工程控制原理-第三章课件

第三章控制系统的数学模型及传递函数为了分析或设计一个自动控制系统。首先要建立其数学模型。建模通常是研究自动控制系统首要的和最终的工作。3.1数学模型

一、基本概念

系统的数学模型是描述系统在运动过程中各物理变量之间的相互关系的数学表达式。

因为系统在运动中各物理量是随时间而变化的。因此运动方程是微分方程而不是代数方程，通常称为动态微分方程。

建立系统的数学模型，有两种基本方法：解析法和实验法。第三章控制系统的数学模型及传递函数1

解析法：根据系统及元件各变量遵循的物理规律，推导出数学表达式从而建立数学模型.各学科的基本定理：如牛顿定律、质量守恒、电学定律。

实验法：对复杂的系统，设计的因素较多时，通过实验法，即根据实验数据进行整理和编写，拟合曲线从而求出系统的数学模型。

2二、线性系统与非线性系统

1、线性系统

如果系统的数学模型表达式是线性微分方程，则这种系统就是线性系统。线性系统最重要的特征是可以运用叠加原理。

叠加原理：系统在n个外界力作用下所产生的响应，等于各个外界力单独作用的响应之和。二、线性系统与非线性系统3线性系统又可分为：1）线性定常系统：用线性常微分方程描述的系统如：

其中abcd均为常数

2）线性时变系统：描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数，如：

本课程研究对象主要是线性定常系统。线性系统又可分为：42、非线性系统用非线性方程描述的系统称为非线性系统。如：

非线性系统不能运用叠加原理，非线性系统的分析比较复杂

典型非线性：饱和特性；死区特性等；2、非线性系统5对非线性问题，处理途径：1、线性化，在工作点附近，用泰勒公式展开；

2、忽略非线性；3、对于即不能简化又不能忽略的，用非线性系统的分析方法来处理。工程控制原理-第三章课件6三、系统数学模型的建立

本课程主要涉及简单的机械系统及电系统。（很重要，）

工程控制原理-第三章课件7f(t)X(t)f(t)=f(t)kxf(t)=kx(t)mf(t)mxBf(t)X(t)阻尼力大小与运动速度成正比方向与运动方向相反惯性力：大小与加速度成比例方向与运动方向相反弹性力大小与弹簧两端的相对位移成正比方向与运动方向相反f(t)X(t)f(t)=f(t)kxf(t)=kx(t)m8求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，弹簧-质量-阻尼器机械位移系统mKfF(t)X(t)求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。弹簧-质量-9

建立图示系统数学模型X0(s)/Xi(s).XiB1K1MB2X0解：建立数学模型建立图示系统数学模型X0(s)/Xi(s).XiB10例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，Xi表示输入位移，X。表示输出位移。例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，Xi11（3）对图（C）所示系统，由牛顿定理：（3）对图（C）所示系统，由牛顿定理：123.2传递函数通过上一节把元件及系统的微分方程建立后，就可以对其求解。但是，微分方程的求解不但十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态分析，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。

一、传递函数

定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量x0(t)的拉氏变换与输入量xi(t)的拉氏变换之比，即：

3.2传递函数13设线性定常系统的微分方程一般式为：

由于初始值均为0，对上式两端进行拉氏变换

则系统的传递函数为：设线性定常系统的微分方程一般式为：

由于初始值均为14二、传递函数的性质1、传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特征，分子代表输入与系统的关系。

m二、传递函数的性质m152、传递函数不说明被描述系统的物理结构，只要动态性能相似，不同的系统可用相同的传递函数来描述；3、传递函数可以是无量纲的也可以是有量纲的（取决于输入量与输出量的量纲及其比值）；4、传递函数是复变数s的有理分式；2、传递函数不说明被描述系统的物理结构，只要动态性能相似，165、传递函数是经拉氏变换导出的。而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统；6、传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前系统所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统的非零初始条件下的全部运动规律。5、传递函数是经拉氏变换导出的。而拉氏变换是一种线性173.3、典型环节的传递函数

由各个元件组成的系统，可能是电气的，机械，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。了解各个元件的传递函数，对于建立系统的传递函数是很重要的。

3.3、典型环节的传递函数

由各个元件组成的18一、比例环节

也称放大环节，其传递函数为：

KXi(s)Xo(s)举例：KXi(s)Xo(s)举例：19二、惯性环节

凡动力学方程满足一阶微分方程：

形式的环节为惯性环节，其传递函数：

T——惯性环节的时间常数

二、惯性环节

凡动力学方程满足一阶微分方程：

20例：弹簧K和阻尼器C组成的一个系统，其方程Xi(t)Xo(t)kB由于惯性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变。输出总落后于输入，惯性环节的名称就由此而来。例：弹簧K和阻尼器C组成的一个系统，其方程Xi(t)Xo(t21三、微分环节

凡输出量正比于输入量微分的环节称为微分环节，其运动方程为：

传递函数为：

微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势,也等于给系统以有关输入变化趋势的预告，因而微分环节常用来改善控制系统的动态性能三、微分环节

凡输出量正比于输入量微分的环节称为微22测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电机。如图所示，当电机转角为输入量，电枢电压为输出量时：式中kt为电机常数传递函数：测量转速的测速发电机实质上是一台直流23四、积分环节

输出量x0(t)与输入量xi(t)对时间积分成正比。即：

其传递函数为

式中T——积分环节的时间常数

积分环节的一个显著特点是输出量取决于输入量对时间的累计过程。输入量作用一段时间后，即使输入为零，输出量仍保持已达到的数值，故有记忆功能。另一个特点是有明显的滞后作用。四、积分环节

输出量x0(t)与输入量xi(t)对时间24C例：图示简单的电容元件，求此环节的传递函数解：取输入量为回路电流i取输出量为电容器两端电压Vi(t)U(t)C例：图示简单的电容元件，求此环节的传递函数i(t)U(t)25五、二阶振荡环节

如果输入、输出满足如下的微分方程：

则称为二阶振荡环节，其传递函数为

式中：T——振荡环节的时间常数；ζ——阻尼比

k——比例系数

振荡环节含有两个独立的储能元件，并且所储存的能量能够互相转换，从而导致输出带有振荡的性质。m五、二阶振荡环节

如果输入、输出满足如下的微分方程：

26二阶振荡环节传函的另一常用标准形式

无阻尼固有频率

工程控制原理-第三章课件27例：由电感L、电阻R及电容C组成的串、并联电路。Vi为输入电压，VO为输出电压。求此系统的传递函数。VOViILLRCIRIC例：由电感L、电阻R及电容C组成的串、并联电路。VOViIL28变换：拉氏变换传递函数变换：拉氏变换传递函数29六、延时环节

延时环节是输出和输入相同而仅延迟时间τ。即：输出x0(t)要经过时间τ以后才复现输入信号。延时环节的输出表示为：

其传递函数为：

六、延时环节

延时环节是输出和输入相同而仅延迟时间30给定信号电压功率放大器控制电机减速器调压器恒温箱热电偶U1U2_U0nn0U温度3-3、系统的方块图及其简化给定信号电压功率放大器控制电机减速器调压器恒温箱热电偶U1U31G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)R(s)C(s)3-3、系统的方块图及其简化在控制工程中，人们习惯于用方块图说明和讨论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，它清楚地表明系统中各个元件间的相互关系，便于对系统进行分析和研究。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)32信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。3.3.1方块图元素

（1）方块（Block）:表示输入到输出单向传输的函数关系。信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号33（2）比较点（合成点、综合点）：两个或两个以上的输入信号进行相加、减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。注意：进行相加、减的量，必须具有相同的量刚。（2）比较点（合成点、综合点）：两个或两个以上的输入信号进行34（3）引出点（或分支点）

引出点表示信号引出和测量的位置。引出点的特征：同一位置引出的几个信号在大小和性质上完全一样。（3）引出点（或分支点）35（4）串联

环节串联后总的传递函数，等于每个串联环节传递函数的乘积。

G1(s)G2(s)Xi(s)G3(s)XO(S)G1G2…Xi(s)Xo(s)G4(s)（4）串联G1(s)G2(s)Xi(s)G3(s)XO(S)36（5）并联

环节并联后总的传递函数，等于所有并联环节传递函数之和。G1+G2+G3Xi(s)XO(s)G1G2G3Xi(s)Xo(s)+++（5）并联G1+G2+G3Xi(s)XO(s)G1G2G3X376、反馈反馈系统如图所示：求C(s)/R(s)=?+–G(s)H(s)R(s)E(s)B(s)C(s)+–G(s)H(s)R(s)E(s)B(s)C(s)38当系统具有负反馈时，由上图可得：联立解：

前向通道传函1+前向通道传函·反馈通道传函=当系统具有负反馈时，由上图可得：前向通道传函1+前向通道传函39定义：A、前向通道传函：输出量C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通道传函。B、反馈通道传函：反馈信号B(s)与输出量C(s)之比。C、开环传递函数：反馈信号B(s)与作用偏差信号E(s)之比。加一个方块举例定义：加一个方块举例40D、闭环传递函数：输出量C(s)与输入量R(s)之比。即：当H(s)=1时，即为单位负反馈。

D、闭环传递函数：输出量C(s)与输入量R(s)之比。即41E、偏差传递函数：偏差信号E(s)与输入量

R(s)之比。

–G(s)H(s)R(s)E(s)E、偏差传递函数：偏差信号E(s)与输入量–G(s)H(s42二、扰动作用下的闭环系统具有扰动（干扰）的闭环系统，如图：

应用线性叠加原理，将控制信号与扰动信号分别考虑。

G1(s)G2(s)H(s)R(s)F(s)C(s)+-二、扰动作用下的闭环系统G1(s)G2(s)H(s)R(s43Ⅰ、控制作用引起的输出。如图

G1G2HR(s)C(s)+-即Ⅰ、控制作用引起的输出。如图G1G2HR(s)C(s)+-442.扰动作用引起的输出

G2H-1G1F(s)++即:2.扰动作用引起的输出G2H-1G1F(s)++即:45因此，系统总的输出为：因此，系统总的输出为：46三、方块图的简化法则

为了便于通过方块图的简化来计算系统的传递函数，在下表中列出了方块图的等效变换。在简化过程中须遵守两条基本原则。即：

1）

前向通道的传递函数保持不变。2）

各反馈回路的传递函数保持不变。三、方块图的简化法则47变换原方块图等效方块图1.分支点后移RGCR1/GRGCR2.分支点前移RGCCGGCRC3.相加点后移R1R2GCGGCR1R24.相加点前移R1R2GCR1R2GC1/G5.消去反馈回路RGHCRC变换原方块图等效方块图1.分支点后移RGCR1/GRGCR248G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)493-4信号流图及梅逊公式当系统方块图比较复杂时，可以将其转化为信号流程图，并采用梅逊公式求出系统的传递函数。与下图所示对应的系统信号流程图如下：信号流程图是由一些定向线段将一些节点连接起来组成的。3-4信号流图及梅逊公式信号流程图是由一些定向线段将一501.节点：用来表示变量或信号。输入节点（源点):只有输出，没有输入的节点。输出节点（汇点):只有输入，没有输出的节点。既有输入又有输出的节点称为混合节点。2.定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向,支路上还表明了增益，即支路上的传递函数。1.节点：用来表示变量或信号。513.通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的通径。前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。4.回路：起点和终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路。5.不接触回路：回路间没有任何公共节点者。3.通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的通52从输入变量到输出变量的系统传递函数可由梅逊公式求得。梅逊公式可表示为：其中：P---系统总的传递函数；n---前向通道数目；Pk---第k条前向通道的传递函数；Δ---信号流程图的总特征式；Δk---第k条前向通道特征式的余因子从输入变量到输出变量的系统传递函数Δk---第k条前向53式中：---所有不同回路的传递函数之和。--每两个互不接触回路传递函数乘积之和。---每三个互不接触回路传递函数乘积之和。式中：---所有不同回路的传递函数之和。54Δk---第k条前向通道特征式的余因子，即:对于流程图的特征式Δ，将与第k条前向通道相接触的回路的传函代以零值，余下的即为Δk。

在计算反馈回路传递函数时，把代表反馈极性的正负号要带进去。

Δk---第k条前向通道特征式的余因子，即:对于流程图的特征55G1G2G3G4G5G6H1H2H3H4Xi(s)XO(s)2134G1G2G3G4G5G6H1H2H3H4Xi(s)XO(s)56解：一、先计算：1.独立回路有4条2.两两不相触回路有一组。3.无三个以上不接触回路。故二、再计算分子只有一条前向通道.K=1.且各回路都与此通道相触解：一、先计算：1.独立回路有4条2.两两不相触回路有57工程控制原理-第三章课件58工程控制原理-第三章课件59例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，Xi表示输入位移，X。表示输出位移。例：图中分别表示了