高等数学33函数单调性和极值课件

高等数学主讲人

宋从芝河北工业职业技术学院高等数学主讲人宋从芝河北工业职业技术学院1

本讲概要函数单调性函数极值的定义函数极值的判定和求法3.3函数的单调性和极值本讲概要3.3函数的单调性和极值2

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，定理一.函数的单调性

且

（或

），则f(x)在[a,b]上是单调增加（或单调减少）。设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b3例1判定函数的单调性。函数f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内连续，

f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)内都是单调增加的。由函数的单调性的判定定理，得解例1判定函数的4例2

判定函数的单调性。函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则f(x)在(-∞,0)内单调减少。解

在(-∞,0)，则f(x)在(0,+∞)内单调增加。

在(0,+∞)，例2判定函数的单调性。函数f5

(3)以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间,列表判断各个区间内f(x)的符号，从而判定出f(x)的单调性.求函数的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f(x)=0和f(x)不存在的点；(3)以这些点为分界点，将定义域分为若干个求函数的单调性6例3

求函数

的单调区间。定义域为(-∞,+∞)解例3求函数的单调区间。7练习求函数

的单调区间。定义域为(-∞,+∞)解列表练习求函数的单调区间。定义8例4

判定函数的单调性。

函数的定义域为(-∞,+∞)解内单调增加。函数在(-∞,+∞)注意在(a,b)内的有限个点处为零，而在

如果其余点处均为正，则f(x)在(a,b)内仍是单调增加的。例4判定函数的单调性。函数的定义域为9如果对于x0近旁的任意x(x≠x0)，

设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的二.函数极值的定义f(x0)是函数f(x)的一个极大值，定义

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，一个点。如果对于x0近旁的任意x(x≠x0)，f(x)<f(x0)

均成立，则点x0叫做f(x)的一个极小点。f(x)>f(x0)均成立，做f(x)的一个极大点。点x0叫如果对于x0近旁的任意x(x≠x0)，设函数10函数的极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。函数的极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的极大点与极11下图中找到函数f(x)在[a,b]的极值、最值。下图中找到函数f(x)在[a,b]的极值、最值。12

①极值是局部性的概念，最值是整体性的概念。极值不唯一，最值唯一；

③函数极值一定在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；说明：②函数的极大值不一定比极小值大；

而函数的最大值和最小值可能出现在区间的内部，也可能出现在区间的端点处。①极值是局部性的概念，最值是整体性的概念。13

设函数

f(x)在点x0可导，且在x0取得极三.函数极值的判定和求法使导数为零的点（即方程定义定理值，则函数

f(x)在点x0的导数

根）称为函数

f(x)的驻点。的实设函数f(x)在点x0可导，且在x0取得极三14定理2（极值判定定理一）

②当x<x0时，

，而x>x0时，

，①当x<x0时，

，而x>x0时，

，③在x0两侧，

不变号，则f(x0)不是函数的可导，且如果

设函数f(x)在点x0近旁

则f(x0)是函数的极大值；

则f(x0)是函数的极小值；

极值。定理2（极值判定定理一）15可能的极值点x0

：思考:驻点不可导点可能的极值点x0：思考:驻点不可导点16判定函数的单调性和极值的步骤：

①求定义域；②求出一阶导，找到可能的极值点；③列表讨论:用极值的判定定理一,判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化：如果由增变减，则是极大值；如果由减变增，则是极小值。如果两侧单调性不变，则不是极值。判定函数的单调性和极值的步骤：①求定义域；②17例5

求函数

的极值。定义域为(-∞,+∞)解例5求函数的极值。定义18利用极值判定定理一通过列表讨论如下：极大值极小值1－3则函数的极大值，极小值为利用极值判定定理一通过列表讨论如下：极大值极小值1－3则函数19例6

求函数

的极值。定义域为(-∞,+∞)解例6求函数的极值。定义域为(20利用极值判定定理一通过列表讨论如下：则极小值，无极值极小值0无