2023年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版) 二次函数专项训练（综合类）（2）（7大题型）（答案版）

二次函数专项训练（综合类）（2）（答案版）题型1：综合-线段、周长、面积最值问题1、已知抛物线y=12x2+bx经过点A(4 0)另有一点C(1 -3)若点D【答案】解：如图连接AC与对称轴的交点即为点D．∵y=12x2+bx经过点A(4 0)∴0=8+4b∴b=-2∴抛物线的解析式为y=12x2-2x∵A(4 0)C(1 -3)∴直线AC【解析】【分析】连接AC与对称轴的交点即为点D利用待定系数法将点A、C的坐标代入函数解析式求出二次函数解析式和直线AC的函数解析式然后求出点D的坐标。2．如图已知二次函数y=x2+4x（1）在图1中作点A(-4,-5)；（2）已知A(-4,-5)在图2中的对称轴上作点P使CP-AP【答案】（1）解：如图：点A是所作的点．（2）解：）点P是所作的点．【解析】【分析】（1）由题意可知y轴与二次函数图象的交点和A(-4,-5)关于二次函数的对称轴对称已经确定y轴与二次函数图象的交点的位置作关于已知点的对称点；（2）当C、A、P三点不在同一直线上时形成三角形根据三角形两边之差小于第三边可知CP-AP<CA当C、A、P三点在同一直线上时CP-3．如图抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点A的坐标为（﹣10）与y轴交于点C（03）作直线BC．动点P在x轴上运动过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M交直线BC于点N设点P的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时求线段MN的最大值；【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线过A、C两点∴代入抛物线解析式可得：-1-;b+c=0c=3解得：b=2c=3∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3令y=0可得﹣x2+2x+3=0解x1=﹣1x2=3∵B点在A点右侧∴B点坐标为（30）设直线BC解析式为y=kx+s把B、C坐标代入可得3k+s=0s=3解得k=-1s=3∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（Ⅱ）∵PM⊥x轴点P的横坐标为m∴M（m﹣m2+2m+3）N（m﹣m+3）∵P在线段OB上运动∴M点在N点上方∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32【解析】【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式中列方程组可求得b,c的值令y=0解方程可得B点的坐标利用待定系数法求直线BC的解析式；（2）根据解析式表示出M、N两点的坐标其纵坐标的差就是MN的长配方后求得最值即可；4．如图抛物线与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点、与y轴交于点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线上的一个动点P的横坐标t（-3<t<0）求ΔPAC的面积S关于t的函数关系式并说明t取何值时ΔPAC【答案】(1)设y=a（x+3）（x-1）代入C（0,3）可得a=-1∴即y=-x(2)由点AC求得AC的解析式为：y由题意点P的坐标为(t作PD⊥x轴于D交AC于E则点E的坐标为∴PE∴S∵a∴当t=-32时S的最大值为【解析】【分析】（1）利用待定系数法（交点式）求出二次函数解析式即可；

（2）先求出直线AC的解析式y=x+3由点P的坐标为(t,-t2-2t+3)作PD⊥x轴于D交AC于E则点5.如图已知二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（－10）B（30）直线AC与y轴交于点（1）求抛物线和直线AC的函数表达式；（2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方求△ACE面积的最大值并求出此时点E的坐标；【答案】（1）解：把A（-10）B（30）代入y=得a-b-3=0∴抛物线的函数表达式为y=∵A(∴AB＝4设点D的纵坐标为h∵△ABD的面积为10∴12∴h＝5把h＝5代入y2=x-∴x1=4∴点D的坐标为（45）设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b把A（-10）D（45）代入得-k+b=0∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1；（2）解：过点E作EF⊥AB交AB于点G交直线AC于点F过点C作CH⊥EF于点H．设点E(mm2-2m-3)∴EF=∵S=1=1=1=1=12∴S=-=-1∵-1∴S△ACE有最大值当m=32时此时点E(【解析】【分析】（1）先将点A、B的坐标代入y=ax2+bx-3求出a、b的值再求出点D的坐标最后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；

（2）过点E作EF⊥AB交AB于点G交直线AC于点F过点C作CH⊥EF于点H设点E(mm2-2m-3)则F（mm＋1）求出EF=m+1-(m2-2m-3)=-m2+3（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴上存在一点M使△AOM的周长最小求M点的坐标；【答案】（1）解：∵△AOB的面积为3点A（13）∴12OB×3=∴B（－20）．∵抛物线过点AB∴3=解得：a=∴y（2）解：抛物线的对称轴为x=-23∵点B与点O关于对称轴x=-1对称∴由题意得直线AB与对称轴的交点就是点M．设直线AB为：y=kx∵直线AB过A、B两点∴3=解得：k=∴y=3当x=-1时y∴M（-133【解析】【分析】（1）根据△AOB的面积及点A的坐标就可求出点B的坐标再利用待定系数法将点A、B的坐标代入函数解析式就可求出二次函数解析式。

（2）利用（1）中的抛物线的解析式求出轴对称利用二次函数的对称性可得到点B与点O关于对称轴对称因此直线AB与对称轴的交点就是点M利用点A、B的坐标求出直线AB的函数解析式再算出当x=-1时的y的值就可得到点M的坐标。7．在平面直角坐标系中将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位再向下平移2个单位得到如图所示的抛物线该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)OA=1经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C且与抛物线的另一个交点为（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方求△ACE面积的最大值并求出此时点E的坐标；【答案】（1）解：将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位再向下平移2∵OA=1∴点A的坐标为(﹣10)代入抛物线的解析式得4a∴a=∴抛物线的解析式为y=12(x-令y=0解得x1∴点B的坐标为(30)∴AB=OA+OB=4∵△ABD的面积为5∴S△∴yD代入抛物线解析式得52解得x1∴点D的坐标为(452设直线AD的解析式为y=∴4k+b=5∴直线AD的解析式为y=1（2）解：过点E作EM∥y轴交AD于M交x轴于N如图设点E的坐标为(a12a2-a-32)则点∴ME=∴S===-=-1∴当a=32时△ACE的面积有最大值最大值是2516此时E点坐标为(3【解析】【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式经过点A(-10)可求得a的值由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标代入抛物线解析式求出横坐标由A、D的坐标可求出一次函数解析式；(2)作EM∥y轴交AD于M如图利用三角形面积公式由S△ACE=S8．如图抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(13)且与x轴交于点B△AOB的面积为3。（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴上存在一点M使△AOM的周长最小求M点的坐标；（3）点F是x轴上一动点过F作x轴的垂线交直线AB于点E交抛物线于点P且PE=233直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可【答案】（1）解：∵△AOB的面积为3点A（13）∴12OB×3=3∴OB=2∴B（－20）．∵抛物线过点AB∴3=a+（2）解：抛物线的对称轴为x=-2332×33=-1．∵点B与点O关于对称轴x=-1对称∴由题意得直线AB与对称轴的交点就是点M．设直线AB为：y=kx+m．∵直线AB过A、B当x=-1时y=-33+233=33（3）解：设F（x0）则E（x33x+233）P（x33x2+233x）则PE=|33x2+233x-(33x+233)|=233整理得：|x2+x-2|=2∴x2+x-2=-2或x2【解析】【分析】（1）因为抛物线的解析式有两个待定系数a、b需已知两个点才能用待定系数法求解析式已知点A（13）△AOB的面积为3则三角形AOB的面积=12OB×3可求出点B的坐标那么解析式可求；

（2）要使△AOM的周长最小只需使AM+OM最短即可根据两点之间线段最短可知：找出点O关于直线x=-1的对称点连接这个对称点和点A与对称轴的交点即为所求的点M。由（1）中所求的解析式可得抛物线的对称轴为直线x=-1因为点M在对称轴上所以点M的横坐标为-1只须求出纵坐标即可；而点M又在直线AB上所以根据A、B的坐标可求得直线AB的解析式把x=-1代入解析式即可求得点M的纵坐标；

（3）根据题意可知点F、E、P三点的横坐标相同点E在直线AB上点P在抛物线上则E、P的纵坐标可表示出来根据PE=233可得关于9．如图在矩形ABCD中AB＝10cmBC＝5cm点P点Q分别以2cm/s和1cm/s的速度从AB沿ABBC方向运动.设t秒（t≤5）时△PBQ的面积为y.（1）试写出y与t的函数关系式.（2）当t为何值时S△PBQ＝6cm2？（3）在P、Q运动过程中四边形APQC的面积是否有最小值？如果有直接写出S四边形APQC＝.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形AB＝10cmBC＝5cm根据题意AP＝2tBQ＝t∴PB＝10﹣2t∵S△PBQ＝12∴y＝﹣t2+5t（2）解：把y＝6cm2代入解析式可得：6＝﹣t2+5t解得：t1＝2t2＝3答：当t为2秒或3秒时S△PBQ＝6cm2（3）18.75cm2【解析】【解答】（3）∵y＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣2.5）2+6.25∴当t＝2.5时y有最大值最大值为6.25∴△PBQ的面积的最大值为6.25cm2所以四边形APQC的面积此时最小S四边形APQC＝12AB·故答案为：18.75cm2。【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出AP＝2tBQ＝t故PB＝10﹣2t然后根据三角形的面积计算方法由S△PBQ＝12PB•QB即可建立出y与x的函数关系式；

（2）将y=6代入（1）所求的函数关系式即可算出对应的自变量的值得出答案；

（3）根据二次函数的性质求出（1）所得函数的最值根据S四边形APQC＝12AB·BC-10．如图已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F(100)与对称轴l交于点E(55).矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上且AB=1边ADBC与抛物线分别交于点MN.当矩形ABCD沿x轴正方向平移点MN位于对称轴l的同侧时连接MN此时四边形ABNM的面积记为S；点MN位于对称轴l的两侧时连接EMEN此时五边形ABNEM的面积记为S.将点A与点O重合的位置作为矩形（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时求SΔOBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时求S关于t(0≤t≤5)的函数表达式并求出t为何值时S【答案】（1）解：将E（55）、F（100）代入y=ax2+bx25a+5b＝5∴抛物线的表达式为y=-15x2（2）解：当t=0时点B的坐标为（10）点N的坐标为（195）∴BN=95∴S△OBN=12BN•OB=（3）解：①当0＜t≤4时（图1）点A的坐标为（t0）点B的坐标为（t+10）∴点M的坐标为（t-15t2+2t）点N的坐标为（t+1-15（t+1）2+2（t+1∴AM=-15t2+2tBN=-15（t+1）2+2（t+1∴S=12（AM+BN）•AB=12×1×[-15t2+2t-15（t+1）2+2=-15t2+95t+=-15（t-92）2+∵-15＜∴当t=4时S取最大值最大值为4910②当4＜t≤5时（图2）点A的坐标为（t0）点B的坐标为（t+10）∴点M的坐标为（t-15t2+2t）点N的坐标为（t+1-15（t+1）2+2（t+1∴AM=-15t2+2tBN=-15（t+1）2+2（t+1∴S=12（5-t）（-15t2+2t+5）+12（t-4）[5-15（t+1）2+2=12（15t3-3t2+5t+25）+12（-15t3+125t2+2=-310t2+2710t-=-310（t-92）2+∵-310＜∴当t=92时S取最大值最大值为19940∵4910=19640＜∴当t=92时S有最大值最大值是【解析】【分析】（1）将EF两点的坐标代入y=ax2+bx得出关于ab的二元一次方程组去接得出ab的值从而得出抛物线的解析式；

（2）当t=0时点B的坐标为（10）点N的坐标为（195）故可得出BNOB的长根据三角形的面积计算方法即可算出答案；

（3）①当0＜t≤4时（图1）点A的坐标为（t0）点B的坐标为（t+10）进而根据抛物线上点的坐标特点。和x轴平行的直线上的点的坐标特点表示出MN的坐标AMBN的长根据梯形的面积建立出S与t的函数关系式根据所得函数的旋转即可得出答案；②当4＜t≤5时（图2）点A的坐标为（t0）点B的坐标为（t+10）进而根据抛物线上点的坐标特点。和x轴平行的直线上的点的坐标特点表示出MN的坐标AMBN的长根据梯形的面积公式建立函数关系式题型2：综合-等腰三角形存在性问题1．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于AB两点y与轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣10）C（03）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M使得MA+MC的值最小求此点M的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点使△PCD是等腰三角形如果存在求出点P的坐标如果不存在请说明理由．【分析】（1）将A（﹣10）C（03）代入y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；（2）由对称可知直线BC与对称轴的交点就是点M求出直线BC的关系式进而求出其与对称轴的交点；（3）设P（1t）则PC2＝12+（t﹣3）2CD2＝32+12＝10PD2＝t2根据△PCD为等腰三角形分三种情况讨论：当PC＝CD时当CD＝PD时当PC＝PD时分别建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣10）C（03）两点∴解得：∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由对称性可知直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1由于点A（﹣10）则点B（30）设直线BC的解析式为y＝kx+d则解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3当x＝1时y＝﹣1+3＝2∴点M（12）；（3）设P（1t）则PC2＝12+（t﹣3）2CD2＝32+12＝10PD2＝t2根据△PCD为等腰三角形分三种情况讨论：当PC＝CD时则12+（t﹣3）2＝10解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合舍去）∴P（16）；当CD＝PD时则10＝t2解得：t＝±∴P1（1）P2（1﹣）；③当PC＝PD时则12+（t﹣3）2＝t2解得：t＝P（1）；综上所述点P的坐标为（16）或（1）或（1﹣）或（1）．【点评】本题是二次函数的综合题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象和性质以及对称最短距离等腰三角形性质第（2）问运用轴对称距离最短是解题关键第（3）问在考虑构建等腰三角形时运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．如图抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣10）点B（30）与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q使△ACQ的周长最小求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点点M是对称轴左侧抛物线上的一点当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时请直接写出所有点M的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q当C、B、Q三点共线时△ACQ的周长最小求出直线BC的解析式再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时PM＝PBM点与A点重合则M（﹣10）；当∠PBM＝90°时PB＝BM过点B作x轴的垂线GH过点P作PH⊥GH交于H过点M作MG⊥HG交于G可证明△BPH≌△MBG（AAS）设P（1t）则M（3﹣t﹣2）求出M点坐标为（1﹣﹣2）；同理M（3+t2）可求M点坐标为（1﹣2）．【解答】解：（1）将点A（﹣10）点B（30）代入y＝ax2+bx﹣3∴解得∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴抛物线的对称轴为直线x＝1∵A、B关于对称轴x＝1对称∴AQ＝BQ∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC当C、B、Q三点共线时△ACQ的周长最小∵C（0﹣3）B（30）设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴y＝x﹣3∴Q（1﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时PM＝PB∴M点与A点重合∴M（﹣10）；当∠PBM＝90°时PB＝BM过点B作x轴的垂线GH过点P作PH⊥GH交于H过点M作MG⊥HG交于G∵∠PBM＝90°∴∠PBH+∠MBG＝90°∵∠PBH+∠BPH＝90°∴∠MBG＝∠BPH∵BP＝BM∴△BPH≌△MBG（AAS）∴BH＝MGPH＝BG＝2设P（1t）则M（3﹣t﹣2）∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3解得t＝2+或t＝2﹣∴M（1﹣﹣2）或（1+﹣2）∵M点在对称轴的左侧∴M点坐标为（1﹣﹣2）；同理可得M（3+t2）∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣∴M（1﹣2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣﹣2）或（1﹣2）或（﹣10）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的性质轴对称求最短距离分类讨论数形结合是解题的关键．3．（提升）如图已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0﹣1）和点B（54）P是直线AB下方抛物线上的一个动点PC∥y轴与AB交于点CPD⊥AB于点D连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时求点P的坐标和△PCD周长的最大值；（3）当△PAC是等腰三角形时请直接给出点P的坐标．【分析】（1）利用特定系数解答即可求解；（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1可得△PCD是等直角三角形从而得到△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC设点P的坐标为（xx2﹣4x﹣1）则点C的坐标为（xx﹣1）利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）由题意得：解得：则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0）∵A（0﹣1）B（54）∴解得：∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1设直线AB交x轴于点M当y＝0时x＝1∵OA＝OM＝1∵∠AOM＝90°∴∠OAB＝45°∵CP∥y轴∴∠DCP＝∠OAB＝45°∵PD⊥AB∴△PCD是等腰直角三角形即CD＝PD∴PC＝＝CD即CD＝PD＝PC∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC设点P的坐标为（xx2﹣4x﹣1）则点C的坐标为（xx﹣1）∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]∵﹣（+1）＜0∴当x＝时△PCD周长取得最大值最大值为（+1）此时点P的坐标为（﹣）；（3）如图过点A作P1A⊥y轴交抛物线于点P1∵CP1∥y轴∴∠ACP1＝45°∴△ACP1是等腰直角三角形∴点A（0﹣1）∴点P1的纵坐标为﹣1当y＝﹣1时﹣1＝x2﹣4x﹣1解得：x1＝4x2＝0（舍去）此时点P1（4﹣1）；如图当P2A⊥AB时∵CP2∥y轴∴∠ACP2＝45°∴△ACP2是等腰直角三角形点CP2关于直线AP1对称设点P2（mm2﹣4m﹣1）则点C（mm﹣1）∴[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1解得：m1＝3m2＝0（舍去）此时点P2（3﹣4）；如图若AC＝CP3作CE⊥y轴于点E．∵∠CAE＝45°∴△ACE是等腰直角三角形即AE＝CE∴P3C＝AC＝＝CE设点P3（mm2﹣4m﹣1）则点C（mm﹣1）∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）＝m解得：m1＝5﹣m2＝0（舍去）∴此时点p3（5﹣6﹣6）；综上所述点P的坐标为（4﹣1）或（3﹣4）或（5﹣6﹣6）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用熟练掌握二次函数的图象和性质等腰直角三角形的判定和性质利用数形结合思想和分类讨论思想解答本题的关键．4．如图已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过BC两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M在该抛物线的对称轴l上是否存在点P使得以CMP为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）求出B、C点坐标再由待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（2t）分别求出MP＝|t﹣1|MC＝2CP＝再分三种情况讨论：①当MP＝MC时②当MP＝CP时|③当MC＝CP时分别求出t的值即可求解．【解答】解：（1）y＝x﹣3中令x＝0则y＝﹣3∴C（0﹣3）令y＝0则x＝3∴B（30）将C（0﹣3）B（30）代入y＝mx2+4x+n中∴解得∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P使得以CMP为顶点的三角形是等腰三角形理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1∴M（21）对称轴为直线x＝2设P（2t）∴MP＝|t﹣1|MC＝2CP＝①当MP＝MC时|t﹣1|＝2∴t＝2+1或t＝﹣2+1∴P（22+1）或（2﹣2+1）；②当MP＝CP时|t﹣1|＝解得t＝﹣∴P（2﹣）；③当MC＝CP时2＝解得t＝1（舍）或t＝﹣7∴P（27）；综上所述：P点坐标为（22+1）或（2﹣2+1）或（2﹣）或（27）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．题型3：综合-直角三角形存在性问题1．如图1抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣20）和B（40）与y轴交于点C连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点BC重合）过点P作y轴的平行线交BC于M交x轴于N恰有线段MN＝2PM求此时点P的坐标；（3）如图2连接CP在（2）的条件下在y轴上是否存在点Q使得△CPQ为直角三角形若存在直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求出直线BC的解析式设P（tt2﹣t﹣4）则M（tt﹣4）N（t0）由MN＝2PM可得4﹣t＝2（﹣t2+2t）求得t＝1即可求P（1﹣）；（3）设Q（0m）分别求出QP2＝1+（m+）2CP2＝CQ2＝（m+4）2分所求情况讨论：当∠QCP＝90°时由勾股定理可得m＝﹣4（舍）；当∠CPQ＝90°时由勾股定理可求Q（0﹣）；当∠CQP＝90°时由勾股定理可得解求Q（0﹣）．【解答】解：（1）将A（﹣20）和B（40）代入y＝ax2+bx﹣4∴解得∴y＝x2﹣x﹣4；（2）令x＝0则y＝﹣4∴C（0﹣4）设BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴y＝x﹣4设P（tt2﹣t﹣4）则M（tt﹣4）N（t0）∴MN＝4﹣tPM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t∵MN＝2PM∴4﹣t＝2（﹣t2+2t）解得t＝1或t＝4∵P是线段BC下方抛物线上∴0＜t＜4∴t＝1∴P（1﹣）；（3）存在点Q使得△CPQ为直角三角形理由如下：设Q（0m）∴QP2＝1+（m+）2CP2＝CQ2＝（m+4）2当∠QCP＝90°时1+（m+）2＝+（m+4）2解得m＝﹣4（舍）；当∠CPQ＝90°时1+（m+）2+＝（m+4）2解得m＝﹣∴Q（0﹣）；当∠CQP＝90°时＝（m+4）2+1+（m+）2解得m＝﹣4（舍）或m＝﹣∴Q（0﹣）；综上所述：Q点坐标为（0﹣）或（0﹣）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质直角三角形勾股定理分类讨论是解题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣10）和点B（30）直线y＝mx+n经过点A与y轴交于点与抛物线交于点D点△ABD的面积为5．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方当△ACE的面积最大时求点E的坐标；（3）若点P是y轴上一点在（2）的条件下当△PAE为直角三角形时直接写出PA的最大值．【分析】（1）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+根据△ABD的面积为5可得D（4）再运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）设E（tt2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4）过点E作EF∥y轴交AC于点F如图1则F（tt+）进而可得S△ACE＝（t﹣）2+利用二次函数的性质即可得出答案；（3）设P（0y）如图2设EF交x轴于点G过点E作EH⊥y轴于点H当△PAE为直角三角形时AE为定值当且仅当PA为斜边时PA最大AE⊥PE运用勾股定理可得PA2＝PE2+AE2即可求得PA．【解答】解：（1）∵直线y＝mx+n经过点A（﹣10）∴解得：∴直线AC的解析式为y＝x+∵AB＝3﹣（﹣1）＝4S△ABD＝AB•yD＝2yD＝5∴yD＝当y＝时＝x+解得：x＝4∴D（4）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣10）、点B（30）和点D（4）∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设E（tt2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4）过点E作EF∥y轴交AC于点F如图1则F（tt+）∴EF＝x+﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t+2∴S△ACE＝EF•（xC﹣xA）＝×（﹣t2+t+2）×1＝（t﹣）2+∵﹣＜0﹣1＜t＜4∴当t＝时S△ACE的最大值为此时点E的坐标为（﹣）；（3）设P（0y）由（2）知：E（﹣）A（﹣10）如图2设EF交x轴于点G过点E作EH⊥y轴于点H则AG＝﹣（﹣1）＝EG＝EH＝PH＝|y﹣（﹣）|＝|y+|由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝（）2+（）2＝PA2＝OA2+OP2＝1+y2PE2＝EH2+PH2＝（）2+|y+|2＝y2+y+当△PAE为直角三角形时AE为定值当且仅当PA为斜边时PA最大∴AE⊥PE由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2∴1+y2＝y2+y++解得：y＝﹣∴PA＝＝＝∴当△PAE为直角三角形时PA的最大值为．【点评】本题属于二次函数综合题主要考查了一次函数、二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系解决相关问题．3．如图二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于AB两点与y轴交于点CM为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N使得以BCN为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点N的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9即可求顶点M；（2）过点M作ME⊥y轴于点E由S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC求解即可；（3）分三种情况讨论：①当C为直角顶点时作CN1⊥BC交坐标轴为N1OB＝ON1＝5则N1（﹣50）；②当B为直角顶点时作BN2⊥BC交坐标轴为N2OC＝ON2＝5则N1（0﹣5）；③当N为直角顶点时点O与N3重合则N3（00）．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9∴M（29）；（2）令y＝0得﹣x2+4x+5＝0解得x＝﹣1或x＝5∴A（﹣10）B（50）令x＝0得y＝﹣x2+4x+5＝5∴C（05）过点M作ME⊥y轴于点E∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；（3）存在点N使得以BCN为顶点的三角形是直角三角形理由如下：∵OB＝OC＝5∠COB＝90°∴∠OCB＝∠OBC＝45°∴△BOC是等腰直角三角形①当C为直角顶点时作CN1⊥BC交坐标轴为N1∠CN1B＝∠CBN1＝45°∴OB＝ON1＝5∴N1（﹣50）；②当B为直角顶点时作BN2⊥BC交坐标轴为N2∠CN2B＝∠BCN2＝45°∴OC＝ON2＝5∴N1（0﹣5）；③当N为直角顶点时点O与N3重合∴N3（00）．综上所述满足条件的点N的坐标为（﹣50）或（0﹣5）或（00）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质直角三角形的性质分类讨论数形结合是解题的关键．题型4：综合-平行四边形存在性问题1．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（20）B（﹣60）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△QAC的周长最小？若存在求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．（3）在坐标平面内是否存在一点P使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形若存在直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+12；（2）连接BC交对称轴直线于Q由y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16得抛物线对称轴是直线x＝﹣2C（012）由AC＝2故当CQ+AQ最小时△QAC的周长最小此时CQB共线CQ+BQ最小值即为CB的长度根据C（012）B（﹣60）得直线CB的解析式为y＝2x+12令x＝﹣2得Q（﹣28）；（3）设P（mn）又A（20）B（﹣60）Q（﹣28）分三种情况：①若PABQ是对角线则PABQ的中点重合有解得P（﹣108）；②若PBAQ为对角线有解得P（68）；③若PQAB为对角线有解得P（﹣2．﹣8）．【解答】解：（1）把A（20）B（﹣60）代入y＝﹣x2+bx+c得：解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+12；（2）在该抛物线的对称轴上存在点Q使得△QAC的周长最小理由如下：连接BC交对称轴直线于Q如图：∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16∴抛物线对称轴是直线x＝﹣2在y＝﹣x2﹣4x+12中令x＝0得y＝12∴C（012）∴AC＝＝＝2∴当CQ+AQ最小时△QAC的周长最小∵Q在抛物线对称轴上∴AQ＝BQ∴CQ+BQ最小时△QAC的周长最小此时CQB共线CQ+BQ最小值即为CB的长度∵C（012）B（﹣60）∴CB＝＝＝6直线CB的解析式为y＝2x+12在y＝2x+12中令x＝﹣2得y＝8∴Q（﹣28）；（3）在坐标平面内存在一点P使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形理由如下：设P（mn）又A（20）B（﹣60）Q（﹣28）①若PABQ是对角线则PABQ的中点重合∴解得∴P（﹣108）；②若PBAQ为对角线则PBAQ的中点重合∴解得∴P（68）；③若PQAB为对角线则PQAB的中点重合∴解得∴P（﹣2．﹣8）综上所述P的坐标为（﹣108）或（68）或（﹣2﹣8）．【点评】本题考查二次函数的综合应用涉及待定系数法三角形周长平行四边形等知识解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．2．如图在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝x+1交于点A、C且点A的坐标为（﹣10）．（1）求点C的坐标；（2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点求点P到直线AC距离的最大值；（3）若点E是抛物线上一点点F是抛物线对称轴上一点是否存在点E使以ACEF为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝x2﹣2x+c求出c的值联立直线y＝x+1即可求解；（2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M当S△ACP最大时点P到直线AC的距离最大运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5设P（mm2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5）则M（mm+1）求得PM再根据二次函数的性质可得S△ACP的最大值根据勾股定理求出AC利用三角形的面积公式求解即可；（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时②当AF为平行四边形的对角线时③当AE为平行四边形的对角线时根据平行四边形的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣10）在抛物线y＝x2﹣2x+c的图象上∴0＝1+2+c∴c＝﹣3∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3联立直线y＝x+1得解得或∴点C的坐标为（45）；（2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M如图：设P（mm2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5）则M（mm+1）∴PM＝m+1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4∴S△ACP＝×5（﹣m2+3m+4）＝﹣（m﹣）+∴当m＝时S△ACP最大为∵点A（﹣10）点C（45）∴AC＝＝5设点P到直线AC的距离为h∴S△ACP＝×5×h＝∴h＝∴点P到直线AC距离的最大值为；（3）存在理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴抛物线的对称轴为直线x＝1设点F的坐标为（1n）点E的坐标为（xx2﹣2x﹣3）分三种情况：①当AC为平行四边形的对角线时﹣1+4＝1+x解得x＝2∴点E的坐标为（2﹣3）；②当AF为平行四边形的对角线时﹣1+1＝x+4解得x＝﹣4∴点E的坐标为（﹣421）；③当AE为平行四边形的对角线时﹣1+x＝4+1解得x＝6∴点E的坐标为（621）；综上点E的坐标为（2﹣3）或（﹣421）或（621）．【点评】本题是二次函数综合题考查了二次函数图象上点的坐标特征三角形的面积二次函数的性质勾股定理平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．3．抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于AB两点（A在B的左边）交y轴于C直线y＝﹣x+4经过BC两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点M在抛物线上点N在抛物线的对称轴上以点A、C、M、N为顶点AC为边的四边形是平行四边形请求出所有符合条件的点N的坐标．【分析】（1）求出B、C点坐标再由待定系数法求函数的解析式即可；（2）设M（t﹣t2+t+4）N（n）分两种情况讨论：①当AN为平行四边形的对角线时N（）；②当AM为平行四边形的对角线时N（﹣）；（3）设P（t﹣t2+t+4）则D（t﹣t+4）则PD＝﹣t2+t连接AD延长PD交x轴于G由等积法求出DE＝t则m＝﹣（t﹣）2+当t＝时m有最大值．【解答】解：（1）令x＝0则y＝4∴C（04）令y＝0则x＝4∴B（40）将C（04）B（40）代入y＝ax2﹣ax+b∴解得∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+∴抛物线的对称轴为直线x＝设M（t﹣t2+t+4）N（n）令y＝0则﹣x2+x+4＝0解得x＝4或x＝﹣3∴A（﹣30）①当AN为平行四边形的对角线时解得∴N（）；②当AM为平行四边形的对角线时解得∴N（﹣）；综上所述：N点坐标为（）或（﹣）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质平行四边形的性质分类讨论是解题的关键．4．如图在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣40）B（x20）与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（02）与抛物线交于点E．（1）求抛物线的表达式及BC两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点当△AEP的周长最小时求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点过M作MN∥y轴交抛物线于点N判断是否存在点M使以点MNCD为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式再求出点B、C坐标；（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式由A、B关于对称轴对称则BE与抛物线对称轴交点即为△AEP的周长最小时点P的坐标；（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边设点M的坐标为（m﹣m+2）则点N的坐标为（m）利用MN＝CD可得到关于m的方程从而求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣40）在抛物线y＝ax2+2ax+4上∴0＝16a﹣8a+4∴a＝∴y＝．令y＝0得＝0解得：x1＝﹣4x2＝2∴点B的坐标为（20）令x＝0则y＝4∴点C的坐标为（04）；（2）如图由y＝可得对称轴为：∵△AEP的边AE是定长∴当PE+PA的值最小时△AEP的周长最小．点A关于x＝﹣1的对称点为点B∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时PE+PA的值最小．∵直线BE经过点B（20）D（02）∴解得∴直线BE：y＝﹣x+2令x＝﹣1得y＝3∴当△AEP的周长最小时点P的坐标为（﹣13）；（3）存在点M使以点MNCD为顶点的四边形是平行四边形．∵MN∥CD∴要使以点MNCD为顶点的四边形是平行四边形则MN＝CD即可∵CD＝4﹣2＝2∴MN＝CD＝2∵点M在直线y＝﹣x+2上∴可设点M的坐标为（m﹣m+2）则点N的坐标为（m）∴即当时解得此时点M的坐标为：（）或（）当时解得m＝0（舍去）综上所述存在点M使以点MNCD为顶点的四边形是平行四边形此时点M的坐标为：（）或（）．【点评】本题是二次函数综合题考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质、方程思想、分类讨论等知识点．（1）中注意函数图像与坐标轴交点求法（2）确定点P位置是解题关键（3）利用平行四边形的性质得到关于M点坐标方程是关键．题型5：综合-菱形存在性问题1．如图抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边）与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在BC下方运动时求△BCP面积的最大值．（3）连接OP把△OCP沿着y轴翻折使点P落在P'的位置四边形CPOP'能否构成菱形若能求出点P的坐标如不能请说明理由；（4）把抛物线y＝x2+bx+c向上平移1.5个单位再向左平移m个单位使顶点落在△ABC内部求直接写出点m的取值范围．【分析】（1）先求出点BC坐标再代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G设P（tt2﹣t﹣2则G（tt﹣2）则PG＝﹣t2+2tS△BCP＝﹣（t﹣2）2+4再求解即可；（3）由翻折得点P、P'关于y轴对称可得OC垂直平分PP′当PP′垂直平分OC时四边形CPOP'能构成菱形则点P的纵坐标为﹣1代入y＝x2﹣x﹣2求出x的值即可求解；（4）平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣+m）2﹣+1.5然后求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2由抛物线的顶点在△ABC的内部即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2令x＝0则y＝﹣2∴C（0﹣2）令y＝0则0＝x﹣2∴x＝4∴B（40）将点BC坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中得∴∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G设P（tt2﹣t﹣2则G（tt﹣2）∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4∴当t＝2时S△BCP的值最大最大值为4；（3）如图由翻折得点P、P'关于y轴对称∴OC垂直平分PP′当PP′垂直平分OC时四边形CPOP'能构成菱形∴点P的纵坐标为﹣1当y＝﹣1时﹣1＝x2﹣x﹣2∴x＝∴四边形CPOP'能构成菱形点P的坐标为（﹣1）或（﹣1）；（4）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣∴平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣+m）2﹣+1.5＝（x﹣+m）2﹣∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣m﹣）y＝x2﹣x﹣2当y＝0时x2﹣x﹣2＝0∴x＝4或﹣1∴A（﹣10）C（0﹣2）∵设直线AC的解析式y＝kx﹣2∴﹣k﹣2＝0解得k＝﹣2∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2当y＝﹣时﹣2x﹣2＝﹣∴x＝﹣∴﹣m＞﹣∴m＜；∵直线BC的解析式为y＝x﹣2当y＝﹣时x﹣2＝﹣∴x＝∴﹣m＜∴m＞；综上所述m的取值范围为＜m＜．【点评】本题是二次函数综合题考查一次函数的应用、平移变换、翻折变换菱形的判定和性质等知识解题的关键是灵活运用所学知识解决问题学会用数形结合的思想思考问题属于中考压轴题．2．综合与探究如图二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣20）B（40）点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F．（1）求二次函数的表达式．（2）当点E在线段OB上运动时（不与点OB重合）恰有线段PF＝EF求此时点P的坐标．（3）试探究：若点Q是y轴上一点在点E运动过程中是否存在点Q使得以点CFPQ为顶点的四边形为菱形若存在直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）将A（﹣20）B（40）代入y＝ax2+bx+4即可求函数的解析式；（2）求出直线BC的解析式设P（t﹣t2+t+4）则F（t﹣t+4）E（t0）分别求出PF＝﹣t2+2tEF＝﹣t+4再由PF＝EF求出t＝1即可求P（1）；（3）设P（t﹣t2+t+4）则F（t﹣t+4）①当P点在F点上方时当四边形CFPQ1为菱形时PF＝CQ1先求Q1（0﹣t2+2t+4）再由CQ1＝CF可得Q1（04）；当四边形CFPQ2为菱形时PF＝CQ2求出Q2（0t2﹣2t+4）再由Q2F＝CQ2可得Q2（02）；②当P点在F点下方时PF＝t2﹣2t由PF＝CQ3可得Q3（0﹣t2+2t+4）再由CQ3＝CF可得Q3（0﹣4）．【解答】解：（1）将A（﹣20）B（40）代入y＝ax2+bx+4∴解得∴y＝﹣x2+x+4；（2）令x＝0则y＝4∴C（04）设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴y＝﹣x+4设P（t﹣t2+t+4）则F（t﹣t+4）E（t0）∴PF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2tEF＝﹣t+4∵PF＝EF∴﹣t2+2t＝（﹣t+4）解得t＝1或t＝4∵0＜t＜4∴t＝1∴P（1）；（3）存在点Q使得以点CFPQ为顶点的四边形为菱形理由如下：设P（t﹣t2+t+4）则F（t﹣t+4）由（2）知C（04）①当P点在F点上方时PF＝﹣t2+2t当四边形CFPQ1为菱形时PF＝CQ1∴Q1（0﹣t2+2t+4）∵CQ1＝CF∴﹣t2+2t＝t解得t＝0（舍）或t＝4﹣2∴Q1（04）；当四边形CFPQ2为菱形时PF＝CQ2∴Q2（0t2﹣2t+4）∵Q2F＝CQ2∴（﹣t2+2t）2＝t2+（t2﹣t）2解得t＝2∴Q2（02）；②当P点在F点下方时PF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣2t∵PF＝CQ3∴Q3（0﹣t2+2t+4）∵CQ3＝CF＝t2﹣2t＝t解得t＝0（舍）或t＝4+2∴Q3（0﹣4）；综上所述：Q点坐标为（04）或（0﹣4）或（02）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数的图象及性质菱形的性质数形结合分类讨论是解题的关键．3．如图抛物线l的顶点C在y轴上点AB为抛物线上关于y轴对称的两点线段AB交y轴于点DAB＝4OC＝2OD＝4．（1）求抛物线l的函数表达式；（2）将抛物线l平移到抛物线l′设平移后点AB的对应点为A'B'若点A落在直线x＝1上且以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形试确定平移后抛物线l'的表达式．【分析】（1）根据题意求出A、B、D三点的坐标抛物线的对称轴为y轴设出抛物线解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据平移的性质和以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形求出A′B′坐标即可得出平移的方向和长度从而写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：（1）由图知点C在y轴的正半轴且OC＝2∴点C的坐标为（02）点A和点B关于y轴对称且AB与y轴交于D点AB＝4OD＝4∴A、B、D三点的纵坐标为4DA＝DB＝2∴点D的坐标为（04）∵点A在点B的左侧∴A（﹣24）B（24）设抛物线l的函数表达式为y＝ax2+c（a≠0）将A（﹣24）C（02）代入得：解得：．∴抛物线l的函数表达式为y＝x2+2；（2）将拋物线l：y＝x2+2平移后点A落在直线x＝1上即点A'在x＝1上∴点A'的横坐标为1∵AB＝4∴平移后的A'B'＝AB＝4根据平移的性质可知平移后的A′B′要么在直线y＝4上要么在与直线y＝4平行的平行线上即AB∥A'B'AB和A′B′不可能互为对角线∵AB＝A'B'AB∥A′B′∴以A、B、A'、B'为顶点的四边形是平行四边形要满足以A、B、A'、B'为顶点的四边形是菱形则AB和A'B'为菱形的边且A'B'＝AB＝A'A＝B'B＝4．∵xA′＝1∴xB′＝1+4＝5设A'（1y）则B′（5y）AA'2＝16＝（﹣2﹣1）2+（4﹣y）2即（4﹣y）2＝16﹣9＝7解得y＝4±①当y＝4+时点A'坐标为（14+）点B'的坐标为（54+）相对于A（﹣24）B（24）∵1﹣（﹣2）＝34+﹣4＝∴抛物线l：y＝x2+2向右平移了3个单位长度向上平移了个单位长度则抛物线l'的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+＝x2﹣3x++；②当y＝4﹣时A'（14﹣）B'（54﹣）相对于A（﹣24）B（24）∵1﹣（﹣2）＝34﹣﹣4＝﹣∴抛物线l：y＝x2+2向右平移了3个单位向下平移了个单位则抛物线l′的解析式为：y＝（x﹣3）2+2﹣＝﹣3x+﹣．综上所述平移后抛物线l'的表达式为y＝x2﹣3x++或y＝x2﹣3x+﹣．【点评】本题是二次函数的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和菱形的性质等知识点解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．题型6：综合-矩形存在性问题1．如图在平面直角坐标系中抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0﹣2）B（40）两点直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M使得四边形ABCM为矩形？如果存在求出点M的坐标；如果不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点C作AB的平行线过点A作BC的平行线两条直线相较于M根据点ABC的坐标判断三角形ABC为直角三角形再根据作图可得四边形ABCM为矩形根据直线平移的性质可求得直线AM和直线CM的解析式再联立方程组解方程组即可求得点M坐标．【解答】解：（1）把A（0﹣2）B（40）代入抛物线y＝x2+bx+c得解得：∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）存在．过点C作AB的平行线过点A作BC的平行线两条直线相较于M则M即为所求．在y＝﹣2x+8中令x＝0则y＝8∴C（08）∵A（0﹣2）B（40）∴AB2＝42+22＝20BC2＝42+82＝80AC2＝102＝100∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°∵CM∥ABAM∥BC∴四边形ABCM是矩形设直线AB的解析式为y＝kx+m则解得：∴直线AB的解析式为y＝x﹣2∵CM∥AB∴直线CM的解析式为y＝x+8∵AM∥BC∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2联立方程组解得：∴点M坐标为（﹣46）．【点评】本题属于二次函数综合题考查了二次函数的性质一次函数的性质矩形的判定和性质直角三角形的判定解题的关键是判断∠ABC为直角．2．如图在平面直角坐标系中矩形OABC的两边OAOC分别在x轴和y轴上OA＝3OC＝4抛物线y＝ax2+bx+4经过点B且与x轴交于点D（﹣10）和点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点连接CPPE当四边形OCPE的面积最大时求点P的坐标此时四边形OCPE的最大面积是多少；（3）若N是抛物线对称轴上一点在平面内是否存在一点M使以点CDMN为顶点的四边形是矩形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质结合OAOC的长度可得出点ACB的坐标再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标过点P作PF⊥x轴于点F设点P的坐标为（m﹣m2+3m+4）（0＜m＜4）利用S四边形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE即可得出S四边形OCPE关于m的函数关系式再利用二次函数的性质即可求出结论；（3）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线直线x＝利用待定系数法可求出直线CD的表达式分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：①当CD为边时利用CN⊥CD或DN⊥CD可得出CN或DN的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标再利用矩形的性质即可求出点M的坐标；②当CD为对角线时设线段CD的中点为G过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H利用勾股定理可求出HN的长度进而可得出点N的坐标再利用矩形的性质即可求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形且OA＝3OC＝4∴点A的坐标为（30）点C的坐标为（04）点B的坐标为（34）．将B（34）D（﹣10）代入y＝ax2+bx+4得：解得：∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时﹣x2+3x+4＝0解得：x1＝﹣1x2＝4∴点E的坐标为（40）∴OE＝4．过点P作PF⊥x轴于点F如图1所示．设点P的坐标为（m﹣m2+3m+4）（0＜m＜4）则S四边形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE＝（OC+PF）•OF+FE•PF＝（4﹣m2+3m+4）•m+（4﹣m）•（﹣m2+3m+4）＝﹣2m2+8m+8＝﹣2（m﹣2）2+16∵﹣2＜0∴m＝2时S四边形OCPE取得最大值最大值＝16此时点P的坐标为（26）∴当四边形OCPE的面积最大时点P的坐标为（26）此时四边形OCPE的最大面积是16．（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4∴抛物线的对称轴为直线x＝．利用待定系数法可求出直线CD的表达式为y＝4x+4分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：①当CD为边时若四边形DCNM为矩形则直线CN的解析式为y＝﹣x+4∴点N的坐标为（）∴点M的坐标为（﹣1+﹣00+﹣4）即（﹣）；若四边形CDNM为矩形则直线DN的解析式为y＝﹣x﹣∴点N的坐标为（﹣）∴点M的坐标为（0+﹣（﹣1）4﹣﹣0）即（）；②当CD为对角线时设线段CD的中点为G过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H如图3所示．∵点C的坐标为（04）点D的坐标为（﹣10）∴点G的坐标为（﹣2）∴点H的坐标为（2）∴GH＝﹣（﹣）＝2．又∵以点CDMN为顶点的四边形是矩形即△OCN为直角三角形∴GN＝OC＝＝∴HN＝＝＝∴点N的坐标为（）或（）．当点N的坐标为（）时点M的坐标为（﹣1+0﹣0+4﹣）即（﹣）；当点N的坐标为（）时点M的坐标为（﹣1+0﹣0+4﹣）即（﹣）．综上所述在平面内存在一点M使以点CDMN为顶点的四边形是矩形点M的坐标为（﹣）或（）或（﹣）或（﹣）．【点评】本题考查了矩形的性质、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、梯形的面积、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用分割图形求面积法找出四边形OCPE的面积关系m的函数关系式；（3）分CD为边及CD为对角线两种情况利用矩形的性质求出点M的坐标．题型7：综合-正方形存在性问题1、综合与探究如图在平面直角坐标系中直线y＝x+b与x轴交于点A（40）与y轴交于点B过AB两点的抛物线交x轴于另一点C且OA＝20C点F是直线AB下方抛物线上的动点连接FAFB．（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时△ABF的面积为3；（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．（4）在（3）的条件下点Q为平面内y轴右侧的一点是否存在点Q及平面内另一点M使得以AFQM为顶点的四边形是正方形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）把（40）代入y＝x+b求出b的值从而求出点B坐标然后根据OA＝2OC求出点C坐标（﹣20）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）把B（0﹣4）代入即可求解；（2）将抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标即可得出点F坐标再求出对称轴与直线AB的交点坐标即可求解；（3）过点F作FE∥y轴交AB于点E设点P的横坐标为t则P（t）则E（tt﹣4）所以＝﹣t2+4t又因则S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）根据二次函数最伯求解即可；（4）分两种情况：①当AF为正方形AFMQ的边时②当AF为正方形AFMQ的对角线时分别求出点Q坐标即可．【解答】解：（1）把（40）代入y＝x+b得4+b＝0解得：b＝4∴y＝x﹣4当x＝0时y＝0﹣4＝﹣4∴B（0﹣4）∴A（40）∴OA＝4∵OA＝2OC∴OC＝2∴C（﹣20）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）把B（0﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4）解得：a＝∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x﹣4；（2）y＝﹣x﹣4＝∵点F与抛物线的顶点重合∴F（1）设抛物线对称轴与直线AB相交于E如图∵A（40）B（04）∴直线AB解析式为：y＝x﹣4则当x＝1时y＝1﹣4＝﹣3∴E（1﹣3）∴故答案为：3；（3）如图过点F作FE∥x轴交AB于点E设点P的横坐标为t则P（t）∵直线AB的解析式为y＝x﹣4∴E（tt﹣4）∴＝﹣t2+4t∵∴S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）∴当t＝2时S四边形FAOB有最大值12∴此时点F的坐标为（2﹣4）．（4）过作FE⊥x轴于E∵A（40）F（2﹣4）∴AE＝2EF＝4AF＝2如图①当AF为正方形A