导热微分方程式及单值性条件课件

HeatTransfer

传热学BuildingEnergyEfficiencyistheWaveoftheFuture!

建筑工程系HeatTransfer

传热学BuildingEne§1

导热理论基础

建筑环境与设备工程专业主干课程之一

!Chapter1Heatconductiontheory

§1导热理论基础建筑环境与设备工程专业主干课程之一!CHeatTransfer傅里叶定律：

建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。

理论基础：傅里叶定律+能量守恒方程

定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。（一）导热微分方程的推导一、导热微分方程

§1-2导热微分方程式及单值性条件HeatTransfer傅里叶定律：建立导热微分方程，可3HeatTransfer假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质

(2)热导率、比热容和密度均为已知

(3)物体内具有均匀分布内热源；强度qv

[W/m3];qv

表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量

导热体内取一微元体，根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量加上微元体内热源生成的热量应等于微元体内能的增加量

一、导热微分方程

HeatTransfer假设：(1)所研究的物体是各向同4HeatTransfer1、导入与导出微元体的净热量

d时间内、沿x轴方向、经x表面导入的热量：d时间内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：一、导热微分方程

HeatTransfer1、导入与导出微元体的净热量5HeatTransferd时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量d时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量d时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量d时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量一、导热微分方程

HeatTransferd时间内、沿x轴方向导入与6HeatTransfer[导入与导出净热量]:傅里叶定律：一、导热微分方程

HeatTransfer[导入与导出净热量]:傅里叶定律：7HeatTransfer2、d时间微元体内热源的发热量3、微元体在d时间内能的增加量

一、导热微分方程

HeatTransfer2、d时间微元体内热源的发热量8HeatTransfer将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。非稳态项源项扩散项一、导热微分方程

HeatTransfer将以上各式代入热平衡关系式，并整理9HeatTransfer1）对上式化简：

①导热系数为常数

式中，，称为热扩散率。②导热系数为常数、无内热源

一、导热微分方程

HeatTransfer1）对上式化简：①导热系数为常数10HeatTransfer③导热系数为常数、稳态

④导热系数为常数、稳态、无内热源

一、导热微分方程

HeatTransfer③导热系数为常数、稳态④导11HeatTransfer综上说明：

（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。一、导热微分方程

HeatTransfer综上说明：一、导热微分方程12HeatTransfer（1）热扩散率的物理意义

由热扩散率的定义可知：

1）分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。

2）分母是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。其数值越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。a反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（

c）之间的关系.4、有关说明一、导热微分方程

HeatTransfer（1）热扩散率的物理意义4、有关13HeatTransfer由此可见ɑ物理意义：①ɑ值大，即值大或

c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。②ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。

一、导热微分方程

HeatTransfer由此可见ɑ物理意义：一、导热微14HeatTransfer（2）导热微分方程的适用范围

1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3）若属极低温度（-273℃）时的导热不适用。一、导热微分方程

HeatTransfer（2）导热微分方程的适用范围一15HeatTransfer二、导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程+单值性条件HeatTransfer二、导热过程的单值性条件导热微分方16HeatTransfer1、几何条件：说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等2、物理条件：说明导热体的物理特征如：物性参数、c和的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；3、初始条件：又称时间条件，反映导热系统的初始状态

４、边界条件:反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。

二、导热过程的单值性条件HeatTransfer1、几何条件：说明导热体的几何形状17HeatTransfer边界条件常见的有四类

（１）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值。

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值0x1x

４、边界条件HeatTransfer边界条件常见的有四类（１）第一类18HeatTransfer（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值

0x1x

４、边界条件HeatTransfer（3）第三类边界条件:该条件是第一19HeatTransfer（4）第四类边界条件:接触面边界条件４、边界条件导热微分方程＋单值性条件＋求解方法温度场