西南交通大学网络教育学院

概率论与数理统计试卷二一、（10分）对一个三人学习小组考虑生日问题（1） 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；（2） 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；（3） 求三个人的生日不都在星期天的概率。二、（10分）在八个数字中0,1,2,…,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？三、 （10分）袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。四、 （10分）设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X为抽得白球数，试求X的数学期望与方差。五、 （12分）设随机变量X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为:上/、,3e-3x x„0f（x）…fx [o x<0试求Y…2X2的概率密度函数与数学期望。六、 （12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在90。C，液体的温度X（以€C记）是一个随机变量，服从正态分布，其方差为0.62，试求液体的温度保持在89。〜91。C的概率。七、（12分）设随机变量X与Y具有概率密度:0<x<2，0<y<2其它试求：D(X),D(Y)，与D(2X-3Y)。八、 （12分）试求正态总体N（卩,0.52）的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。九、 （12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：

试求未知参数€，◎2及Q的置信度为0.95的置信区间。(9)，2.7)(t(9)，2.262,X2 (9)，19.023(9)，2.7)0.025 0.025 0.975试卷参考解答一、(10分)对一个三人学习小组考虑生日问题求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率求三个人的生日不都在星期天的概率。解：1)2)解：1)2)3)p，1„1„-„3，-18，0.05251777 343\o"CurrentDocument"6 6 6 1 6 6 324p，x_x_+_x_x_x3， ，0.9446\o"CurrentDocument"7 7 7 7 7 7 343111342p，1—_x_x_= ，0.9971\o"CurrentDocument"777 343二、(10分)在八个数字中0,1,2,...,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？7x6x5+3x6x6x5解：p， ，0.44648x7x6x5三、(10分)袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。解：设A=第i次取得黄球，i，1,2iP(A)，P(A)P(AIA)+P(A)P(AIA)，20x19+10x20，20，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2i72 / 12 / 3029 3029 30四、(10分)设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X为抽得白球数，试求X的数学期望与方差。解：\o"CurrentDocument"C3 1 C1C2解：P{X二0}，，—，0.1，P{X二1}，C3 10 C355\o"CurrentDocument"C2C1 3P{X二2}，二，，0.3C3 105X012Pk0.10.60.3E(X)，0x0.1+1x0.6+2x0.3，1.2

E(X2)€02X0.1,12X0.6,22X0.3=1.8D(X)€E(X2)-[E(X)]2€1.8-(1.2)2€0.36五、（12分）设随机变量X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为:X(x)X(x)€„03e-3x试求Y€2X2的概率密度函数与数学期望。1解：y€2x2,y'€4x>0,(x>0)x=Jy/2,x'= (y>0)2J2y3 —y>0f(h(y))|h(y)|€ e-y>02f'2yy<0E(Y)€E(2X2)€<股2x2-3e-3xdx=-2x2e-3x|+s,4<^xe-3xdx000TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4f 4 4€—_xe-3x1+8, <+8e-3xdx=-_e-3x|+8=\o"CurrentDocument"3 0 30 9 0 9另解：因为X〜Z(3),E(X)€1,D(X)€丄3 32E(YE(Y)€E(2X2)€2E(X2)=2x{D(X),[E(X)匕}=2x1-1“2…一,93'六、 （12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在90。C，液体的温度X（以€C记）是一个随机变量，服从正态分布，其方差为0.62，试求液体的温度保持在89。〜91。C的概率。解：P{89<X解：P{89<X<91}二①-91-90、•0.6丿0.6'€©(1.6667)-™(-1.6667)€2™—1.6667)-1€2x0.9522-1二0.9044七、（12分）设随机变量X与Y具有概率密度：f(x,yf(x,y)-Ix+y)00<x<2,0<y<2其它试求：D(X),D(Y)，与D(2X—3Y)。解：f(x)=J2(x+y)dy，-(2x+解：f(x)=J2(x+y)dy，-(2x+22)，(x+1) 0€x€2x" 088 2 4f(y)，J2j(x+y)dx，；(；22+2y)，；(y+1) 0<y<2Y08 82 4\o"CurrentDocument"1 11 1 147E(X)，J2x•—(x+1)dx，—(—23+—22)， ，—,E(Y)04 43 2 126E(X2),J2x2•-(x+1)dx，-(-24+-23)，色，5，E(Y2)0 4 44 3 12 357711D(X)，E(X2)-[E(X)]2，-三…三，-3 66 36E(XY)，J2J2xy1(x+y)dxdy，1J2J2x2ydxdy+10088001 1 1 1 1 1 4，—X—23X—22+—X—22X—23=—83 2 8 2 3 3477Cov(X,Y)，E(XY)-E(X)E(Y)，怎-7…73 66f2xy2dxdy0136D(2X-3Y)，4D(X)+9D(Y)-12Cov(X,Y)，13…1136+12,空,4.305636 36八、（12分）试求正态总体N（卩,0.52）的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。_ 052 一 052 _一 052解：X~N(F),Y~叫直),X-Y~N(0,.+空)，N(0,竺),10 15 6P{X-Y>0.4}，1-P{X-Y<0.4}，1-①(0.4„2&6)+①(-0.4„2阳，2[1-①(1.9596)]，2[1-0.975]，0.05九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：试求未知参数卩,<2及<的置信度为0.95的置信区间。（t（9），2.262,%2 （9），19.023,咒