专题二-理科：数列-第1讲课件

第1讲数列、等差数列与等比数列(小题)板块二

专题二数列第1讲数列、等差数列与等比数列(小题)板块二专题二数1NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练21PARTONE热点一等差数列、等比数列的基本运算热点二等差数列、等比数列的性质热点三等差数列、等比数列的综合问题热点四数列的递推关系1PARTONE热点一等差数列、等比数列的基本运算热点二3热点一等差数列、等比数列的基本运算1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.热点一等差数列、等比数列的基本运算1.等差数列、等比数列的2.等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.2.等差数列、等比数列问题的求解策略例1

(1)(2019·柳州模拟)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*).数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝

数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为______.－30例1(1)(2019·柳州模拟)已知点(n，an)在函数f则bn＝

＝2n－12，∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列，∴由bn≤0，得n≤6.解析∵点(n，an)在函数y＝2x－1的图象上，∴an＝2n－1，∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列，则bn＝＝2n－12，解析∵点44解析数列an是正项等比数列且q≠1，由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去).解析数列an是正项等比数列且q≠1，跟踪演练1

(1)(2019·上饶重点中学六校联考)已知等差数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，若S8＝S10，则a18等于A.－4 B.－2 C.0 D.2√解析设等差数列{an}的公差为d，由S8＝S10，得a9＋a10＝0，所以2a1＋17d＝0，且a1＝2，跟踪演练1(1)(2019·上饶重点中学六校联考)已知等差√√解析由正项等比数列{an}的前n项和为Sn，易知q＝1时不成立，所以q≠1.解析由正项等比数列{an}的前n项和为Sn，易知q＝1时不解析因为a1＝9，a5＝1，(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为____.9令Sn>0，得0<n<10，所以使得Sn>0成立的n的最大值为9.解析因为a1＝9，a5＝1，(3)已知等差数列{an}的前热点二等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.热点二等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m＋n＝p＋例2

(1)(2019·合肥模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a5＋a7－

＝0，则S11的值为A.11 B.12C.20 D.22√又该数列为正项数列，可得a6＝2，所以由S2n－1＝(2n－1)an，可得S11＝11a6＝22.例2(1)(2019·合肥模拟)已知正项等差数列{an}的√√解析∵a1a2019＝1，∴f(a2)＋f(a2018)＝2，…，f(a1009)＋f(a1011)＝2，f(a1010)＝1，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2019)＝2×1009＋1＝2019.解析∵a1a2019＝1，∴f(a2)＋f(a2018(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝____.解析令m＝1，∵am·an＝am＋n，∴a1·an＝a1＋n，又an>0，∴数列{an}为等比数列.21∵a4>0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，跟踪演练2

(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若√跟踪演练2(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{A.2 B.4 C.6 D.8√解析设数列{an}的公比为q.∵数列{an}是等比数列，A.2 B.4 C.6 D.8√解析设数(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于A.－510 B.400C.400或－510 D.30或40√解析∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝1热点三等差数列、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的失分点(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；热点三等差数列、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的失分例3

(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝____.15解析设等差数列的公差为d，所以an＝2n－3，n∈N*.所以2m－3＝27，所以m＝15.例3(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于A.1062 B.2124C.1101 D.1100√(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝解析设数列{an}的公差为d，∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.当n≥2时，bn＋1－bn＝bn，∴bn＋1＝2bn，即数列{bn}从第二项起为等比数列，∴bn＝2n－2(n≥2)，分组求和可得数列{cn}的前11项和S11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22＋…＋29)＝77＋210＝1101.解析设数列{an}的公差为d，∴数列{an}的通项公式为a跟踪演练3

(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为A.31 B.34C.62 D.59√跟踪演练3(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于a1＝3，解得d＝1，故an＝n＋2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当n＝1时，b1＝S1＝21＝2，故cn的前3项和为a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×2＋4×2＋5×4＝34.即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故cn的前3(2)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，g(9)＝9,10的因数有1,2,5,10，g(10)＝5，那么g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(22019－1)＝________.(2)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如解析由g(n)的定义易知g(n)＝g(2n)，且若n为奇数则g(n)＝n，令f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n－1)，则f(n＋1)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n＋1－1)＝1＋3＋…＋(2n＋1－1)＋g(2)＋g(4)＋…＋g(2n＋1－2)即f(n＋1)－f(n)＝4n，分别取n为1,2，…，n，并累加得解析由g(n)的定义易知g(n)＝g(2n)，即f(n＋1令n＝2019，得：令n＝2019，得：热点四数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式.热点四数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法例4

(1)(2019·上饶重点中学六校联考)设数列{an}满足a1＝3，且对任意整数n，总有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，则数列{an}的前2018项的和为A.588 B.589 C.2018 D.2019解析因为(an＋1－1)(1－an)＝2an，因为a1＝3，即数列{an}是以4为周期的数列，所以a1＋a2＋…＋a2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＋a2018√例4(1)(2019·上饶重点中学六校联考)设数列{an}(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1A.99 B.100C.101 D.102√(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，专题二-理科：数列--第1讲ppt课件A.2＋nlnn

B.2n＋(n－1)lnnC.2n＋nlnn

D.1＋n＋nlnnn分别用1,2,3，…，n－1(n≥2)取代，即an＝2n＋nlnn(n≥2)，又a1＝2符合上式，故an＝2n＋nlnn.√A.2＋nlnn B.2n＋(n－1)lnnn分(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2019等于√(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均解析由an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an可得an＋1＝an，即数列{an}是常数列，又数列{an}的首项为1，所以an＝1，所以当SnSn＋1≠0时，2SnSn＋1＋anbn＋1＝0可化为2SnSn＋1＋bn＋1＝0，因为Sn为数列{bn}的前n项和，解析由an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an可得an＋12PARTTWO押题预测真题体验2PARTTWO押题预测真题体验381.(2018·全国Ⅰ，理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于A.－12 B.－10

C.10

D.12√真题体验解析设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.1.(2018·全国Ⅰ，理，4)记Sn为等差数列{an}的前2.(2017·全国Ⅰ，理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330C.220 D.110√2.(2017·全国Ⅰ，理，12)几位大学生响应国家的创业号解析设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，解析设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为专题二-理科：数列--第1讲ppt课件解析根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)，又由a1＝1，S3＝a5，得3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，则am＝a1＋(m－