指点迷津(十二)　排列、组合问题的解题策略

GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指点迷津(十二)排列、组合问题的解题策略第十一章排列、组合问题的解题策略排列、组合一直是不少学生学习中的难点,通过我们平时做的练习,不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证,在高考中极易丢分.本文为学生提供了解决排列、组合问题的基本策略,遵循这些策略能较大程度地提高解决问题的能力.策略一

特殊元素与特殊位置优先策略例1.若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,组成没有重复数字的三位偶数,则这样的三位数一共有(

)A.20个 B.48个 C.52个 D.120个答案:C

解析:根据题意,分2类情况讨论:①若0在个位,此时只需在1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有

=20(个)没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须在2或4中任取1个,作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时共有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.综合可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.解题策略解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质,对于每一类还要注意分步完成.策略二

相邻元素捆绑策略例2.在毕业离校之前,有三位同学要与语文、数学两位老师合影留念,则这两位老师必须相邻且不站两端的站法种数为(

)A.12 B.24

C.36

D.48答案:B

解题策略关于相邻问题,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.策略三

不相邻问题插空策略例3.若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照,则其中任意2名教师不相邻的站法有

种.

答案:1440

解析:根据题意,分两步分析:先将4名演讲比赛获奖学生全排列,则有24×60=1

440(种)符合题意的站法.故答案为1

440.解题策略对于不相邻问题,可以把没有位置要求的元素进行排列,再把不相邻的元素插入队列的中间或两端的空隙中.策略四

定序问题倍缩、空位插入策略例4.7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?故共有840种不同的排法.(方法3)先让甲、乙、丙排队,有1种排法,再把其余4人分别插入,不同排法的种数为4×5×6×7=840.故共有840种不同的排法.解题策略对于定序问题可以利用倍缩法,也可以转化为占位插空模型处理,只要选出有序元素所占的位置即可,相同元素的排列一般也按定序排列的方法处理.策略五

元素相同问题隔板策略例5.(1)从A,B,C,D4个班级中选10人组成卫生检查小组,每班至少选一人,每班人数的不同情况的种数为(

)A.42 B.56

C.84 D.168(2)将十个相同的小球装入编号为1,2,3的三个盒子(要把十个球装完)中,要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数,则这样的装法种数为(

)A.9 B.12

C.15

D.18(3)把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里,使得第i个盒子中至少有i个球(i=1,2,…,10),则不同放法的总数是(

)(4)将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中,每盒可空,不同的放法共有(

)A.165种

B.56种

C.35种

D.20种答案:(1)C

(2)C

(3)D

(4)A

解析:(1)将10个人排成一排,然后从中间形成的9个空中选3个,分别放入一个隔板,即可将10个人分为4个部分,且每部分至少1个人,(2)根据题意,先在编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球,编号为1的盒子里不放;再将剩下的7个小球放入3个盒子里,每个盒子里至少一个,分析可得,7个小球排好,中间有6个空位,在6个空位中任选2个,插入挡板,共

=15(种)情况,即可得符合题目要求的装法共15种.故选C.(3)先在第i个盒里放入i个球,i=1,2,…,10,即第1个盒里放1个球,第2个盒里放2个球,…,这时共放了1+2+…+10=55(个)球,还余下1

995-55=1

940(个)球.故转化为把1

940个球任意放入10个盒子里(允许有的盒子里不放球).把这1

940个球用9块隔板隔开,每一种隔法就是一种球的放法,1

940个球连同9块隔板共占有1

949个位置,相当于从1

949个位置中选9个位置放隔板,有

种放法.故选D.(4)首先设想每个盒子内放入1个小球,共用去4个小球,(添加4个这样的小球)将问题转化为把12个相同的小球分装到4个不同的盒子中,每个盒子里至少一个球,求不同的放法的问题,利用隔板法,把12个小球排成一列,在11个空隙中插入3个隔板,即得不同的放法有

=165(种).故选A.解题策略将n个相同的元素分成m份(n,m为整数),每份至少一个元素,可以用(m-1)个隔板,插入n个元素排成一排形成的(n-1)个空隙中,所有分法为

种.策略六

小集团问题先整体后局部策略例6.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有(

)A.24种 B.28种

C.36种 D.48种答案:D

去掉相同颜色衣服的人都相邻的情况,再去掉仅穿红色相邻和仅穿黄色相邻的两种情况.解题策略小集团排列问题,先整体排列,后局部排列,再结合其他策略进行处理.策略七

正难则反总体淘汰策略例7.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(

)A.243 B.252

C.261

D.279答案:B

解析:由分步乘法计数原理知,用0,1,…,9十个数字组成的三位数(可以有重复数字)共有9×10×10=900(个),组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648(个),因此组成有重复数字的三位数共有900-648=252(个).故选B.解题策略有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简单易求,分类情况也较简单明确,此时可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.策略八

排组混合问题先选后排策略例8.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级,每个班级至少一位老师,则共有分配方案(

)A.81种 B.256种C.24种 D.36种答案:D

解题策略排列组合的应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原则.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.策略九

分组问题排重策略例9.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”“吉他协会”等五个社团,若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法种数为(

)A.3600 B.1080 C.1440 D.2520答案:C

解析:由题意,可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团,或除“演讲团”外的四个社团中的三个社团,可以分成两类:第一类,当6名同学分成人数分别为1,1,2,2四个组时,应分配到除“演讲团”解题策略1.各组个数不同:应用组合知识直接分组;

策略十

分解与合成策略例10.30030能被多少个不同的偶数整除?解:先把30

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