河北省张家口市柴沟堡第二中学2021年高二数学理联考试卷含解析

河北省张家口市柴沟堡第二中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列中，，，则=（

）A. B.

C.

D.参考答案：A略2.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有

A.100种

B.400种

C.480种

D.2400种参考答案：D略3.集合A=｛2,4,6，8,10｝,集合B=｛1,3,5，7,9｝,从集合A中任选一个元素a,从集合B中任选一个元素b,b<a的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.曲线在点处的切线恰好是轴，则

（A）

（B）

（C）

（D）无法确定参考答案：A略5.三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是(

)①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②④参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．解答：解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．综上可知：①④正确．故选：B．点评：本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题6.已知，则的最小值为（）A、2

B、3

C、4

D、5参考答案：B略7.抛物线的焦点坐标为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C8.命题“”的逆否命题是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D9.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（）A． B．r C．r D．r参考答案：D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；扇形面积公式．【分析】假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．【解答】解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，∵h=，∴S=（r+x）?，S′=，令S′=0，得x=，（x=﹣r舍），则h=r．当x∈（0，）时，S′＞0；当x∈（，r）时，S′＜0．∴当x=时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．故选：D10.用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于2参考答案：C【考点】FC：反证法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b都小于2”，从而得出结论．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是

．参考答案：?x∈R，x2﹣x+3≤0【考点】2J：命题的否定；2I：特称命题．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为：?x∈R，x2﹣x+3＞0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：?x∈R，x2﹣x+3≤0故答案为：?x∈R，x2﹣x+3≤012.如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持向量在上的投影为0，则线段AP扫过的区域的面积为（

）

A．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

参考答案：C略13.若命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全程命题，写出命题p的否定￢p即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全程命题，得命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案为：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．14.在独立性检验时计算的的观测值，那么我们有

的把握认为这两个分类变量有关系．

0．150．100．050．0250．0100．005

2．0722．7063．845．0246．6357．879

参考答案：0.95

略15.已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．参考答案：=1【考点】直线的两点式方程．【分析】由截距式，可得直线的方程．【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1．故答案为=1．16.已知集合，，则=

参考答案：略17.将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：45三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆标准方程的形式可得，解可得k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．19.（本小题满分12分）已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项。参考答案：解：

…………6分

由通项公式，

…………8分

当r=2时，取到常数项

…………10分即

…………12分略20.在数列{an}中，，（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；（2）证明这个数列的通项公式．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）由原式两边取对数，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：（1）在数列{an}中，∵a1=1，an+1=（n∈N+）．a1=1=，a2==，a3==，a4==，a5==，…∴可以猜想，这个数列的通项公式是an=．（2）证明：由原式得==+，所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，故=1+（n﹣1）=，从而an=．21.（本小题满分12分）在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．(1)求三棱锥P－ABC的外接球的表面积；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC；(3)求二面角P－BC－A的余弦值．参考答案：(1)OA=OB=OC=OP=1

外接球半径r=1

表面积s=(2)连结OC、OP∵AC＝CB＝，O是AB中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1.同理，PO⊥AB，PO＝1.又PC＝，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC.∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.（3）理科

二面角P－BC－A的余弦值为22.APEC是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]）.（1）求选取的市民年龄在[30,35)内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.参考答案：（1）30人；（2）.【分析】（1）由频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，进而可求出人数；（2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.（2）易知，第4组的人数为，故第3，4组共有50名市民，所以用分层抽样的方法在50名志愿者