/n(延)轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIP扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m;精度高的轴；

[q]=0.5~1.0/m;一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqpqP£=oGIT32轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP扭转圆轴必须满足3.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。强度条件：][/maxtt£=TWT刚度条件：][180maxqpqP£=oGIT极惯性矩324DIpP=抗扭截面模量163DWTp=333.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN·m，

MD=2.18kN·m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·m1.642)按强度设计，有：][16/3maxtpt£==DTWTTN-m-Pa单位制34解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB2)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者][18032/1804maxqpppqp£==ooDGTGIT则有：42max][18032qpGMD°³42911080180328032=pN-m-Pa单位制)(109.693m-=mm70=352)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者]讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-³TD3641040)5.01(328016-=p按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqpapq£-=oDGT则有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-³apD扭矩图不变，按强度设计，有：][maxmaxtt£==TT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD实心轴空心轴重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。36讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。故：=76.4mm例5.联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若[]=80MPa，[bs]=120MPa。试确定许用的扭矩T。解：1)考虑轴的扭转强度条件:][16/3maxmaxtpt£==DTWTT16/][3DT扭pt£mkNmmN·7.15·107.1516/1008063===pttD1ToD37例5.联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm2)考虑螺栓剪切强度:=FS/(d2/4)[]

有：FS[]d2/4=25.12kN2)考虑螺栓挤压

强度：bs=Fbs/Abs=Fbs/td[bs]

有:

Fbs

td[bs]=28.8kN

T=min{Ti}=15.7kN·mttD1ToDFSFSFSFSD1ToFbsFbsFbsFbs由平衡条件有4FS(D1/2)=T

T剪=4FS(D1/2)4×25.12×0.16=16.1kN·m由平衡条件有：4Fbs(D1/2)=T故T挤=4×28.8×0.16=18.4kN·m。返回主目录382)考虑螺栓剪切2)考虑螺栓挤压T=min{Ti}=求解变形体静力学问题的基本方程:力的平衡方程、材料的物理方程和变形几何方程。变形体静力学问题研究对象受力图平衡方程求反力？静不定物理方程几何方程静定求内力应力求变形物理求位移几何联立求解反力、内力、应力变形、位移等静不定问题有多余的变形约束弹塑性问题物理方程不同8.5静不定问题和弹塑性问题返回主目录39求解变形体静力学问题的基本方程:变形体静力学问题研究对象受力静不定问题例6两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶MC作用，试求两固定端的支反力偶矩。

解:静力平衡方程

:

MC=MA+MB---(1)物理方程(力—变形关系)

AC=-MAa/GIP;CB=MBb/GIP

---(3)几何方程:

AB=AC+CB=0---(2)abAMCCBMAMBMAMBT图(3)代入(2)，再与(1)联立求解，得:

CBMbaaM+=

CAMbabM+=;40静不定问题例6两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶弹塑性问题例7空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性切应力-切应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭矩Ts，及轴可承受的最大扭矩TU。解：解：1）弹性阶段：（T<Ts）剪切胡克定律成立，有t=Gg。

2）开始屈服:(T=Ts)

此时有:tmax=Ts/WT=ts

trtmaxorTTTOttsg已知截面切应力分布，且有：

tmax=T/WT=T/[pD3(1+a4)/16]41弹塑性问题例7空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性切弹塑性问题trorT屈服扭矩:

Ts=WTts=srtap)1(243-3）屈服阶段：（T>Ts）对于理想弹塑性材料，已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一步增加，t

ts。随着扭矩的进一