第二章 直角三角形的边角关系专题 求锐角三角函数值的七种常见方法同步练习（含解析）

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第二章直角三角形的边角关系

专题求锐角三角函数值的七种常见方法

方法1定义法

1.在Rt△ACB中,∠C=则BC的长为()

A.6B.7.5C.8D.12.5

2.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角,则tanα=()

A.2C.

方法2特殊角法

3.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE=____________.

方法3同角或互余角法

4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若则tan∠BCD的值为()

5.(1)已知∠A是锐角,求证:sinA+cosA=1;

(2)已知∠A为锐角,且求∠A的度数.

方法4设参数法

6.如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,点F在CD边上,且求∠EAF的正弦值、余弦值.

方法5等角代换法

7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4,△AEF的面积为5,则sin∠CEF的值为()

方法6折叠法

8.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D

正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值.

方法7网格构造直角法

9.如图,在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B,C,E为网格交点,AD⊥BC,垂足为D,则sin∠BAD的值为()

10.问题呈现

如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D,N和E,C,DN与EC相交于点P,求tan∠CPN的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比

如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.

问题解决

(1)图①中tan∠CPN的值为______________;

(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.

思维拓展

(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.

参考答案

练素养

1.A【点拨】∵故选A.

2.A【点拨】由已知可得，大正方形的面积为1×4+1=5.设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则解得或(不合题意，舍去).

【点拨】连接AB、BC、AC、BE.∵点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,∴AB=BC=AC,BE垂直平分AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=故答案为

4.B【点拨】由勾股定理知,.根据同角的余角相等,得∠BCD=∠A.∴tan∠BCD=故选B.

5.(1)【证明】设△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则根据勾股定理，得a+b=c,

(2)【解】设sinA=x(x>0),则sinA=x,cosA=1-x.

即4x-4x+1=0.

∴(2x-1)=0.∴2x-1=0,即(负值已舍去)，即

6.【解】连接EF,设CF=k.则CD=AD=AB=BC=4k,∴BE=EC=2k,DF=3k.

根据勾股定理，得∴EF+AE=25k=AF.

∴△AEF是直角三角形,且∠AEF=90°.

点方法当出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示三角形三边长，再用定义求解.

7.A【点拨】连接BF.∵CE是斜边AB上的中线,EF⊥AB,∴EF是AB的垂直平分线.

∴AF=BF,

在Rt△BCF中.

由题易得又∵∠BCA=90°=∠BEF,∴∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A,∠CEF=90°-∠BEC=90°-2∠A.

8.【解】∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°.

根据图形得∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°.

根据折叠的性质,知∠EFC=∠D=90°,∴∠AFE+∠BFC=90°.

∵在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.

根据折叠的性质,得CF=CD=10.

在Rt△BFC中,BC=8,CF=10,

9.C【点拨】在Rt△BEC中,

∵∠ABD+∠CBE=90°,∴∠BAD=∠CBE,故选C.

10.【解】(1)2

(2)如图①,取格点B,连接AB,可得AB∥MC,∴∠CPN=∠BAN.

连接BN，易知△ABN为直角三角形.

在Rt△ABN中,.

(3)设BC的长为单位1，构造