第十二章无穷12 4函数展开成幂级数

1问题：给定一个幂级数，在其收敛域内如何求和函数？0nn

0nn¥¥n=0n=0a

(x

-x

)

满足：(2)在I

上的和函数就是f

(x)，即，f

(x)=a

(x

-

x

)

，x

˛

I.反问题：给定一个f

(x)，能否找一个幂级数(1)

在某个区间I

上收敛；n2xnn¥n=1如

(-1)

-1

的和函数：s(x)

=

ln(1+

x) (-1

<

x

£1).讨论：

1.

如果能展开，an

是什么? 2.

展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?回顾：泰勒公式23002!nn

0f

(n)

(x

)f

(n+1)

(x)n+1f

¢(x

)f

(x)

=

f

(x0

)

+

f

¢(x0

)(x

-

x0

)

+(x

-

x

)R

(x)

=

(x

-

x

)(n

+1)!++

0

(x

-

x0

) +

Rn

(x)若f

(x)在x0

的某个邻域内有n

+1阶导数，则在该邻域有n!此式称为f

(x)在x0

处的n阶泰勒公式，其中，(x

在x

与x0

之间).20002!f

(n)

(x

)f

¢(x

)f

(x0

)

+

f

¢(x0

)(x

-

x0

)

+(x

-

x

)++

0

(x

-

x )n

+n!称为f

(x)在x0

处的泰勒级数.特别地，当x0

=0时，泰勒级数为：24n2!

n!f

¢(0)

f

(n)

(0)f

(0)

+

f

¢(0)x

+

x

++x

+★泰勒级数若f

(x)在x0

的某个邻域内具有任意阶导数，则下列级数—麦克劳林级数下面说明：泰勒级数就是反问题中要寻找的级数!f

(x)=ex

的麦克劳林级数为：2n2!

n!e2

+

e2

(x

-

2)

+

(x

-

2)

++(x

-

2)

+ne2n!¥=(x

-

2)n=0如f

(x)=ex，在x

=2处的泰勒级数：e2

e21nx¥n=0

n!1

152!

n!1+

x

+x2

++xn

+

=

证:00nf

(n)

(x

)

0

n!¥f

(x)

=x

˛

U

(x

).n=0(x

-

x

)

，f

(x)

=

sn+1

(x)

+

Rn

(x)lim

Rn

(x)

=

lim

f

(x)

-

sn+1

(x)

=

0，

x

˛

U

(x0

)nfi

¥

nfi

¥0nkf

(k

)

(x

)

0

k

!n+1k

=0(x

-

x

)令s

(x)

=nfi

¥6定理1

若f

(x)在x0

的某个邻域U

(x0

)内具有各阶导数，则f

(x)在该邻域内能展开成泰勒级数f

(x)的泰勒公式中的余项满足：lim

Rn

(x)=0.nn

0n=0a

(x

-

x

)

，x

˛

(-R,

R).证：设f

(x)=f

¢(x)

=

a

+

2a

x

++

na

xn-1

+；1

2

nf

¢(x)

=

2!a

++

n(n

-1)a xn-2

+；2

n2

02!a

=

1

f

¢(x

)nf

(

n)

(x)

=

n!a

+；071(n)n(x

)n!a

=

f结论成立.a0

=

f

(x0

)a1

=

f

¢(x0

)00nn¥a

(x

-x

)，则这种n=0展开式是唯一的，且与它的泰勒级数相同.¥定理

2

若

f

(x)能展成

x

-

x

的幂级数第一步求函数及其各阶导数在x

=0处的值；★直接展开法nfi

¥第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R；第三步在收敛区间(-R,R)内判别lim

Rn

(x)是否为0.8n+1n(n

+1)!R

(x)

=exxxn+1x

<

e(n

+1)!21112!xnnn!¥n=0

n!x

=1+

x

+x

+

+x

+

x

˛

(-¥

,+

¥

)9故，e

=

n

fi

¥0例1

将函数

f

(x)

=

ex

展开成x的幂级数.解：f

(n)

(x)

=

ex，f

(n)

(0)

=1 (n

=

0,1,

2,)麦克劳林级数：1+

x

+

1

x2

+

1

x3

++

1

xn

+2!

3!

n!收敛半径：R

=+¥

，对任何有限数x，其余项为(x

在0与x

之间)10例2

将函数

f

(x)

=

sin

x

展开成x的幂级数.2p

)解：f

(n)(x)=sin(x

+nkf(n)

(0)

=

k

˛

N.0

n

=

2k(-1)

n

=

2k

+115!

(2n

-1)!x2n-1

+麦克劳林级数：x

-1

x3

+1

x5

-+(-1)n-13!收敛半径：R

=+¥

，nxn+1(n

+1)!R

(x)

=

2

sin(

x

+(n

+1)

p

)<(n

+1)!xn+111n¥2n+1=(

-1)(2n

-1)!x

x

˛

(-¥

,

+¥

).(2n

+1)!n=0x2n-1

+故，sin

x

=x

-1

x3

+1

x5

-+(-1)n-13!

5!n

fi¥0对任何有限数x，其余项为1111n2n(2n)!¥n=0=(

-1)(2n

-

2)!x x

˛

(-¥

,

+¥

).cos

x=1-

1

x2

+

1

x4

-+(-1)n-12!

4!x2n-2

+类似例1和例2可得：nxn!¥n=0n!(-1

<

x

<1).=

2!m(m

-1)(m

-

n

+1)(1+

x)m

=1+

mx

+

m(m

-1)

x2

++

m(m

-1)(m

-

n

+1)

xn

+说明：(1)

在x

=

–1处的收敛性与m

有关.(2)

当m

为正整数时，级数为x的m次多项式，上式就是代数学中的二项式定理.对应m

=1

，-1

，-1的二项展开式分别为2

21 1

31

3

52

2

42

4

62

4

6

81+

x

=1+

1

x

-x2

+

x3

-(-1

£

x

£1)x4

+12

2

4

2

4

61+

x2

4

6

8(-1

<

x

£1)=1-

1x

+

1

3

x2

-

1

3 5

x3

+

1

3

5 7

x4

-1121+

x(-1

<

x

<1)=1-

x

+

x2

-

x3

+

x4

-★间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数.★常见幂级数的展开式ex1

xnn=0

n!¥=

=1+

x

++

1

xn

+

x

˛

(-¥

,

+¥

)n!1131n¥2n+1=(

-1)x

x

˛

(-¥

,

+¥

).(2n

+1)!(2n

-1)!n=0sin

x

=

x

-

1

x3

+

1

x5

-+(-1)n-13!

5!x2n-1

+14n!m(m

-1)(m

-

n

+1)xn¥(1+

x)m

=

n=0=1+

m

x

+

m(m

-1)

x2

++

m(m

-1)(m

-

n

+1)

xn

+2!

n!(-1

<

x

<1)=¥n

n(-1)

x1+

x1n=0=1-

x

+

x2

++(-1)n

xn

+(-1

<

x

<1)1nn¥=1-

xn=0x

=1+

x

++

x

+

(-1

<

x

<1)(2n)!

2!n=0cos

x=

(

-1)n

1

x2n

1

1

x2

(

1)n-1

1

x2n-2 ¥=

-

+ +

-

+(2n

-

2)!x

˛

(-¥

,

+¥

)1511+

x2例

4

将函数展开成x的幂级数.11-

x(-1

<

x

<1)=1+

x

+

x2

++

xn

+解：把x

换成-x2，得11+

x2=1-

x2

+

x4

++(-1)n

x2n

+(-1

<

x

<1)¥=

(-1)n

x2nn=016例5

将函数arctan

x

展开成x的幂级数.21n

2n¥n=01+

x(-1

<

x

<1)=

(-1)

x解：由例4知：00[xxn2nx

dx)n=0n=0¥arctan

x

=(-1)n

x2n

]dx

=(-1)

((-1)nn=0

2n

+1x2n+1

(-1

<

x

<1)¥=

对上式从0到x

积分得：¥¥2n+1x

-1

£

x

£1.(-1)nn=0

2n

+1于是，arctan

x

=右端的幂级数在x

=–1收敛，而arctan

x

在x

=–1有定义，且连续，故，展开式对x=–1也是成立的.17例6

将函数

f

(x)

=

ln(1+

x)

展开成x的幂级数.1n

n¥n=01+

x(-1)

x

(-1

<x

<1)，且f

(0)=0.解：f

¢(x)

=

=0xnnx

dx¥

f

(x)

=

ln(1+

x)

=(-1)n=0x¥n=0(-1)n=n

+1n+1，¥n=0(-1)nn

+1x

-1

<

x

£1.于是，ln(1+x)=n+1，11

1

12

3

4n

+1+

-

++(-1)n+利用此题可得：ln

2

=1--1

<

x

<1右端的幂级数在x

=1收敛，而ln(1+x)在x

=1有定义，且连续，故，展开式对x

=1也是成立的.例7

将

y

=

sin2

x

展成x的幂级数.解

y

=

2

sin

x

cos

x

=

sin

2x1n(2x)¥2n+1=(

-1)(2n

+1)!n=001801[xxn(2x)

]dx¥2n+1\

y

=sin

2xdx

=(-1)(2n

+1)!n=02n(2n)!22n-1¥n+1

=(-1)n=1x

，x

˛

(-¥

,

+¥

)x

˛

(-¥

,

+¥

)12x2

+

x

-1例8

将

f

(x)

=展成x的幂级数.解:f

(x)

=

-

1

(

1

+

2

)3

1+

x

1-

2x

1

¥n=0n

n(-1)

x

，x

˛

(-1,1)而

=1+

x1=¥1-

xn=0nx

，x

˛

(-1,1)又121

=¥1-

2xn=02n

xn，x

<)1

2+3

1+

x

1-

2x\

f

(x)

=

-

1

(32n

xn

]1

[

¥¥=

-(-1)n

xn

+

2n=0n=0nx¥=

n=03(-1)n+1

-

2n+1-

1

<

x

<

12

219204例9

将sin

x

展成

x

-

p

的幂级数.解：sin

x

=

sin

p

+(x

-

p

)4

44

4

4

4=

sin

p

cos(

x

-

p

)

+

cos

p

sin(

x

-

p

)4

42=

1

[cos(

x

-

p

)

+

sin(

x

-

p

)]22!

4

4!

44

3!

4

5!

4=

1

{[1-

1

(x

-

p

)2

+

1

(x

-

p

)4

-]

+[(x

-

p

)

-

1

(x

-

p

)3

+

1

(x

-

p

)5

-]}4

2!

4

3!

42=

1

[1+

(x

-

p

)

-

1

(x

-

p

)2

-

1

(x

-

p

)3

+](-¥

<

x

<

+¥

)1x2

+

4x

+

3例10

将

f

(x)

=展成x

-1的幂级数.11

1=-(x

+1)(x

+

3)解：f

(x)=12(1+

x)

2(3

+

x)124=-4(1+

x

-1)8(1+

x

-1)-n=02n¥

n

1

=

( 1)n

(x

-1)(1+

x

-1)

-1

<

x

<

32-1

<

x