统计学课件人大

第九章列联分析第九章列联分析第一节 列联表第二节

c2

分布与

c2

检验第三节 列联表中的相关测量学习目标解释列联表进行c2

检验一致性检验独立性检验测度列联表中的相关性数据的类型与列联分析数据定量数据(数值型数据)定性数据(品质数据)离散数据连续数据列联分析品质数据品质随机变量的结果表现为类别例如：性别(男,女)各类别用符号或数字代码来测度使用定类或定序尺度你吸烟吗?1.是；2.否你赞成还是反对这一改革方案?1.赞成；2.反对对品质数据的描述和分析通常使用列联表可使用c2检验第一节列联表一.

列联表的构造二.

列联表的分布列联表的构造列联表（概念要点）由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表行变量的类别用r

表示，ri

表示第i

个类别列变量的类别用c

表示，cj

表示第j个类别每种组合的观察频数用fij

表示表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表一个r行c

列的列联表称为r

·

c

列联表列联表的结构（2

·

2

列联表）列(cj)行(ri)列(cj

)合计j=1j=1i=1f11f12f11+

f12i=2f21f22f21+

f22合计f11+

f21f12+

f22n一个2

·

2

列联表列联表的结构列(cj)行(ri)列(cj)合计j=1j=

2…i=1f11f12…r1i=

2f21f22…r2:::::合计c1c2…n（r

·

c

列联表的一般表示）r

行

c

列的列联表fij

表示第i

行第j

列的观察频数列联表（一个实际例子）一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表列联表的分布观察值的分布（概念要点）边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人条件分布与条件频数变量

X

条件下变量

Y

的分布，或在变量

Y

条件下变量

X

的分布每个具体的观察值称为条件频数观察值的分布（图示）列边缘分布条件频数行边缘分布一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420百分比分布（概念要点）条件频数反映了数据的分布，但不适合进行对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行合计数（fij

/ri）列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数（

fij

/cj

）总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数（

fij

/

n

）百分比分布（图示）一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反对该方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合计23.8%28.6%21.4%26.2%100%总百分比列百分比行百分比期望频数的分布（概念要点）假定行变量和列变量是独立的一个实际频数fij

的期望频数eij，是总频数的个数n

乘以该实际频数fij

落入第i

行和第j列的概率，即nr

cr

ci

ji

iij=

n

n

e

=

n期望频数的分布（算例）11

n

n

n

420e

=

n

r1

c1

=

r1c1

=

279

·100

=

66.43»

66

n

n

由于观察频数的总数为n

，所以f11

的期望频数e11

应为

r1

c1

例如，第1行和第1列的实际频数为f11

,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数n，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数n

，即：c1/n

。根据概率的乘法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为期望频数的分布（算例）根据上述公式计算的前例的期望频数一分公司二分公司三分公司四分公司赞成该方案实际频数68755779期望频数66806073反对该方案实际频数32753331期望频数34403037第二节

c2

分布与

c2

检验一.

c2

统计量二.

c2

检验c2

统计量c2

统计量（要点）用于检验列联表中变量之间是否存在显著性差异，或者用于检验变量之间是否独立计算公式为—列联表中第i行第j列类别的期望频数eijeijij

ij其自由度为(r-1)(c

-1)式中：fij

—

列联表中第i行第j列类别的实际频数(

f

-

e

)2r c=

i=1

j

=1c

2c2

统计量（算例）实际频数(fij)期望频数(eij)fij

-

eij(fij

-eij)2(fij-

eij)2f6866240.06067580-5250.31255760-390.150079736360.49323234-240.117645405250.62503330390.30003137-6360.97302=

3.0319合计：3.0319e(f

-

e)2c

=

c2

检验品质数据的假设检验品质数据比例检验独立性检验Z

检验Z

检验c2

检验c2

检验一个总体 两个以上总体两个总体一致性检验（要点）检验列联表中目标变量之间是否存在显著性差异检验的步骤为提出假设H0：P1

=P2

=…=Pj

(目标变量的各个比例一致)H1：P1

,

P2

,

…

,

Pj

不全相等

(各个比例不一致)计算检验的统计量=

r

ceij(

f

-

e

)2ij

ijc

2i=1

j

=1进行决策根据显著性水平a和自由度(r-1)(c-1)查出临界值ca2若c2‡ca2，拒绝H0；若c2<ca2，接受H0一致性检验H0：P1

=

P2

=

P2

=P4H1：P1

,P2

,P3

,P4不全相等(赞成比例一致)(赞成比例不一致)2.

计算检验的统计量=

3.0319=

r

ci=1

j

=1ij

ijeij(

f

-

e

)2c

2（实例）【例】续前例，检验职工的态度是否与所在单位有关？(a

=0.1)1.

提出假设3.根据显著性水平a＝0.1和自由度(2-1)(4-1)=3查出相应的临界值ca2=6.251。由于c2=3.0319<ca2=6.251，接受H0独立性检验（要点）检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤为提出假设H0：行变量与列变量独立H1：行变量与列变量不独立计算检验的统计量=

r

ceiji=1

j

=1(

f

-

e

)2ij

ijc

2进行决策根据显著性水平a和自由度(r-1)(c-1)查出临界值ca2若c2‡ca2，拒绝H0；若c2<ca2，接受H0独立性检验（实例）【例】一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。检验各地区与原料之间是否存在依赖关系（a=0.05)地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500独立性检验（实例）提出假设H0：地区与原料等级之间独立H1：地区与原料等级之间不独立计算检验的统计量=

19.82=

r

ci=1

j

=1eij(

f

-

e

)2ij

ijc

23.

根据显著性水平a＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相应的临界值c

a

2=9.488

。由于

c2=19.82>ca2＝9.448，拒绝H0第三节列联表中的相关测量一.

j

相关系数二. 列联相关系数三.

V

相关系数列联表中的相关测量（一般问题）品质相关对品质数据(定类和定序数据)之间相关程度的测度列联表变量的相关属于品质相关列联表相关测量的指标主要有j

相关系数列联相关系数V

相关系数j

相关系数（要点））n为实际频数的总个数，即样本容量rijenc

（fij

-

eiji=1j=122式中：c

=

测度2·2列联表中数据相关程度的一个量对于2·2

列联表，j

系数的值在0～1之间j

相关系数计算公式为c

2j

=j

相关系数（原理分析）一个简化的2·2

列联表因素Y因素X合计x1x2y1aba

+

by2cdc

+

d合计a

+

cb

+

dnj

相关系数（原理分析）1.

列联表中每个单元格的期望频数分别为en

neen

ne22122111=

(a

+

b)(b

+

d

)

=

(b

+

d

)(c

+

d

)=

(a

+

b)(a

+

c)

=

(a

+

c)(c

+

d

)2.

将各期望频数代入c2

的计算公式得)2

)2e22e21e11(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b

+

d

)e12n(ad

-

bc)2=(a

-

e

)2

(b

-

e

)2

(c

-

e

(d

-

e=

11

+

12

+

21

+

22

c

2j

相关系数（原理分析）3.

将c2入j

相关系数的计算公式得n(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b

+

d

)ad

-

bc=c

2j

=ad

等于bc

，j

=0，表明变量X

与Y

之间独立若b=0

，c=0，或a=0

，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时|j|=1,表明变量X与Y

之间完全相关4.列联表中变量的位置可以互换，j的符号没有实际意义，故取绝对值即可列联相关系数（要点）C

=c

2

+

n用于测度大于2·2列联表中数据的相关程度计算公式为c

2C

的取值范围是0£C<1C

=0表明列联表中的两个变量独立C

的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较V

相关系数（要点）1.

计算公式为V

=c

2n

min

[(r

-1),

(c

-1)]式中：min[(r

-1),(c

-1)]表示取(r

-1),(c

-1)中较小的一个V

的取值范围是0£V£1V

=0表明列联表中的两个变量独立V=1表明列联表中的两个变量完全相关不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较