信号分析与处理-杨西侠版-第5章习题答案VIP

PAGE1用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H(z) 1）Ha(s)=2）Ha(s)= 解：由Ha(s)分解成部分分式之和 1）Ha(s)===–∴H(z)=–=2）Ha(s)==+∴H(z)=+=5-2设ha(t)表示一个模拟滤波器的单位冲击响应 ,t≥0 ha(t)= 0,t＜0（1）用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确定系统函数H(z)（以T作为参数）（2）证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器 解：（1）∵ha(t)=u(t) ∴Ha(s)= ∴H(z)= (2)∵H(z)= 则其极点为z= ∵T>0∴|z|<1H()==可以看出当ω↑时，|H()|↓∴是低通滤波5-3图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)xaxa(t)CRya(t)ya(t)==–∴==Ha(s)由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线性变换法实现H(z)∴H(z)===5-4设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)=，式中Ωc是模拟滤波器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2π的3dB带宽的单极点低通数字滤波器 解：由预畸可知==∴Ha(s)=由双线性变换法可得H(z)===5-5要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标：3dB截至角频率ωc=π/2，通带内ωp=0.4π处起伏不超过1dB，阻带内ωs=0.8π处衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现 （1）用冲击响应不变法 （2）用双线性变换法 解：（1）用冲击响应不变法先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标====②设计模拟滤波器，求出Ha(s)Butterworth的频响函数为=∴======∴n==2.14∴取n=3求==∴ωc=rad/s==0.372π∴=设T=1,则=0.372π求Ha(s)查表可得∴Ha(s)=由冲击响应不变法先将Ha(s)分解成部分分式Ha(s)=++ =则H(z)=++ = （2）用双线性变换法①由预畸求模拟滤波器原型指标==== ②设计模拟滤波器，求出Ha(s) Butterworth的频响函数为 =∴==== ∴n==1.51 取n=2 ③求 == 取T=1 ∴=rad/s==2.862 ④求Ha(s) 查表可得： = Ha(s)== = ⑤由双线性变换法求 H(z)==5-6已知图5-41h1(n)是偶对称序列N=8，h2(n)是h1(n)圆周位移后的序列。设H1(k)=DFT[h1(n)],H2(k)=DFT[h2(n)] (1)问|H1(k)|=|H2(k)|是否成立？θ1(k)与θ2(k)有什么关系？ (2)h1(n)，h2(n)各构成低通滤波器，试问它们是线性相位的？延时是多少？ (3)这两个滤波器的性能是否相同？为什么？若不同谁优谁劣？ 解：(1)由DFT的时移定理 DFT[xp(n-m)RN(n)]=可知 H1(k)和H2(k)只有相位差，幅值相等，即有 |H1(k)|=|H2(k)|θ1(k)和θ2(k)相差即θ2(k)–θ1(k)===(2)∵无论h1(n)，h2(n)都是偶对称序列 ∴所以他们构成的低通滤波器具有线性相位延时α===3.5(3)不相同，相位相差kπh1(n)要优于h2(n)，因为其相位滞后时间少5-7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字滤波器 Hd()=0 ，(1)求出相应于理想低通的单位脉冲响应hd(n) (2)求出矩形窗设计法的h(n)表达式确定τ与N之间的关系(3)N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？ 解：(1)hd(n)= == (2)h(n)=hd(n)RN(n),h(n)只能取偶对称序列，由线性相位 τ= (3)由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而且只要N的取值使h(n)为关于的偶对称函数，就能保证线性相关，另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽，不会影响阻带良域。5-8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器 Hd()=0 ， (1)求出响应于理想高通的单位脉冲响应hd(n) (2)求出矩形窗口设计法的h(n)表达式，确定τ与N之间的关系 (3)N的取值有什么限制？为什么？ 解：(1)hd(n)= =+ =+ ====–=–∴hd(n)仍然是偶函数 (2)h(n)=hd(n)RN(n) ∴h(n)为偶对称序列，要保持滤波器具有线性相位，则须有τ= (3)这是一个高通滤波器，由于h(n)为偶对称，而当N取偶数时，所得到的滤波器不能实现高通特性 ∴N只能取奇数5-9考虑一个长度为M=15的线性相位FIR滤波器，设滤波器具有对称单位样值响应，并且它的幅度响应满足条件 1，k=0,1,2,3 H()=0，k=4,5,6,7确定该滤波器的系数h(n) 解：由于H(k)= ∴h(n)=IDFT[H(k)]= ∴h(0)==1 h(1)== h(2)== h(3)== h(4)=0h(5)=0h(6)=0h(7)=0 由频率特性可知，这是一个低通滤波器 ∴要取h(n)关于α===7这一点偶对称时，可实现低通滤波（奇对称时，无法实现低通滤波）∴取h(8)=h(6) h(9)=h(5) h(10)=h(4) h(11)=h(3) h(12)=h(2) h