北师大版九年级数学下册练习：小专题(五)　二次函数的应用

第页小专题(五)二次函数的应用类型1面积问题1.课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：(1)假设AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比拟，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.图1图2图3解：(1)由可得：AD＝eq\f(6－1－1－1－\f(1,2),2)＝eq\f(5,4)，那么S＝1×eq\f(5,4)＝eq\f(5,4)(m2).(2)设AB＝xm，那么AD＝(3－eq\f(7,4)x)m.∵3－eq\f(7,4)x＞0，∴0＜x＜eq\f(12,7).设窗户面积为S，由得：S＝AB·AD＝x(3－eq\f(7,4)x)＝－eq\f(7,4)x2＋3x＝－eq\f(7,4)(x－eq\f(6,7))2＋eq\f(9,7).∵－eq\f(7,4)＜0，0＜x＜eq\f(12,7)，∴当x＝eq\f(6,7)时，S最大＝eq\f(9,7)＞1.05.∴与课本中的例题比拟，改变窗户形状后窗户透光面积的最大值变大.类型2利润问题2.(2023·达州)“绿水青山就是金山银山〞的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)假设该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；假设每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设进价为x元，那么标价是1.5x元，由题意，得1.5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1000.1.5×1000＝1500(元).答：进价为1000元，标价为1500元.(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋eq\f(a,20)×3)(1500－1000－a).＝－eq\f(3,20)(a－80)2＋26460.∵－eq\f(3,20)＜0，∴当a＝80时，w最大＝26460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元.3.(2023·黄石)小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出了如下规律：①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x；②该蔬菜的平均本钱y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax2＋bx＋10，4月份的平均本钱为2元/千克，6月份的平均本钱为1元/千克.(1)求该二次函数的表达式；(2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少(注：平均利润＝销售价－平均本钱)?解：(1)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝1))代入y＝ax2＋bx＋10，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋10＝2，,36a＋6b＋10＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－3.))∴y＝eq\f(1,4)x2－3x＋10.(2)根据题意知：L＝P－y＝9－x－(eq\f(1,4)x2－3x＋10)＝－eq\f(1,4)(x－4)2＋3，∴当x＝4时，L取得最大值，最大值为3.答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克.类型3实物抛物线问题4.为备战2023年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光.如图，排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如下图的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；(3)假设队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?解：(1)设抛物线表达式为y＝a(x－7)2＋3.2，将点C(0，1.8)代入，得49a＋3.2＝1.8，解得a＝－eq\f(1,35).∴y＝－eq\f(1,35)(x－7)2＋eq\f(16,5).(2)当x＝9.5时，y＝－eq\f(1,35)×(9.5－7)2＋eq\f(16,5)≈3.02＜3.1.故这次她可以拦网成功.(3)设抛物线的表达式为y＝a(x－7)2＋h.将点C(0，1.8)代入，得49a＋h＝1.8，即a＝eq\f(1.8－h,49).∴此时抛物线的表达式为y＝eq\f(1.8－h,49)(x－7)2＋h.根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4〔1.8－h〕,49)＋h＞2.43，,\f(121〔1.8－h〕,49)＋h≤0.))解得h≥3.025.即h的取值范围是h≥3.025.类型4其他问题5.(2023·成都)随着地铁和共享单车的开展，“地铁＋单车〞已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分钟)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝eq\f(1,2)x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.解：(1)设y1＝kx＋b.将(8，18)，(9，20)代入y1＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8k＋b＝18，,9k＋b＝20.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝2.))故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，那么y＝y