窗函数法设计FIR滤波器1总结课件

一、设计方法1、设计思想先给定理想滤波器的频响Hd(ejω)，所要求设计一个FIR的滤波器的频响为H(ejω)，使H(ejω)逼近Hd(ejω)§5-2窗函数设计法一、设计方法§5-2窗函数设计法

2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位抽样响应hd(n)，然后加时间窗w(n)对hd(n)截断，以求得FIRDF的单位取样响应h(n)。窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件例如，低通滤波器0

Hd(ejω)是矩形的，则h(n)一定是无限长的且是非因果的。例如，低通滤波器0Hd(ejω)是矩形的，则h(n)一定1、理想LF的单位抽样响应hd(n),理想低通滤波器的频响Hd(ejω)为100为群延时二、窗函数对频响的影响1、理想LF的单位抽样响应hd(n),100为群延时二、窗函因为其相位，所以hd(n)是偶对称，其对称中心为α，这是因为n=α时，为其最大，故α为其对称中心。hd(n)是无限长的非因果序列.a因为其相位，所以hd(n)是偶对称

加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口RN(n)看hd(n)，称RN(n)为窗口函数。其他n值2、加矩形窗WR(n)=RN(n)

因h(n)是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h(n)可写作h(n)=n为其他值加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件3、h(n)的频率响应

h(n)的频响H

(ejω)可通过傅氏变换H

(ejω)=F[h(n)]求得，为了便于与hd(n)的频率响应Hd(ejω)相比较，利用卷积定理3、h(n)的频率响应(1)矩形窗的频响

其中，为幅度函数，为相位函数。(1)矩形窗的频响其中，（2）理想LF的频响

其中，为幅度函数，为相位函数。（2）理想LF的频响窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件（3）h(n)的频响其中，为幅度函数，

为相位函数。（3）h(n)的频响其中，（1）时，4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程看其影响:00也就在到全部面积的积分。（1）时，4、窗函数频响产生的影响00也就（2）时，正好与

的一半相重叠。这时有。（2）时，(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。(3)时，的主瓣（5）当时，随增加，

左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积

也随着的旁瓣在通带内的面积

变化而变化，故将围绕着零值而波动。（5）当时，随增加，(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。100.5(6)当时，的右边窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件5、几点结论（1）加窗后，改变了理想频响的边沿特性，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在过渡带两旁产生肩峰和余振(起伏振荡)，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。5、几点结论（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（3）吉布斯（Gibbs）效应N增加,过渡带宽减小,肩峰值不

上图为N=8时，WR(ejω)的幅度特性。当N增加时，幅度特性的“主瓣”（ω=±2π/N间的区域）宽度减小。对于矩形窗来说，当N增加时，主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加，还保持每一波瓣下的面积恒定不变，所以每一波瓣的宽度随N增加而减小，呈振荡方式变化（振荡更快）。上图为N=8时，WR(ejω)的幅度特性。当

1、基本概念改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。三、各种窗函数但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制1、基本概念三、各种窗函数但实际上这两点不能兼得，一般总2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：2、矩形窗3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：101234

3、三角形（Bartlett）窗101频谱：

第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。频谱：第一对零点为4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里4、汉宁窗（升余弦窗）所以有当时，，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为所以有当时，汉宁窗是α=2时，特例汉宁窗是α=2时，5、海明窗，又称作改进升余弦窗

仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）<1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例5、海明窗，又称作改进升余弦窗6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为

其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗7、五种窗函数的比较（1）时域窗7、五种窗函数的比较（2）各个窗的幅度函数，图中是dB表示的。00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w//pGain,dBRectangularwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w//pGain,dBHanningwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w//pGain,dBHammingwindow00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w//pGain,dBBlackmanwindow（2）各个窗的幅度函数，图中是dB表示的。00.20.40.（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）

把窗函数的顶部缩窄，同时使窗函数的两端平缓的过渡到零，就可以降低旁瓣的高度，但这样做却增加了主瓣，从而加宽了过渡区。由于所用的窗函数都是对称的，所以相位是线性的。上图中，很显然矩形窗的主瓣最窄。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）把窗函数N增大，阻带衰减不变，过渡区变小。因此，可以通过选择窗函数的形状和窗函数列长N对设计加以控制。增加窗的长度N对低通滤波器设计的影响N增大，阻带衰减不变，过渡区变小。增加窗的长度N对低通滤波器几种窗函数的主要性能几种窗函数的主要性能凯泽（Kaiser）窗

上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。1、凯泽窗

凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：函数。凯泽窗定义为：1.定义凯泽（Kaiser）窗上述几种窗函数：矩其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，

是一个可自由选择的参数。第一类零阶修正贝塞尔函数为其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相当于矩形窗;通常选择，旁瓣与主瓣幅度为3.1%-0.047%；2.特点可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即3.凯泽经验公式根据滤波器的设计指标,估算出值和N值。且，由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即窗函数法设计FIR滤波器1总结ppt课件不同b下凯泽窗的性能不同b下凯泽窗的性能四、窗函数法的设计1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表确定窗的形式及N的大小（4）最后求及（5）检验四、窗函数法的设计例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，具体要求：其他并画出相应的频响特性2、设计举例例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的其他并画出相应的解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出

（2）确定N由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此

（3）加矩形窗则有解：（1）由于是一理想LF，所以可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以例如H（0）=0.94789，