高考数学二轮复习培优专题共23讲（原卷版）

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：奇函数+常数模型（）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．【例2】函数的定义域为【例3】(2020·集宁期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域（）A．B．C． D．【例4】若函数的定义域为，则的范围为__________。【例5】（2021·全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【题型专练】1.（2019·江苏如皋）函数的定义域为（）.A． B． C． D．2.（2021·江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是A． B． C． D．3.（2018·重庆一中高二期末（理））已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A． B． C． D．4.（2019·全国）若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______．5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)题型二：同一函数概念【例1】（2021·广东·深圳第二外国语学校高一期末）下列函数与是同一函数的是（）A． B．C． D．【题型专练】1.（2021·重庆巴蜀中学高一期中多选）下列函数中，与是同一个函数的是（）A. B. C. D.题型三：函数单调性的判断【例1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是【例2】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．【例3】（2021·新疆高一期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【例4】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．2.（2021·贵州·凯里一中）已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.4.（2019年重庆七中高一上期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.题型四：分段函数的单调性【例1】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．【例2】（2021·广东·深圳市第二高级中学）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【题型专练】1.（2021·河南焦作·）如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是（）A． B． C． D．2.（重庆巴蜀）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）题型五：函数的单调性唯一性【例1】已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．【例2】（2019年重庆巴蜀）若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则A．3 B． C． D．【题型专练】1.（2019年重庆南开）已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数,都有,则()A. B. C. D.题型六：函数奇偶性的判断【例1】（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【例2】下列对函数奇偶性判断正确的是（）A.奇函数B.是奇函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数【题型专练】1.(2020•全国Ⅱ)设函数，则（）A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减2.(2020重庆巴川中学高一月考多选)已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.B.C.D.题型七：已知函数奇偶性，求参数【例1】已知为奇函数，则________。【例2】设函数是偶函数，则实数a的值为________．【题型专练】1.已知为偶函数，则________。2.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则__________．题型八：已知函数奇偶性，求函数值【例1】已知为奇函数，且当时，，则【例2】已知函数是偶函数，且则【例3】已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则（）A． B． C．-3 D．【题型专练】1.(2021•武侯模拟)设函数若是奇函数，则的值是（）A． B． C． D．2.（2021·四川绵阳·（文））已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（）A． B． C． D．题型九：利用奇偶性求函数解析式【例1】已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________【例2】已知为偶函数，，求解析式？【例3】（2022韶关期中）若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有A． B．C． D．【题型专练】1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________.题型十：给出函数性质，写函数解析式【例1】（2021·北京·）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是___________.【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则______.【题型专练】1.（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数:是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是则________2.请写出一个最小正周期为的偶函数，则________题型十一：奇函数+常数模型（）【例1】已知且，求的值____【例2】已知函数，且，则_________【例3】（2019·山西高三月考（理））函数，则（）A．0 B． C．4 D．1【题型专练】1.已知函数，则_______；2.已知函数，则=（）A.-1 B.0 C.1 D.23.已知函数，若定义在上的奇函数，有，则A．2 B．0 C． D．4.已知函数满足条件，其中，则（）A．B．C．D．题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）【例1】已知的最大值,最小值为,求的值【例2】（2015全国卷2理科）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____【题型专练】1.（2019年重庆二外高一上期末）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【例1】（2021年重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为A. B.C.D.【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________【例3】已知奇函数在单调递增，且，则不等式的解集是_____【例4】（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，且，则使得的x的取值范围是（）A． B． C． D．【例5】设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为.【题型专练】1.（2020重庆7中高一期中）已知函数，为定义在上奇函数且单调递减.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.（2020重庆九校高一月考）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3.（2019巴蜀高一月考）已知定义在上的函数的图像经过点，且在区间单调递减，又知函数为偶函数，则关于的不等式的解为4.（2016·安徽高三月考（文））若偶函数在内单调递增，则不等式的解集是A．B．C．D．5.（2021·广西·玉林市育才中学（理））已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为7.定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.8.若函数对于任意的，恒成立，则9.已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意()，都有，若，则实数的取值范围是()A．B．C.D．题型十四：值域包含性问题【例1】（2021·四川·石室中学（文））已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【题型专练】1.（2021·福建省厦门第二中学）函数（），，对，，使成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．题型十五：函数性质综合运用多选题【例1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则（

）A．在单调递增B．在单调递增，在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【例2】（2022·广东·中山一中高三阶段练习）关于函数说法正确的是（

）A．定义域为 B．图象关于轴对称C．图象关于原点对称 D．在内单调递增【例3】（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，则下列说法正确的是（

）A．一定是偶函数 B．一定是偶函数C． D．【例4】（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称B．函数在R上不具有单调性C．函数的图象关于y轴对称D．当a＞1时，函数的最大值是0【例5】（2022·全国·高一单元测试）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C．为定值 D．【例6】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．对任意，都有【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（）A．的图象关于原点对称B．的图象关于y轴对称C．的值域为D．，且，2．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的值域为RB．是偶函数C．的图象关于直线对称D．3．（2022·江苏淮安·高二期末）对于函数，下列说法正确的有（

）A．在其定义域上为偶函数B．在上单调递减，在上单调递增C．的值域为D．有解集为4．（2022·山东青岛·高二期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（

）A． B． C．是奇函数 D．若，则5．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A．的最小值为 B．在上单调递减C．的解集为 D．存在实数满足6．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数的定义域是B．函数是偶函数C．函数在区间上是减函数D．函数的图象关于直线对称7．（2022·湖北·高一阶段练习）.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数B．是上的减函数C．在上的最小值为D．若，则实数的取值范围为8．（2022·全国·高一）设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是9．（2023·全国·高三专题练习）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（

）A． B．在上单调递减C．关于直线对称 D．的最小值为110．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（

）A． B． C． D．第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称．②若函数对于任意的均满足则关于点对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且几个常见周期性结论=1\*GB3①若函数满足，则．=2\*GB3②若函数满足，则．=3\*GB3③若函数满足，则．④若函数满足，则．⑤若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．⑥函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周⑦函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．⑧若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，，其中．若，则的值是．【例2】设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于A.B.C.D.【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为()A. B. C. D.【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（

）A．B．C．D．【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（

）A．3 B． C．255 D．2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（

）A．0B．1C．6D．2163.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（）AB.-1C.0D.14．（2022·云南红河·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．25．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时，______.【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.(1)当时，求的解析式；(2)计算.【题型专练】1.（2021·上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.3.（2021·江苏·高一专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________4.（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：（1）__________；（2）当时，_________.题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数【例1】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.【例2】（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：______．①定义域为R；②不是周期函数；③是周期为的函数．【例3】（2022·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列性质①②③的函数：__________.①定义域为；②为偶函数；③为奇函数.【题型专练】1（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）3.（2022·全国·高三专题练习（理））函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【例1】（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（

）A．4 B． C．0 D．2【例2】（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（

）A． B．0 C． D．1【例4】（2022·山东日照·高二期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．2是一个周期 D．关于直线对称【例5】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数是周期函数 B．函数为上的偶函数 C．的图象关于点对称函数 D．为上的单调函数【例6】（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A．B．C．D．【例7】若函数的定义域为R，且，则（）A. B. C.0 D.1【题型专练】1.（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．02．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，若，则（

）A．－8 B．－4 C．0 D．43．（2022·湖南·高二期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（

）A．1 B．-1 C．2 D．-34.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（）6.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则7.（2020•岳麓区校级模拟）若对任意的，都有，且，，则的值为．8.（2022·河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数对，都有，且，则（

）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点中心对称C．D．9.（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末多选）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．当时，的零点有6个C．D．若，则10．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（

）A．为周期函数 B．为上的偶函数C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称11.（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是周期函数C． D．时，第3讲导数中八大切线问题题型总结【考点分析】考点一：曲线在点处的切线方程①把切点的横坐标带入导函数，得②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为考点二：过一点的切线方程①设切点为，则斜率②利用切点和斜率写出切线方程为：，③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（

）A．B．C．D．【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A． B．C． D．2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（

）A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（

）A． B．C． D．【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B． C． D．1【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A． B． C． D．2.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．3．【2019年新课标1卷理科】曲线在点处的切线方程为___________．4．【2018年新课标2卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．5．【2018年新课标3卷理科】曲线在点处的切线的斜率为，则________．题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（

）A． B． C．或 D．或【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线与曲线相切，则的值为（

）A．2 B．-2 C．-1 D．1【题型专练】1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（

）A． B．C． D．2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（

）A．e B．1 C． D．3.过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为A．x+y+1=0 B．x-y-1=0C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=04.已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线是曲线的切线，则________．【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线在点处的切线方程为，则_____【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（

）A．或1 B．或 C．或2 D．或【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________．2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数的图象在处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【例3】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（

）A． B．C． D．【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）A． B．C． D．4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．5.（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（

）A．0 B．1 C．e D．【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（

）A． B．1 C．e D．【题型专练】1.已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．32.【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+3.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．4.（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5.（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（

）A． B． C． D．6.若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（

）A．+ B．- C．+ D．+题型七：切线平行、垂直、重合问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例2】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（

）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使得；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④最小值小于．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型专练】1.（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（

）A． B．1C． D．23.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型八：与切线相关的最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．8【题型专练】1．（2022·山西·高二期末）已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.2.（2022·江苏·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）A． B． C． D．，3.（2022·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（

）A． B． C． D．14.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（

）A． B． C． D．5.（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线是曲线的切线，则的最小值为（

）A． B．0 C． D．3第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造比较大小此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（

）A． B．C． D．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（

）A． B．C． D．2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（

）A． B． C． D．3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（

）A． B． C． D．5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数，，满足，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：证明：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即2.常见的对数放缩：3.常见三角函数的放缩：【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知，，，则（

）．A． B． C． D．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若，,，则（

）A． B． C． D．【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设，，，则（

）A． B．C． D．2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．3（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B． C． D．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设，，，则（

）A． B．C． D．【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设，，，则（

）A． B．C． D．【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2.（2022·山东青岛·高二期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设，，，则（

）A． B． C． D．4.（2022·福建宁德·高二期末）已知，，且，则（

）A． B．C． D．5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知，，，则（

）A． B． C． D．8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知，且满足，，，则（

）A． B． C． D．第5讲导数研究函数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型题型二：导函数为准一次函数型题型三：导函数为二次可分解因式型题型四：导函数为二次不可因式分解型题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数.（1）讨论函数的单调性；【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数（其中a为参数）．(1)求函数的单调区间；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数，讨论的单调性。【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性。【题型专练】1.已知函数，讨论函数在区间内的单调性；2.已知函数，其中，讨论的单调性；3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；题型二：导函数为准一次函数型【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数（为自然对数的底数）．求函数的单调区间；【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数．(1)讨论函数的单调性；【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.讨论的单调性；【题型专练】1.设函数，求的单调区间．2.已知函数.讨论的单调性；3.已知函数，讨论的单调性.题型三：导函数为二次可分解因式型【例1】（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；【例2】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数讨论f（x）的单调性；【例3】（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；【例4】（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.讨论函数的单调性；【例5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；【例6】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间.【题型专练】1.设函数，其中．讨论的单调性.2.已知函数，求函数f(x)的单调区间；3.设函数，讨论函数的单调性.题型四：导函数为二次不可因式分解型【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；【例2】（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为讨论的单调性；【例3】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．(1)讨论的单调性；【题型专练】1.已知函数，讨论的单调性；2.已知函数，讨论函数的单调性；3.已知函数，讨论的单调性；.题型五：导函数为准二次函数型【例1】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数，讨论的单调性。【例2】（2022·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性；【例3】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．试讨论函数的单调性；【例4】（2022·浙江·模拟预测）已知函数.讨论的单调性；【题型专练】1.已知函数，．若，求函数的单调区间.2.【2021年新高考2卷】已知函数．（1）讨论的单调性；3.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；第6讲导数的极值与最值6种题型总结【考点分析】考点一：函数的驻点若，我们把叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点考点三：求可导函数极值的步骤①先确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.考点四：函数的最值一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。求函数最值的步骤为：①求在内的极值（极大值或极小值）；②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数的值题型三：根据极值、极值点求参数的范围题型四：利用导数求函数的最值（不含参）题型五：根据最值求参数题型六：根据最值求参数范围【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为()A．0 B． C． D．【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为()A． B． C． D．1【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．(1)求函数在上的极值；【题型专练】1.已知e为自然对数的底数，设函数，则A．1是的极小值点 B．﹣1是的极小值点C．1是的极大值点 D．﹣1是的极大值点2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A．是的一个极大值点B．是的一个极小值点C．是的一个极大值点D．是的一个极小值点3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中.（1）求函数的极值；（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.题型二：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为()A． B． C． D．【例2】(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4【题型专练】1．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________2．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.3．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（）A． B． C． D．题型三：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【题型专练】1．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4.（2020·辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.5.（2022·江苏南通·高二期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.7.(2018年北京高考题)设函数。（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；（2）讨论的单调性,若在处取得极小值，求的取值范围。题型四：利用导数求函数的最值（不含参）【方法总结】【方法总结】导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数在内的极值；②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例1】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是()A． B． C．0 D．【例2】(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为()A．e－1 B．e C．e2 D．10【例3】函数在上的最大值为（）A． B．π C． D．【例4】（2020·北京高三期中）已知函数（1）求不等式的解集；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．【题型专练】1.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（

）A． B．1 C． D．2.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B． C． D．3.函数在（0，e]上的最大值为（

）A．－1 B．1 C．0 D．e4.已知函数，，则函数的最大值为（

）A．0 B．C． D．题型五：根据最值求参数【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为()A． B． C． D．【例2】(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=()A．3 B．4 C．5 D．8【例3】(2021·江苏测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为()A． B． C． D．【例4】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.题型六：根据最值求参数范围【例1】（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.【例3】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.【例4】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【例5】（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.【题型专练】1.（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．2.(2021·全国课时已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_____．3.(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是()A． B． C． D．4.（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.5.（2022重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____.6.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.①若，则的最大值为____________________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.第7讲导数中的5种同构函数问题【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．图1图2图3图4图5图6图7图8考点二：常见同构方法（1）（2）（3）（4）【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题【例1】（2022·河南·模拟预测（理））不等式的解集是（

）A． B．C． D．【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知，，则下列关系式不可能成立的是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）若x，，，则（

）A． B． C． D．【例5】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知、，，，则（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知，且满足，为自然对数的底数，则（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知，下列不等式，成立的一个是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（

）A． B． C． D．5.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（

）A． B．C． D．6.（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（

）A． B． C． D．题型二：利用同构求函数最值【例1】（2022·四川省通江中学高二期中（文））已知函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知函数，，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（

）．A．7 B．9 C．11 D．12【题型专练】1.（2022·四川绵阳·高二期末（理））已知函数，，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型三：利用同构解决函数的零点问题【例1】（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）．A． B．C． D．【例2】（2022·全国·高三专题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【题型专练】1.（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（）可化为同构方程，则________，________．2.（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．题型四：利用同构解决不等式恒成立问题【例1】（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知e是自然对数的底数.若，使，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·宁夏中卫·三模（理））不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4】（2022·陕西渭南·二模（文））设实数，对任意的，不等式恒成立，则λ的最小值为（

）A．e B． C． D．【例5】（2022·辽宁·高二期中）已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【例6】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．2.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．34.（2022·湖北·高二期末）若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．5.（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：利用同构证明不等式【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的单调区间；(2)已知，且，若，求证：.【例2】（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.（1）求的单调区间与极值.（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【例3】（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．【例4】（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.(1)求函数的极值；(2)当x>0时，证明：【题型专练】1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.3.（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设，若，则x的取值范围是___________.题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（

）A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例4】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（

）．A． B．C．或 D．或【例5】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A． B．C． D．【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4.已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（

）A． B．C． D．5.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为___________.【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（

）A． B．C． D．3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4.若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________5.若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（

）A． B．C． D．题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（

）A．（－∞，0）B．（－∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【例2】已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．【例3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3.（多选）已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【例2】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【题型专练】1.已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2.已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3.奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为A． B．C． D．题型六：构造型函数解不等式【例1】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是A． B． C． D．【例2】设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数满足：，，且．若