曲线积分计算方法课件

习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分1一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P244题3(1),(3),(6)一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长2解答提示:计算其中L为圆周提示:

利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则P2443(1)解答提示:计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说3P244

3(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:P2443(3).计算其中L为摆线上对应t从4P2443(6).计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.P2443(6).计算其中由平面y=z截5(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路6例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用7例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令8解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若9思考题解答:(1)(2)思考题解答:(1)(2)10证:把例3.设在上半平面内函数具有连续偏导数,且对任意t>0都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有两边对t求导,得:则有因此结论成立.(2006考研)证:把例3.设在上半平面内函数具有连续偏导数,且对任11计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.练习题:P244题3(5);P245题6;11.3(5).用格林公式:计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.练习题:P2412P245

6

.设在右半平面x>0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L

所作的功为P2456.设在右半平面x>0内,力构成力13P245

11.求力沿有向闭曲线

所作的其中为平面x+y+z=1

被三个坐标面所截成三提示:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,P24511.求力沿有向闭曲线所作的其中14设三角形区域为,方向向上,则方法2利用公式斯托克斯公式设三角形区域为,方向向上,则方法2利用公式斯托克斯15例4.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记

为平面上

L所围部分的上侧,D为在xOy面上的投影.由斯托克斯公式公式例4.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆16D的形心D的形心17二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积18思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?

不对!对坐标的积分与的侧有关思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分192.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利20练习:P244题4(3)

其中为半球面的上侧.且取下侧,原式=P244题4(2),P245题10同样可利用高斯公式计算.记半球域为,高斯公式有计算提示:以半球底面为辅助面,利用练习:P244题4(3)其中为半球面的上侧.且取下21例5.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a

为任意固定向量,n为的例5.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设22例6.计算曲面积分其中,解:思考:本题

改为椭球面时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.例6.计算曲面积分其中,解:思考:本题改为椭球面时23例7.设是曲面解:取足够小的正数,

作曲面取下侧使其包在内,为xOy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则例7.设是曲面解:取足够小的正数,作曲面取24第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得25例8.计算曲面积分中

是球面解:利用对称性用重心公式例8.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式26作业P2443(2),(4);4(2)5;9作业P2443(2),(4);27备用题1.

已知平面区域L为D的边界,试证证:(1)根据格林公式①②所以相等,从而左端相等,即(1)成立.(2003考研)因①、②两式右端积分具有轮换对称性,备用题1.已知平面区域L为D的边界,试证证:(128(2)由①式由轮换对称性(2)由①式由轮换对称性29(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是

2.

地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25R,卫星绕地球一周的时间为T,试求(2)在解:如图建立坐标系.的时间内,卫星监视的地球表面积是多少?多少?设卫星绕y轴旋转(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是30(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处播放开始或暂停