建构主义观点下的圆锥曲线教学VIP

精品文档-下载后可编辑建构主义观点下的圆锥曲线教学摘要本文从传统的圆锥曲线教学方法出发，利用数形结合，采用几何画板（GSP）这一工具，对圆锥曲线的教学进行了新的设计，提出了以离心率为核心的圆锥曲线的教学设计。既解决了三种圆锥曲线相互关系的问题，又充分发挥了计算机的优势，使教学更科学、形象、生动。提高了学生的发现式学习能力；同时还对圆锥曲线的进一步学习给出了一些建议。

关键词圆锥曲线几何画板数形结合

圆锥曲线是中学数学中比较重要内容，在生产实践中也有广泛的应用，学好圆锥曲线是十分必要的。传统教学研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线都分别按定义、方程、几何性质等方面来讨论；另外，传统教学中教师的教学手段单一，虽能使学生容易接受，但知识繁杂，重复过多，更重要的是它不利于学生知识的建构；同时削弱了几种圆锥曲线之间的联系。采用计算机辅助教学，以建构主义理论为指导，用GSP教件平台可使这一现象得以解决。

1理论基础

建构主义理论指出学生学习知识不是被动的接受过程，而是学生根据已有知识在一定的情境中主动建构的过程。依据建构主义理论，学生获得知识的方法不是教师灌输的，而是通过自身发现的。教师在教学中创设情境，对学生的知识建构起帮助、促进和指导的作用。当然这当中情境是必不可少的外部条件，没有教学情境，学生的意义建构就无从谈起，这就使我们想到在圆锥曲线的教学中应创设一种教学情境，使学生在这一情况中能顺利地、自觉地对知识进行有意义的建构，进行发现式学习，发展能力。

2教学方案

圆锥曲线所涉及的内容庞杂，新定义比较多，且对于初学者难于理解。在这里我提出一种关于圆锥曲线教学的方案，采用GSP为辅助工具，利用数形结合思想，有利于学生对知识的建构。具体方案如下：

2.1椭圆的构建

由于圆是椭圆的一种特例，由课程的衔接上考虑，先讲椭圆。按照新教材的顺序，先讲椭圆的定义，在给出定义的同时，给出椭圆的焦点、焦距的定义。由椭圆的定义导出椭圆的方程（其过程中要建立平面直角坐标系，取两焦点的中点为坐标原点，焦点所在的直线为轴）。关于椭圆的定义，我们可以用几何画板根据定义作图（如图1，其中F、G分别是焦点）：

这种做椭圆的方法可由教师演示，也可让学生进行探究学习（教师指导）。

2.2双曲线的构建

在演示这种做法后，在图1中，将点F远离点G使两圆相离，我们会看到图2：

通过观察，学生们会惊讶的发现|LF-LG|的值始终为定值，这种图形是到两个定点的距离的差的绝对值等于定值的点的轨迹，这两个定点就是双曲线的焦点。由椭圆求标准方程的方法，来求双曲线的标准方程（同样建立平面直角坐标系）。

2.3离心率第二定义的引出

了解了椭圆与双曲线的方程与图像之后，再来了解他们的一些几何性质（其中包括的取值范围，对称性，顶点，离心率，准线方程，还有双曲线特有的渐近线），对于取值范围、对称性、顶点都可以由图像直接观察到，也可以用代数的方法，根据标准方程得到以上的结论。离心率是焦距与长轴长（实轴长）的比=。这时演示图3：

用计算器计算图中两个比值，在几何画板中拖动A，观察两个比值，学生会发现两个比值始终相等，并且H点所在的位置不变。以MC中点为原点，MC所在直线为轴建立平面直角坐标系（可以求出OH所在的直线方程为=），离心率又可定义为到焦点的距离与到定直线的距离的比（第二定义）。

2.4离心率与圆锥曲线

根据离心率的第二定义，我们做出一个图形（图4所示），拖动E在射线CD上移动，改变e的大小，指导学生发现图像变化与数量间的关系，学生通过观察图形发现：

当0＜e＜1时，图形是椭圆（如图4）：

当e＞1时，图形是双曲线，图略。

当e=1时，图形是为异于椭圆与双曲线的另一种曲线，这种曲线就是抛物线，图略。

有了前面椭圆、双曲线的学习，很容易总结出抛物线的定义、标准方程及它的一些简单的几何性质。到此三种基本的圆锥曲线都由离心率统一到一个图像上了。在教学过程中，一般学生对离心率的理解仅限于定义，并没有真正理解离心率在圆锥曲线中的作用；由于图四的离心率可以随意改动，可以进行动态的演示，观察e的连续变化图像的变化，进行数据的比较，使原本难以理解的概念，变得容易理解。

3总结

在传统教学中，做若干个图像，进行比较，费时且不容易实现。由于几何画板的易操作性，此种教学方案学生可以在教师的指导下自己操作几何画板，在“做中学”，学生很容易对这三种曲线有一个统一的认识，既锻炼了学生的动手能力也符合认知的发展规律。

圆锥曲线的离心率这条主线贯穿始终避免了这部分知识凌乱、重复过多的弊端。这种设计方案可以在学生学完圆锥曲线之后，给予总体的概括。也可以在学有余力的学生中尝试这种探究式的教学方案，利