2023年云南省玉溪市高考数学第一次质检试卷含答案解析版

2023年云南省玉溪市高考数学第一次质检试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1.（5分）（2023•玉溪模拟）已知集合/={x|/<4},8==,则4j8=（）

A.（-2,2）B.[0,3）C.（-2,3）D.（-2,3]

2.（5分）（2023•玉溪模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，

若复数z=（2+山）,•（其中ae火）为“等部复数”,则复数z-2ai在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

）n____

3.（5分）（2023•玉溪模拟）在扇形CO。中/CO£>=——，0c=0。=2.设向量加=2反+，

3

n=OC+2OD,则所•）=（）

A.-4B.4C.-6D.6

4.（5分）（2023•玉溪模拟）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥

和一个半球组合而成，圆锥的高是o.4w,底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表

面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

5.（5分）（2023•玉溪模拟）已知奇函数/（X）=2COS3X-9）（0>O,0<*<外图像的相邻

两个对称中心间的距离为2万，将/（x）的图像向右平移。个单位得函数g（x）的图像，则g（x）

的图像（）

A.关于点（],0）对称B.关于点（-弓,0）对称

C.关于直线x=-工对称D.关于直线》=工对称

32

6.（5分）（2023•玉溪模拟）若a,&e{l,2,3},则在“函数/（灯=/〃（牛+ax+6）的定义

域为R”的条件下，“函数g（x）=a、-b-*为奇函数”的概率为（）

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20222023

7.（5分）（2023•玉溪模拟）玉知（1-媛（1+2x）5+（1+2O23x）+（1-2O22x）展开式中x的

系数为”空间有q个点，其中任何四点不共面，这4个点可以确定的直线条数为m,以这

q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为〃，以这0个点中的某些点为顶点可以确

定的四面体个数为p,则"?+”+p=（）

A.2022B.2023C.40D.50

8.（5分）（2023•玉溪模拟）已知a=e-2,b=\-ln2,c=ee-e2,则（）

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

9.（5分）（2023•玉溪模拟）已知双曲线C过点G&）且渐近线方程为x士何=0,则下列

结论正确的是（）

A.C的方程为--匕=1

3

B.。的离心率为道

C.曲线y=e”2_i经过c的一个焦点

D.C的焦点到渐近线的距离为1

10.（5分）（2023•玉溪模拟）已知a>0,6>0,且a+6=4则下列结论一定正确的有（）

A.（4+26）2284bB.~>=H-7=22,ab

4a4h

14

C.仍有最大值4D.上+:有最小值9

ab

x2—2x,0令（2

11.（5分）（2023•玉溪模拟）已知函数/（x）=冗,则下列结论正确的有（）

sin—x,2<x^4

A-/（i）=-2r

B.函数图像关于直线x=l对称

C.函数的值域为[-1,0]

D.若函数y=/（x）-机有四个零点，则实数，"的取值范围是（-1,0]

12.（5分）（2023•玉溪模拟）在棱长为1的正方体4用G2-/8C。中，M为底面N3CD的

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中心，。是棱4。上一点，且而=2万%,2€[0,1],N为线段N0的中点，给出下列

A.CN与04/共面

B.三棱锥Z-DMN的体积跟2的取值无关

C.当；1=工时，AM1QM

4-

D.当彳=1时，过N,。，M三点的平面截正方体所得截面的周长为40+2拒

33

三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13.（5分）（2023•玉溪模拟）已知函数y=2/〃（x+l）+sinx的图象在冗=0处的切线的倾斜

角为a,则cosa=.

14.（5分）（2023•玉溪模拟）已知随机变量X~5（2,p）,若P（X>1）=,，则p=___.

16

15.（5分）（2023•玉溪模拟）已知直线x+y-Jja=0与圆C:（x+l）2+（y-l）2=2/-2a+l

相交于点B,若ZU8C是正三角形，则实数a=—.

V22

16.（5分）（2023•玉溪模拟）已知耳，鸟分别是椭圆C：/+方v=l（a>b>0）的左、右焦

Y2

点，A,8是椭圆C与抛物线尸:y=-—+a的公共点，A,8关于y轴对称且/位于y轴

a

右侧，|NB|W2MA|，则椭圆C的离心率的最大值为.

四、解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023♦玉溪模拟）在①4=",②夕=4这两个条件中选择一•个补充在下面的

问题中，然后求解.

设等差数列｛%｝的公差为d（deN）,前〃项和为S“，等比数列他,｝的公比为q.己知々=%,

4=2,,S]。=100.

（1）请写出你的选择，并求数列｛4｝和｛"｝的通项公式;

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（2）若数列｛c“｝满足c“=&,设｛c,｝的前"项和为7；,求证：Tn<6.

b.

18.（12分）（2023•玉溪模拟）在A45C中，角/,B,C的对边长依次是a,b,c,6=26，

sin2+sin2C+sin4sinC=sin2B.

（1）求角8的大小：

（2）当A48c面积最大时，求N8ZC的平分线的长.

19.（12分）（2023•玉溪模拟）某地力，B,C,。四个商场均销售同一型号的冰箱，经

统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表（单位：十台）：

4商场8商场C商场D商场

购讲该型冰箱数3456

X

销售该型冰箱数2.5344.5

y

（1）已知可用线性回归模型拟合y与工的关系，求y关于x的线性回归方程/=去+4；

（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入/商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱

的概率分别为p,且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金

额的期望不超过6000元，求p的取值范围.

2卬,_阿

参考公式：回归方程/=八+3中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为3=号---------

十2

二天一优—2

,=!

A—，—

a=y-bx.

20.（12分）（2023•玉溪模拟）如图，在四棱锥P-/BCO中，PA±ABCD,底面/8C。

是矩形，PA=AD=2,AB=4,M,N分别是线段PC的中点.

（1）求证：上火//平面尸40；

（2）在线段C。上是否存在一点0,使得直线N。与平面。MN所成角的正弦值为g?若存

在，求出丝的值；若不存在，请说明理由.

CD

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21.(12分)(2023•玉溪模拟)如图，己知尸(1,0),直线=P为平面上的动点，过

点尸作/的垂线，垂足为点。，且/多=而•而.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点厂的直线与轨迹C交于/,8两点，与直线/交于点设总=2,左，

MB=^BF,证明4+4定值，并求1441的取值范围•

22.(12分)(2023•玉溪模拟)已知函数〃x)=e'T+"?+1的图像与直线/：、+如+c=0相

切于点T(l，f(1)).

(1)求函数y=〃x)的图像在点〃(0,7(0))处的切线在x轴上的截距：

(2)求c与0的函数关系c=g(a)；

(3)当。为函数g(a)的零点时，若对任意2],不等式/(x)-Ax20恒成立.求

实数〃的最值.

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2023年云南省玉溪市高考数学第一次质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

x|y=心六卜贝'」山8=（）

1.（5分）（2023•玉溪模拟）已知集合4={X|X2<4},B=-

A.(-2,2)B.[0,3)c.(-2,3)D.(-2,3]

【解答】解：•♦•>={x|d<4}={x|-2<x<2},

X

=3=冽=3。令<3},

/4|js={x|-2<x<3}.

故选：C.

2.（5分）（2023•玉溪模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，

若复数z=（2+山）,•（其中ae夫）为“等部复数”,则复数彳-2ai在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】ft?：vz=（2+ai）i=-a+2i,

又；“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，

-a=2>解得a=-2,

：.z=2+2i,

:.z=2-2i,即三一2山=2+2i,

复数亍-2亩在复平面内对应的点是（2,2）,位于第一象限.

故选：A.

3.（5分）（2023•玉溪模拟）在扇形CO。中/COQ=纭，OC=。。=2.设向量比=2方+砺,

3

n=OC+2OD,则济万二（）

A.-4B.4C.-6D.6

2TT

【解答】解：由题意，OC=OD=2,Z.COD——,

3

所以反2=］反『=4,OD=|OD|2=4,

由平面向量的数量积定义可得，反•丽=|反冈丽|xcos亨=2x2x（-；）=-2,

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所以和万=（2反+而）•（反+2历）=2方2+5OCOD+2OD2=6.

故选：D.

4.（5分）（2023•玉溪模拟）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥

和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4相，底面直径和球的直径都是0.6m,现对这个台灯表

面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

【解答】解：由已知得圆锥的母线长/=必/不=0.5,

所以台灯表面积为S=nrl+Inr1=^-x0.3x0.5+2^x0.32=0.33万，

需要涂胶的重量为0.33Tx200=66^^66x3.14=207.24»207（克），

故选：B.

5.（5分）（2023•玉溪模拟）已知奇函数"x）=2cos（0x-g）（＜y＞0,0＜。＜勿）图像的相邻

两个对称中心间的距离为2万，将/（x）的图像向右平移y个单位得函数g（x）的图像，则g（x）

的图像（）

A.关于点（］,0）对称B.关于点（_予,0）对称

C.关于直线x=-工对称D.关于直线》=%对称

32

【解答】解：根据题意可得工=24，又7=空，

2co2

又/（x）为奇函数，且0＜。＜乃，.,.可得*='，

/（x）=2sin^-x,g（x）=2sin（：（x-g））=2sin（!x-J）,

22326

令Lx-a=k九（kwZ）,x=2k7r+—（keZ）,故4错误，3正确;

263

4-x--=-+M*eZ）,x=2^+—（keZ）,故C、。错误.

2623

故选：B.

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6.(5分)(2023•玉溪模拟)若a,b&{\,2,3},则在“函数/'(x)=/〃(/+办+6)的定义

域为R”的条件下，“函数g(x)="-b-'为奇函数”的概率为()

11cl八1c2

A.—B.—C.—D.一

6323

【解答】解：用所有的有序数对(。力)表示满足a,bw{l,2,3}的结果，

则所有的情况为:(1,1).(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9

种，

记“函数/(幻=历，+"+6)的定义域为R”为事件力，

因为函数/(x)=/〃，+ax+b)的定义域为我，

所以VxeR,x?+ax+6>0恒成立，

即△=/-46<0,即。2<46,

其中满足/<46的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)共6种，故

P(A)=-=-.

93

记“函数g(x)=a*-6T为奇函数”为事件8.

已知g(x)是奇函数,且定义域为R,则g(1)=-g(-l),

g|la-l=-l+Z),即=

haah

解得a=h'^,ab=\.

满足a=b或必=1的情况有(1,1),(2,2),(3,3)共3种，

所以，即同时满足事件4和事件5的情况有(2,2),(3,3)共3种，

I

故尸(48)=3=1■,所以P(B|/)=[(』8)=]_=j_.

93尸(力)22

3

故选：C.

7.(5分)(2023•玉溪模拟)已知(l—x)"a+2x)5+(l+2023x)2°22+(l-2022x)2°23展开式中x的

系数为q,空间有q个点，其中任何四点不共面，这(7个点可以确定的直线条数为〃7,以这

4个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为〃，以这q个点中的某些点为顶点可以确

定的四面体个数为p,则机+〃+p=()

A.2022B.2023C.40D.50

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【解答】解：(1-X)4(1+2X)5的展开式中含x的项为：

Cjl4(-x)°-C^l4(2x)1+C^l3(-x)'-C35(2x)°=6x,(1+2023x产22+。一2022》严23的展开式中含

X的项为：Go2212M(2023x)1+C；02312侬(-2022X)'=2022x2023x-2023x2022x=0,

45

所以(l-x)(l+2x)+(1+2023x>°22+(1_2022x)2023的展开式中含乂的项为6x,其系数q=6)

依题意得根+"+p=C；+C；+C：=15+20+15=50.

故选：D.

8.(5分)(2023•玉溪模拟)已知a=e-2,b=l-ln2,c=ee-e2,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

【解答】令/"(x)=/〃x-x,X>1,则r(x)=1-l<0,于是/(x)在(1,+8)上单调递减，

X

所以/(e)<f(2),即历-2,即e-2>l-/〃2,故4>b；

令g(x)="—x,X>1,则<(幻=/一1>0,于是g(x)在(l,+oo)上单调递增，

所以g(e)>g(2),即2,即？，一/>6一2,故c>〃；

综上c>a>b•

故选：D.

二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)

9.(5分)(2023•玉溪模拟)已知双曲线C过点(3,正)且渐近线方程为x士何=0,则下列

结论正确的是()

A.C的方程为/-匕=1

3

B.C的离心率为G

C.曲线y=e"2_i经过c的一个焦点

D.C的焦点到渐近线的距离为1

•>

【解答】解：因为双曲线C的渐近线方程为X土6y=0,则设双曲线。:日-炉=〃4H0),

又点(3,a)在双曲线C上，有4=1,即双曲线C的方程为=故4错误；

双曲线C的实半轴长。=百，虚半轴长6=1,半焦距。=2,双曲线C的离心率

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吒卷故8错误;

双曲线C的焦点坐标为（±2,0）,其中（2,0）满足y=e、-2—l,故C正确;

双曲线C的焦点（±2,0）到渐近线x±伤=0的距离d=4==।，故。正确.

V1+3

故选：CD.

10.（5分）（2023•玉溪模拟）已知a>0,b>0,且a+6=4则下列结论一定正确的有（）

A.(a+2b)~》84bB.-厂T—尸》2jab

i4

C.仍有最大值4D.上+2有最小值9

ab

【解答】解：因为a>0,b>0,且a+b=4,

:(a+2b)2-Sab=(a-2b)2^0,/错误;

当a=b=2时取等号，8显然错误;

因为a+b=4,

所以於（等）2=4,当且仅当a=6=2时取等号，C正确；

14a+ba+b5ba、5Jba9出口e业,八口.4

—+—=----+----=-+一+—2一+21--------=一，当且仅当力=2。且〃+力=44即a

ah4〃h44〃64\4ab43

时取等号，。错误.

3

故选：AC.

x2-2x,0令W2

11.（5分）（2023•玉溪模拟）已知函数/（x）=.7t，则下列结论正确的有（）

sin—x,2<送4

2

A-/（i）=_2f

B.函数图像关于直线x=l对称

C.函数的值域为[-1,0]

D.若函数y=/（x）-加有四个零点，则实数m的取值范围是（-1,0]

x2-2尢,0令忘2

【解答】解：由函数/（》）=•71，

sin—x,2<我4

2

则/(-1)=sin|■乃=一

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且对应图像大致如图:

结合图像可得：函数图像不关于直线x=l对称，函数的值域为[-1,0],若函数y=/（》）-，"

有四个零点，则实数加的取值范围是（-1,0）,

故选：AC.

12.（5分）（2023•玉溪模拟）在棱长为1的正方体44Gq-48CO中，M为底面Z8CO的

中心，。是棱4A上一点，且丽=2互不，Ae[0,1],N为线段的中点，给出下列

命题，其中正确的是（）

B.三棱锥/-OA/N的体积跟4的取值无关

C.当；1=1时;AM1QM

4

D.当2时，过/,0,M三点的平面截正方体所得截面的周长为4近+2近

33

【解答】解：对选项/：在A/IC0中，因为M,N为AC,/。的中点，

所以MV//C0,所以CN与0M共面，所以才正确;

对选项3：由匕一DMV

因为N到平面4BCD的距离为定吗，旦MDM的面积为定叫,

第11页（共21页）

所以三棱锥的体积跟4的取值无关，所以8正确；

]?1Q75

对选项C：当4=—时，A,Q=-9可得力A/2=—,AQ2=AA,2+A.Q2=14----=—，

4142।।1616

取N。，42的中点分别为N,E,连接EN,EM,贝="N2+EN2=；+l,

在直角三角形ME。中,QM2=ME2+EQ2=（；>+（扣+/=舄，

则4加2+°”2>/。2,所以0A/不成立，所以C不正确.

对选项。：当2=；时，取瓦斤=g方高，连接HC,则HQ"A、C\,又ACI/A、C\所以，0〃/C,

所以4,M,C,H,。共面，即过X,Q,/三点的正方体的截面为ZC〃0,

由=c〃=J+.=半,则力CHQ是等腰梯形，且=；4G=*，

所以平面截正方体所得截面的周长为/=&+1+2x、用=还挈正,所以。正确：

3V93

故选：ABD.

三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

第12页（共21页）

13.（5分）（2023•玉溪模拟）已知函数歹=2比（x+l）+sinx的图象在x=0处的切线的倾斜

角为a,则cosa=_—.

2-TT3

【解答】解：y=------+cosx,y|=3,HPtana=3>0,0<a<—,tana=-,

x+1v=021

利用三角函数定义，cosa=/==遮.

Vl+910

故答案为：—.

10

71

14.（5分）（2023•玉溪模拟）已知随机变量X〜8（2,p）,若P（X>1）=,，则

164

【解答】解：已知X〜8（2,p）,

则尸（右1）=c\p（\-p）+C；p2（l-p）°=2p-p2,

717

/.2p-p2-—，解得p=—或p=—（因为0<夕<1,故舍去）.

1644

故答案为：

4

15.（5分）（2023•玉溪模拟）已知直线工+^-百〃=0与圆。:（工+1）2+3-1）2=2/一2〃+1

相交于点/,B,若ZU5C是正三角形，则实数

2

【解答】解：设圆。的半径为，由2/一24+1=2（4-；）2+；〉0

贝I]r=,2/-2a+1

•・,ZU8C是正三角形,

.•.点到直线AB的距离为当厂，

即*M7ET化简整理可得,

替=（（2/_24+1）,解得”;.

故答案为：

2

r22

16.（5分）（2023•玉溪模拟）已知与，居分别是椭圆。:\+4v=1（。〉6>0）的左、右焦

a"h~

2

点，A,8是椭圆C与抛物线尸:y=-二+”的公共点，A,8关于y轴对称且/位于y轴

a

右侧，|N8|W2MBI，则椭圆C的离心率的最大值为

X2X2V2

【解答】解：联立抛物线P:y=+a与椭圆C：A+4=l（a>b>0）的方程，

aab-

第13页（共21页）

消去x可得《一2=0,解得y=0或y=0,

baa

2

①y=0时，代入歹=一土+a,解得x=±a,

a

已知点Z位于y轴右侧，取交点4（〃,0）,则8（-〃,0）,

此时|48《2|/行|o2”2（a-c）oc《0,与c〉0矛盾，不合题意；

b2x2

@y=一时，代入y=-----+〃，解得x=±c,

aa

已知点4,3关于y轴对称且4位于y轴右侧，取交点4（°,乙）、S（-c,—）,

aa

L2

・・•玛（c,0）,・・・/_1_工轴,\AF1=—,

2a

2力2

此时\AB\^1\AF1|o2cW”-，

即acW〃=02-c2,两端同除以/可得：

e2+e-1^0.

解得止叵WK上叵，又0<e<l,

22

.•.0<冬旦，

2

V5-1

•••—=、一•

故答案为：好二！.

2

四、解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023•玉溪模拟）在①g=d,②=4这两个条件中选择一个补充在下面的

问题中，然后求解.

设等差数列｛”“｝的公差为d（deN*）,前"项和为S"，等比数列也J的公比为q.已知bt=at,

b2=2,,go=100.

（1）请写出你的选择，并求数列｛a,J和也,｝的通项公式：

（2）若数列｛g｝满足设｛q,｝的前〃项和为7；,求证：Tn<6.

b„

【解答】解：（1）由题意得a“=q+（n-\）d,bn=l\q"',S“=na、+,

选条件①：二

第14页（共21页）

b\=4

b、q=2二厂。,解得a=i

,即

q=dd=2

10%+45d=1009=2

nx

/.an-a}+(〃-l)d=2n-\,bn—b}q~-2"，

故=2〃-1,bn-；

选条件②：・・・d€N”,

b、=a,%=1

[2a।+9d=20

髭=2,即.by=1

4，解得■

qd=4a.­=2d=2

a

10%+45d=100乌=2

/.an=%+(/?-l)d=2〃-1,b„=如"一

故。〃=2〃-1,bn-2"一1；

2n-\

（2）证明：由（1）得见=2〃-1,q=2〃T,

2小

35792,?-1

7=1t+-+—+—+—+•••+①,

〃2222324

1Tl3579+竽②，

/=5+尹+尹+环+>+•…

111

-yX—

.x->,/^\/曰1__1112〃-122"-22n-1.2/7+3

由①一②得=2+^+齐+…+尹--—=2+-----二3-----------

2〃T

.Tx2〃+3

••北=62“—I・

又•.•对VneN*,即单>0恒成立,

2n~]

・U<6・

18.（12分）（2023•玉溪模拟）在A48C中，角4,B,C的对边长依次是a,b,c,b=243,

sin2/i+sin2C+sin^sinC=sin2B.

（1）求角B的大小；

（2）当A4BC面积最大时，求N5NC的平分线力。的长.

【解答】解：（1）vsin2^4+sin2C+sin/IsinC=sin2B,

第15页（共21页）

由正弦定理可得"2=一双，

由余弦定理得cos8=七=二.=

2ac2

又・..8£（0,乃）,

-27r

B——；

3

7

22

（2）在AABC中，由余弦定理得人2=Q?+/-2accosB=>12=a+c一2〃ccos—4，即

3

Q2+c?+ac=12,

。>0,c>0,

/.a2+c2^2ac,当且仅当a=c时取等号，

22

12=a+c+ac23acnac^4，当且仅当a=c=2时，（ac）/MflX=4,

又•・,bABC面积为S=—acsinB=—dfcsin—=—ac,

2234

当且仅当a=c=2时\ABC面积最大，

127r

当a=c=2时，NBAC=NC=—（4—〃）=—，

236

又•・・4。为N8/C的角平分线，

TT

/BAD=/DAC=——，

12

.•.在根8。中，ZADB=ZDAC+ZC=-+-=~,

1264

9百

72X--

.,.在中，由正弦定理得——=----nAD=—二-=娓.

.2万.兀、/2

sin——sin

342

19.（12分）（2023•玉溪模拟）某地4,B,C,。四个商场均销售同一型号的冰箱，经

统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表（单位：十台）：

A商场B商场C商场D商场

购讲该型冰箱数3456

X

销售该型冰箱数2.5344.5

y

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程j）=R+a；

第16页（共21页）

(2)假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入N商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱

的概率分别为0,且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金

额的期望不超过6000元，求p的取值范围.

z%%一坷

参考公式：回归方程)=%+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为5=上---------，

行-应2

<=|

a=y-bx.

【解答】解：(1)斤=3+4+5+6=46,

4

,2.5+3+4+45一

y—=3.5,

4

44

=3x2.5+4x3+5x4+6x4.5=66.5,^x,2=32+42+52+62=86,

，=11=1

所以，=66"4"4Q：3.5=o.7,则&=歹-宸=3.5-0.7x4.5=0.35，

86-4x4.5?

故y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35；

(2)设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X,

则X的所有可能取值为0，1,2,

P(X=0)=(1-p)(2-2p)=2p2-4p+2,

P(X=1)=(l-p)(2p-1)+p(2-2p)=-4p2+5p-l,

P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p,

所以X的分布列为：

X012

P2P2-4p+2-4p2+5p-l2P2-p

所以E(X)=0x(2p2-4p+2)+\x(-4p2+5p-\)+2x(2p2-p)=3p-\

£(4000%)=4000(3/7-1),

令£(4000X)^6000,即4000(3/7-l)^6000,解得p^-,

6

又因为pvl,

2

所以,<p4—,

26

第17页(共21页)

所以P的取值范围为(；,6.

20.(12分)(2023•玉溪模拟)如图，在四棱锥尸-488中，，平面Z8C。，底面/8C。

是矩形，PA=AD=2,AB=4,M,N分别是线段PC的中点.

(1)求证：4郎//平面尸/。；

(2)在线段C。上是否存在一点。，使得直线N0与平面ZM/N所成角的正弦值为:？若存

在‘求出器的值；若不存在’请说明理由

【解答】解：(1)如图，取尸8中点E,连接ME,NE.

■：M,N分别是线段48,PC的中点,

:.ME//PA.又MEV平面P4D,P4u平面尸40,

.,.ME//平面尸4D,同理得NE//平面尸4D,又MECNE=E,

平面尸/平面A/NE,又MNu平面MNE,

.•.血//平面产力£)；

(2)•.•四边形/8C。为矩形，又产4_L平面N8C。，

AP>AB、两两垂直.

:.以4B、AD、/P所在直线为x、y、z轴建，立如图的空间直角坐标系，

则根据题意可得C(4,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),M(2,0,0),N(2,1,1),

DM=(2,-2,0),丽=(2,-1,1),

设平面D