向量组的线性相关性

线性相关性一、填空题例设向■:组气=(1,2,1)T,a2=(2,3,1)T,气=(x,3,1)t，气=(2,y,3)「,的秩为2,则x=旦 y= 5.例已知向量组a=(1,2,-1》,a=(2,0,tKa=(0,—4,5>线性相关，则t=3.1 2 3 例若向量组a广(1,2,3)t,a2=(2,3,4)t,a3=(3,4,t)t线性相关，则t=三,、选择题例设矩阵A、B、C均为n阶方阵，若AB=C，且B可逆，以下正确的是【B】.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价；矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价；(C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向■:组等价；(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.(0)(1)(0)(1)(-1)例a=0,a=1,a=-1,a=11IC1J21C)231CJ34<关的为(C)其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相(a)a,a,a；(b)a,a,a；(C)a,a,a；(D)a,a,a.TOC\o"1-5"\h\z123 124 134 234例设"，a,…,a均为n维列向量，下列选项不正确的是【B】.1 2 s(A)对于任意一组不全为0的数k,k，…,k都有ka,+ka+…+ka更0,则a,a，…,a线1 2s 11 22 ss 1 2 s性无关;(B)若a,a,…,a线性相关，则对于任意一组不全为0数k,k，…,k都有12 s 12 ska，+ka+•…+ka=0；1122 ssa,a,…,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；12 s若a1?a2,…y线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.例设a「a2,…,a均为n维列向量，A是mxn矩阵，下列选项正确的是【A】.若a,a,…,a线性相关，则Aa,Aa，…,Aa线性相关；12 s 1 2 s若a,a，…,a线性相关，则Aa,Aa，…,Aa线性无关；12 s 1 2 s

若a,a，…,a线性无关，则Aa,Aa，…,Aa线性相关;12 5 1 2 S若a,a,…,a线性无关，则Aa,Aa，…,Aa线性无关.12 5 1 2 5例设A是4阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中【(C)】.必有一列元素全为0；必有两列元素成比例；必有一列向量是其余列向量的线性组合；任意列向量是其余列向量的线性组合.r-rr—2)rr-rr—2)ra)1,a=1,a=22345j10Vu72.设有向量组A:a=1,及向量P=r1、

b1-1J,问a,b为何值时向量P不能由a「a2,a3线性表示；向量P能由a「a2,a3线性表示，且表示式惟一；三、解答题.TOC\o"1-5"\h\z例(本题满分6分)设*，\为方阵A的两个不同特征值，a,a为a的相应于人的两个线性无1 2 1 2 1关的特征向量，a,a为A的相应于人的两个线性无关的特征向量，证明：向量组a,a,a,a线性无3 4 2 1 2 3 4关。证明：设ka+ka+ka+ka=0,(a)11 22 33 44因为七a2为A的相应于于1的两个线性无关的特征向量，气,a4为A的相应于气的两个线性无关的特征向量，有Aa=Xa,Aa=Xa,Aa=Xa,Aa=Xa,1 11 2 12 3 33 4 24(a)式左右两端同时左乘A可得，Xka+Xka+Xka+Xka=0(b)(a)xX—(b)可得，111 122 233 244 1(X—X)ka+(X—X)ka=01 2 33 1 2 44又因为X1，X2为方阵A的两个不同特征值，且a3,a4线性无关，可得k3=k4=0同理(a)xl—(b)可得k=k=0因此向量组％,气,a3,a4线性无关。例1)(6分)设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值—1,1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，证明ai,a2,a3线性无关；证：令匕a「k户2+k?3=0，(1)贝I]kAa+kAa+kAa=01 1 2 2 3 3于是有-k也+k2a2+k3(a2+a3)=0(2)(1)-(2)得水孔—k3a2=0,由ai,气线性无关得k=k3=0,代入(1)得ka=0,由a丰0得k=0,故ai,a2,a3线性无关.例(8分)气的2,…,a‘是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，p满足AP^0，证明：ai+P,a2+p，…a,+p,p线性无关.2.(6分)设n阶方阵A满足：尸(A)=尸.证明：A可以表示成尸个秩为1的矩阵之和.解：(1)令ki(ai+P)+k2(a2+P)+…+k(a+P)+kP=0整理得ka+ka+…+ka+(k+k+…+k)P=0,ii22 ss i s上式两端左乘A得kAa+kAa+•••+kAa+(k+k+,•,+k)AP=0,ii22 ss i s则有(k+ki+…+k)Ap=0，由AP壬0得(k+k、+…+k)=0，于是有k%+k2a2+…+ka=0，由a],a2,…,a线性无关得%=k2=••.=k=0，从而有k=0，故ai+P,a2+P,-a+P,P线性无关.例若向量&,&,&,&是n元非齐次线性方程组Ax=b的解向量，那么它们的线性组合12 3 4k&+"+"+"也是该方程组解向量的充分必要条件是k+k+k+k=1;11 22 33 44 1 2 3 4

2设a是〃阶矩阵，七和七是a的两个不同的特征值，n1,n2是a的属于特征值七的两个线性无关的特征向量门是a的属于特征值人的特征向量证明：nmm线性无关.3 2 1 2 3气,气,…,气线性无关.例1设气,a2，…,a为n维空间Rn中的正交向量组，证明：气,气,…,气线性无关.令ka+ka+…+ka=0(k,k,…,keR)，(2分)用at(i=1,2,•••,/•)左乘上式两端得，ikata+kata+•••+kata=0(k,k，…,keR)，J0,i”511,iJ0,i”511,i=j由气,气,…,ar为n维空间Rn中的正交向量组知，a：a=则有k=0(i=1,2,…，r).(5分)i因此％皿2,...,％线性无关.(6分)TOC\o"1-5"\h\z例设n是非齐次线性方程组Ax=力的一个解,&,&,&是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解0 1 2 3系，证明：⑴n,&,&,&线性无关；0 12 3(2)n,&+n,&+n,&+n线性无关；01 02 03 0证：(1)令kn+k&+k&+k&=0,0 11 22 33用A左乘上式两端得,kAn0+kA§+k2A&2+k^=0.则有kAn0=0,由An0=b主0知,k=0.。于是有气§+k2&2+k$3=0,由&,&,&线性无关知，k=k=k=0.TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3因此n,&,&,&线性无关.0 12 3(2)令kn+k(&+n)+k(&+n),+k(&+n)=0,0 11 0 22 0 33 0整理得(k+k+k+k)n+k