不等式证明的常用基本方法(自己整理)

不等式证明的常用基本2会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.[自主梳理] ,当且仅当a＝b＝c时等号成立.立.3.证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法.(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法.①反证法的定义等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛②反证法的特点②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键.题型一用比差法与比商法证明不等式1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(A.s≥tB.s>tC.s≤tD.s<tA．a＞bB．a＜bC．a≤bD．a≥b2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－3.设a,b∈R,给出下列不等式:①lg(1+a2)>0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab>2b2;④,其中所有恒成立的不等式序号是②.?3②【解析】①a=0时不成立;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.题型二用综合法与分析法证明不等式1x2－2xy＋y2?x－y?2?x－y?22xx2－2xy＋y2?x－y?2?x－y?22＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2b2＋c2c2＋a2而ab＋bc＋ca≤──+──+──=a2＋b2＋c2(当且仅当所以原不等式成立.证明：法一因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4.所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.=2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.a=2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.a22b22思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.题型三放缩法证明不等式--的大小关系是(A)A.M>NB.M<NC.M＝ND.不能确定1证明当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，4 ＝1＋|a|＋|b|＋1＋|a|＋|b|≤1＋|a|＋1＋|b|.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换①变换分式的分子和分母，如-上面不等式中k∈N*，k>1；2<kk2>kk③真分数性质“若0<a<b，m>0，则b<b＋m”．(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)＝-≤…＋题型四用反证法证明不等式9.设a>0,b>0,且a+b=.证明:(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.10.若a>0，b>0，且a＋b＝ab.3＋b31.证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法．2.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤5断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．(缩小)，如k2<k2>k1.设a、b是正实数，给出以下不等式：①ab>a＋b；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－23b2；④ab＋ab>2，其中恒成立的序号为(D)A.①③B.①④C.②③D.②④22.设M＝210＋210＋1＋210＋2＋…＋211－1，则(B)A．M＝1B．M<1C．M>1D．M与1大小关系不定【解析】∵210＋1>210，210＋2>210，…，211－1>210，210210＋1210＋2211－1210210210∴M＝-210210＋1210＋2211－121021021099【解析】由已知22的最小值为(C)A．7B．8C．9D．10633=3b>0，①【解析】因为a>0=3b>0，①5.下列结论正确的是(B)116.若P＝1＋x＋1＋y＋1＋z(x>0，y>0，z>0)，则P与3的大小关系为____P<3____.【解析】∵1＋x>0，1＋y>0，1＋z>0，∴--z<3.即P<3.【答案】P<37.某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，(4)一次性降价(a＋b)%.其中a>0，b>0，a≠b，上述四个方案中，降价幅度最小的是__解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次12，x＝1－(a＋b)%<1－(a＋b)%＋a%·b%＝x＝x，7所以当x＝y＝-时，z有最小值-.2＋22＋…＋n2<2(n∈R*)．证明2＋22＋…＋n2<1＋(1－2)＋(2－3)＋…＋(n－1－n)＝1＋(1－n)＝2－n<2.三个不等式相加即得a＋b＋c≥ab＋bc＋ac≥a＋b＋b＋c＋a＋c当且仅当a＝b＝c时等号11.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集13当且仅当a＝2b＝3c＝-时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.3解：∵a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，∴(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥(1＋1＋1)2，∴2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≥5.当且仅当2a＋1＝2b＋1＝2c＋1，答案：方案(3)83(3)由(1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明.2121(a＋b)111