差分方程与滤波

差分方程与滤波第1页，课件共64页，创作于2023年2月roll-off滚降gain增益passband通带stopband阻带bandwidth带宽linearsystem线性系统superposition叠加原理time-invariant时不变causalsystem因果系统differenceequation差分方程filtercoefficient滤波器系数recursivefilter递归滤波器nonrecursivefilter非递归滤波器

finitewordlengtheffect有限字长效应impulseresponse脉冲响应infiniteimpulseresponse（IIR)无限脉冲响应finiteimpulseresponse(FIR)有限脉冲响应movingaveragefilter滑动平均滤波器stepresponse阶跃响应第2页，课件共64页，创作于2023年2月4.1滤波基础知识滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换信号的系统。例：低通滤波器减少磁带中的高频杂音分量，保留中、低频率分量。

高通滤波器可用于声纳系统中消除信号中船和海的低频噪声，来识别目标。

带通滤波器可用于数字电话系统中双音多频信号的解码。如图4.1

带阻滤波器除特定频带外，允许所有频率通过。第3页，课件共64页，创作于2023年2月图4.1第4页，课件共64页，创作于2023年2月理想滤波器的形状是矩形，图4.2给出非理想滤波器。图4.2第5页，课件共64页，创作于2023年2月滤波器的阶数越高，它的滚降（roll-off)越快，也就越逼近理想情况。增益高的频率范围，信号可以通过，称为滤波器的通带。增益低的频率范围，滤波器对信号有衰减或阻塞作用，称滤波器的阻带。增益为最大值的1√2=0.707所对应的频率为滤波器截止频率增益通常用分贝（dB）表示。增益（dB）=20log(增益）增益为0.707时对应-3dB，因此截止频率常被称为-3dB。它们定义了滤波器的宽带。对于低通滤波器宽带是从0~-3dB

对于高通滤波器宽带是从-3dB~采样频率的一半对于带通滤波器带宽是截止频率之间的频率距离第6页，课件共64页，创作于2023年2月FIGURE4-3BandpassfilterforExample4.1.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第7页，课件共64页，创作于2023年2月FIGURE4-4BandwidthcalculationforExample4.1.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第8页，课件共64页，创作于2023年2月低通滤波器可以平滑信号的突变高通滤波器可以强化信号的锐变第9页，课件共64页，创作于2023年2月FIGURE4-5Effectsoflowandhighpassfilters.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第10页，课件共64页，创作于2023年2月FIGURE4-5Continued.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第11页，课件共64页，创作于2023年2月FIGURE4-5Continued.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第12页，课件共64页，创作于2023年2月图4.6说明不同方式滤波器对语言滤波器可以获得不同频率分量（自学）返回图4.6第13页，课件共64页，创作于2023年2月4.2模拟滤波器和数字滤波器模拟滤波器是由电器元件构成的电路，滤波器特性对所用部件值非常敏感，对外界影响也很敏感，重新设计就要新设计的电路，滤波器介数增加时，所需部件也就越多。数字滤波器用软件实现，很少用硬件，滤波软件只是一系列程序指令，滤波器的性能由一系列数字系数来确定，只要重新确定滤波程序的系数就可重新设计数字滤波器。数字滤波器程序实现有两种主要方式。1、用滤波器差分方程，计算滤波器的输出。2、用卷积过程计算输出。返回第14页，课件共64页，创作于2023年2月4.3线性、时不变、因果系统线性系统：满足叠加原理。输入x1

的输出为y1，输入x2

的输出为y2，则当输入为两个输入（x1，x2）之和时，输出为两个输出（y1，y2)之和。

X1+x2y1+y2ax1+bx2ay1+by2a，b为权系数时不变系统：什么时间加上输入，输出都是相同的；换句话说输入延迟，相同的量。图4.7第15页，课件共64页，创作于2023年2月图4.8因果系统：一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，而与以后的输入关。也称为不可预测的系统，因为系统的输出无法预测未来的输入值返回第16页，课件共64页，创作于2023年2月4.4差分方程差分方程（differenceequation)可用来描述线性时不变，因果数字滤波器。用x表示滤波器的输入，用y表示滤波器的输出。x[n]表示在输入，每个值之间有一采样周期延迟x[n-1]表前一输入，同样的，输出对应为y[n]x[n-2]表再前一输入，y[n-1],y[n-2]差分方程一般表示为:a0y[n]+a1y[n-1]+…+aNy[n-N]=b0x[n]+b1x[n-1]+…+bMx[n-M](1)∑aky[n-K]=∑gkx[n-K](2)Ak,bk为权系数，称为滤波器系数。N为所需过去输出的个数，M为所需输入的个数。

NK=1

MK=0第17页，课件共64页，创作于2023年2月将y[n]前变为1，即a0

为1，所有系数除以a0，得：

y[n]=-∑aky[n-K]+∑bkx[n-K](3)表明了怎样从过去的输出，现在的输入和以前的输入计算滤波器每一个新输出。数字系统依赖于输入和过去的输出时，称其为递归滤波器（3式）。当数字系统仅依赖于输入而不依赖过去的输出，称其为非递归滤波器。（4）式y[n]=∑bkx[n-K](4)

NK=1

MK=0

MK=0第18页，课件共64页，创作于2023年2月下面学习差分方程的使用：例4.2一个滤波器的差分方程为：y[n]=0.5y[n-1]+x[n]a.确定所有系数ak,bk。b.它是递归滤波器还是非递归滤波器？

c.如果输入x[n]（如图4.9所示），从n=0开始求出前12个输出。图4.9第19页，课件共64页，创作于2023年2月解：a.将差分方程重新改写，输出放在左侧，输入放在右侧y[n]–0.5y[n-1]=x[n]

系数的值很易确定，参照式（4.1）滤波器的系数为：

a0=1.0,a1=-0.5及b0=1.0,

除a0,a1,b0

外其他所有系数为零。b.由于输出y[n]取决于过去的输出y[n-1]，所以数字滤波器是递归滤波器。c.输出可以从n=0开始，通过反复计算式（4.5)求出。对于n=0这种情况，计算时需要输出y[-1]。本书中，假定数字滤波器是因果的，这就意味着直到第一个输入不为零时，输出才开始变化。此例中为n=0所以，y[0]以前的所有输出可以假定为零。Y[0]

计算出来以后，可以计算y[1]。前12个输出为：第20页，课件共64页，创作于2023年2月y[0]=0.5y[-1]+x[0]=0.5x(0.0000)+1.0=1.0000y[1]=0.5y[0]+x[1]=0.5x(1.0000)+1.0=1.5000y[2]=0.5y[1]+x[2]=0.5x(1.5000)+1.0=1.7500y[3]=0.5y[2]+x[3]=0.5x(1.7500)+1.0=1.8750y[4]=0.5y[3]+x[4]=0.5x(1.8750)+1.0=1.9375y[5]=0.5y[4]+x[5]=0.5x(1.9375)+1.0=1.9688y[6]=0.5y[5]+x[6]=0.5x(1.9688)+1.0=1.9844y[7]=0.5y[6]+x[7]=0.5x(1.9844)+1.0=1.9922y[8]=0.5y[7]+x[8]=0.5x(1.9922)+1.0=1.9961y[9]=0.5y[8]+x[9]=0.5x(1.9961)+1.0=1.9980y[10]=0.5y[9]+x[10]=0.5x(1.9980)+1.0=1.9990y[11]=0.5y[10]+x[11]=0.5x(1.9990)+1.0=1.9995第21页，课件共64页，创作于2023年2月输出示于图4.10。由于输入为一个恒定值，输出最终也趋近一个恒值。图4.10第22页，课件共64页，创作于2023年2月例4.3y[n]=0.5x[n]–0.3x[n-1]a.确定所有系数ak,bk。b.它是递归滤波器还是非递归滤波器差分方程？

c.输入x[n]=sin(n2π/9)u[n],求出前20个输出。解：a.a0=1.0,b0=0.5及b1=-0.3。由于输出不取决于过去的输出，所以数字滤波器是非递归滤波器c.由于输入中有u[n]，所以n=0以前的输入为零。表4.1给出了输入和输出的前20个值。图4.11给出了输入和输出的图形。注意，虽然两个信号的幅度和相位不同，但它们均具有正弦特性和相同的数字周期。第23页，课件共64页，创作于2023年2月表4.1图4.11

n-1012345x[n]0.0000.0000.6430.9850.8660.342-0.342y[n]0.0000.0000.3210.3000.138-0.089-0.274n6789101112x[n]-0.866-0.985-0.6430.0000.6430.9850.866y[n]-0.330-0.223-0.0260.1930.3210.3000.138n13141516171819x[n]0.342-0.342-0.866-0.985-0.6430.0000.643y[n]-0.089-0.274-0.330-0.233-0.0260.1930.321返回第24页，课件共64页，创作于2023年2月4.5叠加原理

几个输入同时加到滤波器上，此时滤波器的响应要应用叠加原理，当滤波器是线形时，多个输入情况较容易处理。用两种方法：1）分别计算每一输入的输出，然后把输出加起来得到总的输出信号。2）先把所有输入加起来，然后求滤波器对这个和信号的响应。第25页，课件共64页，创作于2023年2月例4.4滤波器用差分方程描述为：

y[n]=x[n]+0.5x[n-1]两个输入（如图4.12所示)加到滤波器上，它们分别是：

x1[n]=2u[n]X2[n]=sinu[n]求出两个信号共同产生的前20个输出，并画出图。图4.12Nπ7第26页，课件共64页，创作于2023年2月解：输入为两部分：x1[n]=2u[n],x2[n]=sin[nπ/7)u[n]。每个输入所对应的输出y1[n],y2[n]可以单独求出，然后把两个输出相加得到总的输出。注意输入在n=0之前为零。计算出的前20个输出如表4.2和图4.13所示。比如n=3的情况，表4.2中用黑体表示。X1[n]的输出y1[n]由下式给出：

y1[n]=x1[n]+0.5x1[n-1]这样，y1[3]=x1[3]+0.5x1[2]=2+0.5*（2）=3。X2[n]的输出y2[n]为：

y2[n]=x2[n]+0.5x2[n-1]第27页，课件共64页，创作于2023年2月这样，y2[3]=x2[3]+0.5x2[2]=0.975+0.5*（0.782）=1.37，两个信号总的输出为y1[n]+y2[n]，对于n=3，y1[3]+y2[3]=03+1.37=4.37.把两个输入信号加起来同样可以得到相同的结果。在加黑的行上y[3]=x[3]+0.5x[2]=2.975+0.5*(2.782)=4.37。实际上，输出列y1[n]+y1[n]可以直接从输入之和列x1[n]+x2[n]计算得到，而不需要经过中间y1[n]，y2[n]两列。图4.13第28页，课件共64页，创作于2023年2月表4.2

nx1[n]x2[n]x[n]=x1[n]+x2[n]y1[n]y2[n]y[n]=y1[n]+y2[n]020.002.0020.002.00120.4342.43430.433.43220.7822.78231.004.00320.9752.97531.374.37420.9752.97531.464.46520.7822.78231.274.27620.4342.43430.823.82720.0002.00030.223.2282-0.4341.5663-0.432.5792-0.7821.2183-1.002.00102-0.9751.0253-1.371.63112-0.9751.0253-1.461.542-0.7821.2183-1.271.73132-0.4341.5663-0.822.181420.0002.0003-0.222.781520.4342.43430.433.431620.7822.78231.004.001720.9752.97531.374.371820.9752.97531.464.461920.7822.78231.274.27返回第29页，课件共64页，创作于2023年2月4.6差分方程流图1、非递归差分方程（a）延迟单元x[n]延迟x[n-1]

(b)系数乘法器x[n]bkbkx[n]x1[n](c)加法器+x1[n]+x2[n]x2[n]第30页，课件共64页，创作于2023年2月前面所讲的一般非递归差分方程，可用图4.15表示。图4.15第31页，课件共64页，创作于2023年2月有限字长效应：由于处理器有效比特数的有限而产生的影响（量化误差）。采取措施减小这些影响的方法：把高阶滤波器分为若干个二阶滤波器块，每块两个延迟单元，然后将这些滤波器块级联起来，这样平均来说每一个二阶滤波器节的系数比原来滤波器系数大，这样对量化误差敏感程度较低。第32页，课件共64页，创作于2023年2月例4.5画出下列差分方程的流图：y[n]=0.5x[n]+0.4[n-1]–0.2x[n-2]解以上差分方程的流图如图4.17所示。图4.17第33页，课件共64页，创作于2023年2月例4.6写出图4.18流图的差分方程。解：

x[n]的乘数为1，无x[n-1]项，差分方程是：

y[n]=x[n]–0.3x[n-2]+0.7x[n-3]图4.18第34页，课件共64页，创作于2023年2月例4.7写出图4.19级联流图的差分方程。解：第一级的差分方程为：

y1[n]=x1[n]–0.1x[n-1]+0.2x1[n-2]第二级的差分方程为：

y2[n]=x2[n]+0.3x2[n-1]+0.1x2[n-2]图4.19第35页，课件共64页，创作于2023年2月第三级的差分方程为：

y3[n]=x3[n]–0.4x3[n-1]第一级的输出等于第二级的输入，x2[n]=y1[n];第二级的输出等于第三级的输入；x3[n]=y2[n],可得级联系统总的输入y3[n]。从第三级的差分方程开始，代入第二级的差分方程有：

y3[n]=x3[n]–0.4x3[n-1]=y2[n]–0.4y2[n-1]=(x2[n]+0.3x2[n-1]+0.1x2[n-2])-0.4(x2[n-1]+0.3x2[n-2]+0.1x2[n-3])=x2[n]–0.1x2[n-1]–0.02x2[n-2]–0.04x2[n-3]第36页，课件共64页，创作于2023年2月代入第一级的差分方程有：y3[n]=x2[n]–0.1x2[n-1]–0.02x2[n-2]–0.04x2[n-3]=y1[n]–0.1y1[n-1]–0.02y1[n-2]–0.04y1[n-3]=(x1[n]–0.1x1[n-1]–0.02x1[n-2])-0.1(x1[n-1]–0.1x1[n-2]–0.02x1[n-3])-0.02(x1[n-2]–0.1x1[n-3]–0.02x1[n-4])-0.04(x1[n-3]–0.1x1[n-4]–0.02x1[n-5])=x1[n]–0.2x1[n-1]–0.19x1[n-2]-0.058x1[n-3]-0.008x1[n-5]

得到总的滤波器的差分方程。返回第37页，课件共64页，创作于2023年2月2、递归差分方程1）直接1型实现对于一般递归滤波器的差分方程（式4.3），也可画出其流图（图4.20)图4.20第38页，课件共64页，创作于2023年2月例4.8画出如下差分方程所描述的递归数字滤波器的直接1型流图：

y[n]+0.5y[n-2]=0.8x[n]+0.1x[n-1]-0.3x[n-2]解：从方程可知a0=1.0,a1=0.5,b0=0.8,b1=0.1和b2=-0.3。将差分方程重新排列如下：

y[n]=-0.5y[n-2]+0.8x[n]+0.1x[n-1]–0.3x[n-2]可以画出流图如图4.21。图4.21第39页，课件共64页，创作于2023年2月例4.9写出如下流图的差分方程：图4.22解：差分方程为：

y[n]=0.1y[n-1]–0.3y[n-2]+0.6y[n-3]–0.8x[n-1]+0.2x[n-3]第40页，课件共64页，创作于2023年2月2)直接2型实现它采用中间信号w[n]，代替过去输入和输出，记录滤波器历史的重要信息。定义直接2型实现的两个方程为（附录CP599有推导）

w[n]=x[n]–Σakw[n-k]

y[n]=Σbkw[n-k]两者结合起来构成图4.23所示的直接2型流图，它减小了过去输入和输出状态的储存，直接2型较直接1型省存储器。NK=1NK=0第41页，课件共64页，创作于2023年2月图4.23颠倒图4.23中信息流向，得到转置直接2型（如图4.24)。图4.24第42页，课件共64页，创作于2023年2月例4.10求出图4.25所示流图的滤波器差分方程：图4.25解：最下面的加法器输出为0.1x[n]-0.3y[n],延迟一个单位得到0.1x[n-1]–0.3y[n-1]。中间的加法0.8x[n],最后得到：y[n]=0.1x[n-2]-0.3y[n-2]+0.2x[n-1]-0.2y[n-1]+0.8x[n]第43页，课件共64页，创作于2023年2月即得所示滤波器的差分方程。表示成更一般的形式为：

y[n]=-0.2y[n-1]–0.3y[n-2]+0.8x[n]+0.2x[n-1]+0.1x[n-2]返回第44页，课件共64页，创作于2023年2月4.7脉冲响应脉冲响应是滤波器对脉冲输入的响应。数字滤波器的差分方程可以用来计算滤波器的脉冲响应，输入是脉冲函数，则差分方程的输入x[n]用δ[n]代替，脉冲响应用h[n]表示。脉冲响应反映了滤波器的基本特性，由于所有数字信号可以由脉冲函数构成，所以脉冲响应可用来求各种输入的输出。第45页，课件共64页，创作于2023年2月例4.11对下列差分方程求出脉冲响应的前六个值。

y[n]–0.4y[n-1]=x[n]–x[n-1]解：首先，用δ[n]代替x[n]，h[n]代替y[n]，有：

h[n]–0.4h[n-1]=δ[n]-δ[n-1]

或

h[n]=0.4h[n-1]+δ[n]-δ[n-1]从n=0开始：

h[0]+0.4h[-1]+δ[0]-δ[-1]脉冲函数的值已知：n=0时，它为1；在其他n不等于零处，它为零。假定滤波器是因果系统，几脉冲响应在n=0之前为零。因此：第46页，课件共64页，创作于2023年2月h[0]=0.4*(0.0)+1.0–0.0=1.0注意δ[-1]=0是函数δ[n]当n=-1是的值，而非因果性的结果。随后的脉冲响应为：

h[1]=0.4h[0]+δ[1]-δ[0]=0.4*(1.0)+0.0-1.0=-0.6h[2]=0.4h[1]+δ[2]-δ[1]=0.4*(-0.6)+0.0-1.0=-0.24h[3]=0.4h[2]+δ[3]-δ[2]=0.4*(-0.24)+0.0-1.0=-0.096h[4]=0.4h[3]+δ[4]-δ[3]=0.4*(-0.096)+0.0-1.0=-0.0384h[5]=0.4h[4]+δ[5]-δ[4]=0.4*(-0.0384)+0.0-1.0=-0.01536第47页，课件共64页，创作于2023年2月脉冲函数和脉冲响应示于下图：图4.28(b)中即使n=0以后没有输入，虽然脉冲响应值越来越小，但决不会下降到0，这一特性常为递归滤波器所具有。新的输出取决于过去的输出，所以脉冲响应不会消失，这个响应称为无限脉冲响应（IIR）第48页，课件共64页，创作于2023年2月例4.12求出下列滤波器脉冲响应的前六个采样值。

y[n]=0.25(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]]解：用δ[n]代替x[n]，h[n]代替y[n]，有：

h[n]=0.25(δ[n]+δ[n-1]+δ[n-2]+δ[n-3]这样：

h[0]=0.25(δ[0]+δ[-1]+δ[-2]+δ[-3])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.25h[1]=0.25(δ[1]+δ[0]+δ[-1]+δ[-2])=0.25*(0.0+1.0+0.0+0.0)=0.25h[2]=0.25(δ[2]+δ[1]+δ[0]+δ[-1])=0.25*(0.0+0.0+1.0+0.0)=0.25第49页，课件共64页，创作于2023年2月

h[3]=0.25(δ[3]+δ[2]+δ[1]+δ[0])=0.25*(1.0+0.0+0.0+1.0)=0.25h[4]=0.25(δ[4]+δ[3]+δ[2]+δ[1])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.0h[5]=0.25(δ[5]+δ[4]+δ[3]+δ[2])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.0显然，当n≥4时，脉冲响应的所有采样值均为零，图4.29(a)给出了脉冲函数输入和脉冲响应。

第50页，课件共64页，创作于2023年2月图4.29(a)（b）中，脉冲响应在有限个非零采样值之后下降到零，这种响应称为有限脉冲响应(FIR)，是非递归滤波器的特性。非递归滤波器在计算每一个新输出时，只要用M个过去输入，脉冲响应变为零所需要的采样点数取决于计算中所用到的过去输入个数。第51页，课件共64页，创作于2023年2月图4.29(b)中，它的脉冲响应有4个，每个辐度为1/4，从差分方程中可看出，这种脉冲响应形式具有对输入信号每4个采样值进行平均的作用。

∴具有这种脉冲响应形式的滤波器，被称为滑动平均滤波器。图4.29(b)第52页，课件共64页，创作于2023年2月对于非递归滤波器，脉冲响应的采样值给出了差分方程的系数。如图4.29(b)式y[n]=0.25(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]]中的差分方程系数。图4.29(b)第53页，课件共64页，创作于2023年2月具有M个非零采样值的脉冲响应h[n]，可表示为脉冲函数之和

h[n]=h[0]δ[n]+h[1]δ[n-1]+…+h[M]δ[n-M]非递归差分方程脉冲响应

h[n]=b0δ[n]+b1δ[n-1]+…+bMδ[n-M]两式相等bK=h[k]∴非递归差分方程

y[n]=b0x[n]+b1x[n]+…+bMx[n-M]

可改写成

y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+…+h[M]x[n-M]第54页，课件共64页，创作于2023年2月例4.13写出图4.30所示脉冲响应的滤波器差分方程。图4.30解：脉冲响应可以写成脉冲函数之和：

h[n]=δ[n]+0.8δ[n-1]+0.2δ[n-2]这样，差分方程具有类似的结构：y[n]=x[n]+0.8x[n-1]+0.2x[n-2]由于脉冲响应中非零的采样点数有限，所以差分方程具有有限脉冲响应(FIR)特性第55页，课件共64页，创作于2023年2月例：4.14图4.31所示信号x[n]加到线形滤波器的输入端，滤波器的脉冲响应h[n]如图4.32所示。将入信号分成脉冲函数并求每一个的响应，然后求滤波器的输出y[n]。

图4.31图4.32第56页，课件共64页，创作于2023年2月解：图4.31