2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题13 三角函数的综合应用（含解析）

专题13三角函数的综合应用十年大数据*全景展示年份题号考点考查内容2013卷1理16文16三角函数最值与值域主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题2014卷1理6三角函数的实际应用主要考查利用三角函数的应用及三角公式卷2理14文14三角函数最值与值域主要考查三角公式及三角函数最值卷2理16文12三角函数的实际应用主要考查圆的相关知识、正弦定理等基础知识2016卷1理12三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查运算求解能力．卷2理7三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称轴．卷2文11三角函数最值与值域主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值2017卷2理14三角函数最值与值域主要考查同角三角函数基本关系、三角函数图像与性质、换元法求最值．卷2文13三角函数最值与值域主要考查辅助角公式及三角函数的最值．卷3文6三角函数最值与值域主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思想．2018卷1理16三角函数最值与值域主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值．卷1文8三角函数图象与性质的综合应用主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化与化归思想与运算求解能力2019卷1理11三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．大数据分析*预测高考考点出现频率2021年预测三角函数最值与值域7/132021年仍将重点考查三角函数图像与性质的综合应用及三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，难度为中档题或压轴题．三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的实际应用2/13十年试题分类*探求规律考点42三角函数最值与值域1．(2016全国新课标卷2，文11)函数SKIPIF1<0的最大值为()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值5，选B．2．(2017新课标卷3，文6)函数f(x)=SKIPIF1<0sin(x+SKIPIF1<0)+cos(x−SKIPIF1<0)的最大值为A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函数的最大值为SKIPIF1<0，故选A．3．(2012山东)函数的最大值与最小值之和为A．B．0C．－1D．【答案】A【解析】故选8．4．(2018•新课标Ⅰ，理16)已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个周期，故只需考虑SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的值域，先来求该函数在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的极值点，求导数可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的变化情况如下表所示：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0—0—0+SKIPIF1<00↗极大值SKIPIF1<0↘↘极小值SKIPIF1<0↗0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．5．(2017新课标卷2，文13)．函数SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．6．(2017新课标卷2，理14)．函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的最大值是．【答案】1【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数取得最大值1．7．(2014新课标Ⅱ，理14)函数SKIPIF1<0的最大值为_________．【答案】1【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最大值为18．(2013新课标Ⅰ，理15)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值，此时SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．9．(2013江西)设SKIPIF1<0，若对任意实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】【解析】得故．10．(2019浙江18)设函数SKIPIF1<0．(1)已知SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0是偶函数，求SKIPIF1<0的值；(2)求函数SKIPIF1<0的值域．【解析】(1)因为SKIPIF1<0是偶函数，所以，对任意实数x都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因此，函数的值域是SKIPIF1<0．考点43三角函数图象与性质的综合应用1．(2019•新课标Ⅰ，理11)关于函数SKIPIF1<0有下述四个结论：①SKIPIF1<0是偶函数②SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有4个零点④SKIPIF1<0的最大值为2其中所有正确结论的编号是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0是偶函数，故①正确；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为减函数，故②错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是偶函数，得在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上还有一个零点SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有3个零点，故③错误，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选SKIPIF1<0．2．(2018•新课标Ⅰ，文8)已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，最大值为3 B．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，最大值为4 C．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，最大值为3 D．SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，最大值为4【答案】B【解析】函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函数的最小正周期为SKIPIF1<0，函数的最大值为SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0．3．(2016新课标卷1，理12)12．已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的零点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0图像的对称轴，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调，则SKIPIF1<0的最大值为()(A)11

(B)9

(C)7

(D)5【答案】B．【解析】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不单调，故A错；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调，故选B．4．(2016•新课标Ⅱ，理7)若将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，则平移后的图象的对称轴为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即平移后的图象的对称轴方程为SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0．5．(2016山东)函数SKIPIF1<0的最小正周期是A．SKIPIF1<0 B．π C．SKIPIF1<0 D．2π【答案】B【解析】由题意得SKIPIF1<0，故该函数的最小正周期SKIPIF1<0．故选B．6．(2014安徽)若将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位，所得图象关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0的最小正值是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位得SKIPIF1<0，由该函数为偶函数可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正值是为SKIPIF1<0．7．(2014福建)将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到函数SKIPIF1<0的函数图象，则下列说法正确的是A．SKIPIF1<0是奇函数B．SKIPIF1<0的周期是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称D．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0【答案】D【解析】函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到函数SKIPIF1<0的图象，SKIPIF1<0为偶函数，排除A；SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，排除B；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不关于直线SKIPIF1<0对称，排除C；故选D．8．(2014辽宁)将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间SKIPIF1<0上单调递减B．在区间SKIPIF1<0上单调递增C．在区间SKIPIF1<0上单调递减D．在区间SKIPIF1<0上单调递增【答案】B【解析】将SKIPIF1<0的图象向有右移SKIPIF1<0个单位长度后得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的图象，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，故选B．9．(2013山东)将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A．B．C．0D．【答案】B【解析】将函数y=sin(2SKIPIF1<0+)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B．10．(2018北京)在平面直角坐标系中，记SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0的最大值为A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由题意可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值3，故选C．11．(2016年浙江)设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小正周期A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的变化会引起SKIPIF1<0的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．12．(2015浙江)函数SKIPIF1<0的最小正周期是________，单调递减区间是_______．【答案】SKIPIF1<0、()【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为()．13．(2014山东)函数SKIPIF1<0的最小正周期为．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以其最小正周期为SKIPIF1<0．14．(2014安徽)若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．15．(2016年浙江)已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=__，SKIPIF1<0=__．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<016．(2014陕西)设SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．17．(2017江苏)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值和最小值以及对应的SKIPIF1<0的值．【解析】(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．于是，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值3；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0．18．(2017山东)设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0；(Ⅱ)将函数SKIPIF1<0的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到函数SKIPIF1<0的图象，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值．【解析】(Ⅰ)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由题设知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．19．(2016年天津)已知函数SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论SKIPIF1<0在区间[SKIPIF1<0]上的单调性．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．SKIPIF1<0令SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0．所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在区间SKIPIF1<0上单调递减．20．(2015北京)已知函数SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的最小正周期；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值．【解析】(Ⅰ)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小正周期为2SKIPIF1<0．(Ⅱ)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值．所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0．21．(2015湖北)某同学用“五点法”画函数SKIPIF1<0在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<005SKIPIF1<00(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数SKIPIF1<0的解析式；(Ⅱ)将SKIPIF1<0图象上所有点向左平行移动SKIPIF1<0SKIPIF1<0个单位长度，得到SKIPIF1<0的图象．若SKIPIF1<0图象的一个对称中心为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据，解得SKIPIF1<0．数据补全如下表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0050SKIPIF1<00且函数表达式为SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．22．(2014福建)已知函数SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求函数SKIPIF1<0的最小正周期及单调递增区间．【解析】解法一：(Ⅰ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅱ)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．解法二：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅰ)SKIPIF1<0．(Ⅱ)SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．23．(2014福建)已知函数SKIPIF1<0．(Ⅰ)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求函数SKIPIF1<0的最小正周期及单调递增区间．【解析】解法一：(Ⅰ)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅰ)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．24．(2014北京)函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示．(Ⅰ)写出SKIPIF1<0的最小正周期及图中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【解析】：(I)SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(II)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．25．(2014天津)已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的最小正周期；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【解析】(Ⅰ)由已知，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．(Ⅱ)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的图像知，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0．26．(2014重庆)已知函数的图像关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．(I)求和的值；(II)若，求的值．【解析】：(I)因SKIPIF1<0的图象上相邻两个最高点的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．又因SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0因SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．27．(2013山东)设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【解析】(1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0sin2ωx－sinωxcosωx＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0cos2ωx－SKIPIF1<0sin2ωx＝SKIPIF1<0．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为SKIPIF1<0，又ω＞0，所以SKIPIF1<0．因此ω＝1．(2)由(1)知SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．当π≤x≤SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，因此－1≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值分别为SKIPIF1<0，－1．28．(2013天津)已知函数．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值．【解析】(1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0sin2x·SKIPIF1<0＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0的最小正周期T＝SKIPIF1<0＝π．(2)因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，在区间SKIPIF1<0上是减函数．又f(0)＝－2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为－2．29．(2013湖南)已知函数SKIPIF1<0(1)求的值；(2)求使成立的x的取值集合．【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(2)由(1)知，SKIPIF1<0SKIPIF1<030．(2012安徽)设函数SKIPIF1<0(=1\*ROMANI)求函数SKIPIF1<0的最小正周期；(=2\*ROMANII)设函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(=1\*ROMANI)函数SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．(Ⅱ)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式为SKIPIF1<0．31．(2012陕西)函数()的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)设，则，求的值．【解析】(Ⅰ)∵函数SKIPIF1<0的最大值是3，∴，即．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴．故函数SKIPIF1<0的解析式为．(Ⅱ)∵，即，∵，∴，∴，故．32．(2015山东)设SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的单调区间；(Ⅱ)在锐角△SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，可得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；由SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；所以SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；单调递减区间是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(Ⅱ)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0是锐角，所以SKIPIF1<0．由余弦定理：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时成立．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0．33．(2013福建)已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．(1)求函数与的解析式；(2)是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．【解析】(Ⅰ)由函数的周期为，，得又曲线的一个对称中心为，故，得，所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数(Ⅱ)当时，，，所以．问题转化为方程在内是否有解设，则因为，所以，在内单调递增又，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意．(Ⅲ)依题意，，令当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，现研究时方程解的情况令，则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况，令，得或．当变化时，和变化情况如下表当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以综上，当，时，函数在内恰有个零点考点44三角函数的实际应用1．(2014新课标Ⅰ，理6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角SKIPIF1<0的始边为射线SKIPIF1<0，终边为射线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离表示为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在[0，SKIPIF1<0]上的图像大致为()【答案】B【解析】如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则PM=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，MD=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，选B．2．(2015陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数SKIPIF1<0，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．3．(2014新课标Ⅱ，理16)设点M(SKIPIF1<0，1)，若在圆O：SKIPIF1<0上存在点N，使得∠OMN=45°，则SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由图可知点SKIPIF1<0所在直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，又SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解之：SKIPIF1<04．(2014湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求实验室这一天上午8时的温度；(Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故实验室上午8时的温度为10℃．(Ⅱ)因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．5．(2018江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆SKIPIF1<0的一段圆弧SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为此圆弧的中点)和线段SKIPIF1<0构成．已知圆SKIPIF1<0的半径为40米，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形SKIPIF1<0，大棚Ⅱ内的地块形状为SKIPIF1<0，要求SKIPIF1<0均在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0均在圆弧上．设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0．(1)用SKIPIF1<0分别表示矩形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积，并确定SKIPIF1<0的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为SKIPIF1<0．求当SKIPIF1<0为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】(1)连结SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=10．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，分别交圆弧和SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，才能作出满足条件的矩形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．答：矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0平方米，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为SKIPIF1<0，乙的单位面积的年产值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则年总产值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，因此，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值．答：当SKIPIF1<0时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6．(2017江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线SKIPIF1<0的长为10SKIPIF1<0cm，容器Ⅱ的两底面对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒SKIPIF1<0，其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将SKIPIF1<0放在容器Ⅰ中，SKIPIF1<0的一端置于点SKIPIF1<0