网络中传染病的传播阈值

网络中传染病传播的阈值ClaudioCastellano和RomualdoPastor-SatorrasIstitutodeiSistemiComplessi(CNR-ISC),UOSSapienzaandDip.diFisica,“Sapienza"Universita'diRoma,P.leA.Moro2,I-00185Roma,Italy2DepartamentdeFTsicaiEnginyeriaNuclear,UniversitatPolite'cnicadeCatalunya,CampusNordB4,

08034Barcelona,Spain(接收时间：2010.6.25;出版时间:2010.11.17)我们研究淬火网络里传染模型的阈值，且此网络的度分布由一个冥律给定。对SIS模型来说，活跃阈值人在任何与系统规模相偏离的最大度为k 的网络上的大规模限制中，会消失，这与异质平均场（HMF）理论相背离』值的消失与网络的无标度特性无关，但是茎代替系统中最大的枢纽，对任何传播速率人〉1/U’k皿都很积极且扮演了一个自给资源的角色，此角色可以将传染病传播给系统的剩余部分。SIR模型反而显崇出与HMF理论以及标度丰富网络上的一个有限阈值的一致性。我们猜想：在淬火标度丰富网络上，一般的传染模型的阈值正在消失或是有限的，依靠一个稳态的存在或缺乏。一个网络的异质模式会对动力学过程在其上进行运转的行为产生令人瞩目的影响［1］。尤其是，当联系数k的分布（一个元素或顶点的度）呈现长长的尾巴，由一个具有不对称形式P（k）~k/的冥律度表示时［2］。由于它的实际小世界蕴涵式而吸引大量兴趣的一个例子就是一一传染病在联系网络上传播的建模［3］。最简单的模型当属SIS模型［4］,此模型中，每个顶点（个体）可以是两个状态的其中之一，要么易受感染，要么已被感染。通过接触已被感染的个体（具有一个与感染接触数目乘以一个指定传播速率人成比例的速率）而使易受感染体成为已被感染体。另一方面，感染个体可再次成为健康的，以一个可以任意规定成与单元相等的速率的情况下。此模型允许这样的个体去接触传染源，并且在无限网络规模限制下，再次导致一个持续的被感染稳态，在力值大于流行阈值人值的情况下。另一方面，在SIR模型中［4］，被感染个体一旦恢复（或者死亡），就不能再进一步地改变它们的状态。没有哪个稳态现在是被允许的，但是，一个阈值依然存在，若超过了这个阈值，被感染个体的总数，以一个非常小的传染种子开始，到达网络的一个有限的部分。以上的和其他模型的分析，通过一个改进的平均场理论为我们展示出，考虑到网络基质的异质性［5,6］而导致深远的结论：拓扑波动，由于靠度分布「k2：的二阶矩而测得，在许多动力学类型中具有意义深远的影响_ _ . 4 ，一….一，八. 、……一一. /I/ \ .［1,6］。因此，例如，在SIS模型中，在平均场标准下，阈值的取法为：人=:.k/k2；。对于一个具有冥律形式的长尾度分布，二阶矩会偏离（y<3），且包含热力学限制中消失的流行阈值的明显的结果。这些结论已经导致了广泛的信仰，即y<3的无标度网络间的区别，这些网络的拓扑学具有极高的相关性，以及y>3的标度丰富网络，这些网络的动力学过程展示了一个本质上均匀的平均场行为。这篇建立在一些预先报导过的结论上的文章中，我们呈现了这样的证明，即这种信仰对在淬火网络（即邻接矩阵被及时修复的网络）上的SIS模型来说是不正确的，以及联系模式的无标度性并未对流行阈值产生至关重要的作用。我们调查了这个结论的物理起源，它的对一般网络结构的正确性和它的重要性。另一方面，我们说明了对SIR模型来说，其图片是不一样的，一个零阈值只发生在无标度淬火网络中。当异质平均场（HMF）理论在退火网络上是准确的（即临界矩阵只有在平均下才是确定的网络），对越过在淬火网络（QN）上SIS过程的HMF理论的结果已在不同的文中出现过，且带着各种各样的精确水平。在2003年，Wang等［7］已经讨论了在一个任意未受指导的曲线图上，流行阈值由邻接矩阵的最大本征值A'设定，即人=A-1

c N

参见［8,9］。方程(1)的关联会变得明显，当由Chung等［10］(他计算出了对一个具有度根据冥律分布的有限曲线图的种类邻接矩阵的最大本征值)的结论补充时，得到(2)cNkc(《kc>In2(N))(2)k2 —〉TkcIn(N))这里的N是网络规模，k是网络中断或大多数连接节点的度(在许多网络实现上的平均［11］)，j是规则常量1。中断k是网络规模的增长函数(对不相关无标度网络)，如此取值:k~N1/2(y<3)和k~Ni/(YT；(y>3)［12］。y>3时，片刻的比率是有限的，且最大本征值由k控制。明显地；这个结论还是正确的，当5/2<y<3，在:；k2./：k；~k3-Y<<VT此范围丙时。只有在2<y<5/2时，最大本征值由度分布的片刻设定。联系方程⑴和(2)，对在一个冥律分布的网络中的SIS模型，足够大的规模下，阈值行为就是>5/21/2<>5/21/2<y<5/2参见［13］。因为k以一个N函数在增长(对任何y值)，因此方程(3)的结果是显而易见的：在任何有冥律分布的连通性的不相关淬火随机网络中，对于SIS，流行阈值会随着网络规模的趋向无限大而渐趋零。这与度分布的无标度性无关：只要中断k偏离，这个结论永远都正确。引人注目地是，对Erdos-Renyi曲线图(尽管以对数方式放慢)来说，一个近似于方程⑵的公式是存在的［14］。不同的近似值［13,15,16］也指出了，热力学限制中，对X>0的任何值，系统是活跃的。然而，这些结论在统计物理联盟里大部分被忽视了。由方程(3)提出的一个基本问题，其涉及到了这样一个事实：作为任何临界点，流行阈值只有在热力学限制中才会被明确定义。一个有限系统中，动力学总是注定是健康的吸收态，即使由于随机波动远远大于阈值。对一个规模为N的有限网络，阈值必须能分离管理体制X<X，此种情况下，传染病从管理体制X<X以指数方式迅速衰减［以致预期中的存活期具有规则t~In(N)］，如此存活期带着N以指数方式增长到一些幕，t~eN履(a>0)。为了验证这些结论的正确性，我们执行在淬火标度丰富网络 (y=4.5和最小度为k=3)上的SIS模型的数值模拟，建立利用不相关结构模型［17］。为了对比方程(3)这些时结果与预言，这必须被纳入考虑范围，即实际最大度k在每个网络实现中是一个随机变量，有平均值;k'：=:k"尤其是，当y>3时，k皿的勺平均值和标准偏差的取值范围皆在k~N1/(Y-i)仃8］,这暗示了k，对度序列的不筒实现，总是显示出大波动。因此，我们首先考虑这样的网络：k 为一个定值，且与对被选择的系统规模N，其平均值k从max c数值上估计是相等的。在图1中，我们让密度P只有在生存赛跑下才会被计算，对不同X值，作为一个N函数［19］。转变应该发生在一个定值X，P将变成一个常量(X>X)，或以指数方式衰减(X<X)和在转变中恰好作为一个冥律。一个完全不同的行为被观测到：对任何值X，曲线向上弯曲，表明系统在任何值X都是活跃的。这排除了对发散值N一个有限阈值的存在。方程(1)在任何图表上都适用SIS的同时，方程(2)被代替获得一个特定网络模型(对y<3存在内在关联或对y>3则此关联不存在［12］)。对一般拓扑学，这是很简单就能展示的［11］，即对于邻接矩阵的最大特征值，(「是一个下界。因此我们可以下结论：除非度分布从上级是完全有界的，否则对于任何图表上的SIS，阈值在热力学限制中都会消

失不见。这些结果到底一般到什么程度呢？Prakash等［9］最近证明了，不管他们特别的微观细节，方程（1）对于所有的传染过程都是有效的。为检查这个宣言，我们考虑SIR模型。在HFM水平，阈值取这样的值：人sir=或"k2：—优；］［20,21］，因此对于y>3的标度丰富网络是是有限的。从方程（3）中分析可得，另一方面，在大网络限制下它会近似零的小，根据参考［9］。我们已经检查出，这个可能性靠展示在y=4.5和不同N值的网络上的SIR模型的数值模拟，带着固定值k=■::k3在这种情况下，HMF估计阈值取值：人汹牝0.31，不受网络规模的限制，摆来IT于方程⑶的预言是对于不同网络规模人sir罚0.0567,0.0796,0.1118被考虑时。在图2中，我们报道了被感染个体的最后密度RC作为一个传播速率人的函数，从一个随机选择的单一感染节点开始。HMF理论的预言似乎在这种情况下比方程⑶的精确得多，违反了在参考［9］中的一般要求：阈值在大N限制下依然是有限的。是有限的。图1.（图1.（在线颜色）。对于长时间在QN上的SIS模型里，活性位点的密度作为一个系统规模为N（y=4.5和不同参量人值）的函数。请注意，对于X=0.03，直线是由于没有发生密度是小于1/N的事实。图2.在不同规模N的QN上的SIR模型中

的（在线颜色）。被感染个体的总数作为传。

播速率X的一个函数。网络有y=4.5。为了理解这两个模型的不同行为，我们注意不正确的对QN上SIS的HMF预言的起源。从数学的角度来看，HMF方法等同于，用由一个有平均邻接矩阵RJ的退火网络给定的邻接矩阵。.•代替QN［6,22］O在不相关情况下，这个矩阵减小到a..=kk/［N；k/1，它有一个唯一的』非零特征值AN=:k2**；。因此，退火网络近似法破坏了（^的特征值范围的详细结构，且只有y<5/2时才保留正确的最大特征值。这个基本的特征和不是（就像参考［16］里暗示的）不管动力学相关实质上是HMF近似法的不正确。一个更多的物理视野来自一个带着一个中心连接k的）不管动力学相关实质上是HMF近似法的不正确。一个更多的物理视野来自一个带着一个中心连接k度1的叶子的星图。这种情况下，邻接矩阵的最大特征值是A=：-k，这。同样的结果可以很容易地被发现，依靠写下速率等式，知于PmiX（P）=—Pmax+（1—P暗示了X=1诲的中心（叶子）是活跃的，利用稳态条件我们发现即Pmaxmax)PXk1max,max1和口P=—p+(1—p)pX。1 1 1maxX2X2k —1P皿x=(1+煤)X

maxX2k —1P1=(1+说Xmax因此，阈值条件在上面。方程（4）对于一个一般淬火随机图表的启示是强烈的：从所有系统的剩余部分独立出来，对于X>1厂，由度为k皿的节点和它的邻居组成的子图是

活性状态。这个活动的核心提供一个感染的自给资源，因为在全图里，枢纽的邻居们不是树叶，可以转移活动到它们的其他邻居上以及用这种方法传播传染病给至高点的一个有限小部分。这由图3确认，显示在生存赛跑中活跃节点的数目N，在一个Y=3.5的全网络和一个相同k的星图上［23］。对于k<1..；'人2，在全网络和星图上的N的值是可比的：次临界的和子图以度为k为中心的两个系统都是徘徊在消失前活动。对'于k>1「人2，星图会变得活跃的，n新与k成比例。在全网络中，渐近行为是n~kRm~N，表明活态是地方性的：枢纽传播活动给整个系统的一个有限部分。要到达彻底的流行状态，对于小人需要更大的系统，但是对于任何人>0，没有什么会定性地改变。图4.（在线颜色）。对在Y=4.5N=106,人=0.1和改变中的kmax的网络中的SIS模型活跃密度的衰减。图3.（图4.（在线颜色）。对在Y=4.5N=106,人=0.1和改变中的kmax的网络中的SIS模型活跃密度的衰减。了解SIS的行为为我们解开对于SIR事情变得不同的原因。在前者情况下，枢纽再多次被感染的可能性（允许稳态的存在），提高了他们对动力学的影响。SIR的情况，另一方面，高度顶点只能被感染一次，且这强烈限制了它们在动力学中扮演的角色。根据这个发现，很自然的就能推测出流行模型允许一个稳态，例如SIS，这将导致在任何无限QN中的一个无效阈值，当所有模型没有一个稳态时将符合HMF理论，带着一个在标度丰富拓扑学上的有限阈值。枢纽在动力学上的深刻影响制造了在SIS模型上更远的问题。当固定k到它的总体平均值时，导致符合在有限系统中一个非零阈值的存在的结果，就像方程（3）"暗示的，如果约束被放松了，k有大样本抽样波动导致的非平凡后果。在图4中，我们探索这种可变性的效果，靠比较由固定值人，N和不同值k的模拟。对于增长的k的活动密度的增长表明，阈值（或最大特征值和中断k之间的关系，方程（3），实际上寸以是精确的且可表达成实际最大度，人=1厂［18］；然而，相同Y和N的网络的不同实现间，k的大变更不会由于N偏篱和严重阻碍自由值k的模拟中阈值的决定而洗去。就如之前提到的，对于Y>3，k的标准偏差随着平均值1T~N1（Y-1）增加［18］,一直都有一个大样本来取样可变性。因戒；一个无限制的采样在确定值人无根据的均分，有不同阈值和有效时标，一些次临界的和超临界的网络，甚至使决定一个定义明确的稳态的存在成为不可能。这个事实在图4中已被例证，我们为由平均有一个自由变化的k的网络而得到的活动密度的对照画出此图。对于y<3，这种情况依靠网络生成的方式，111尤其是，度分布M=N1®的上界增长的方式［22］。若®=2（无关结构模型［17］）或者更大，则量•:k2"*»会随着N的增长而急剧消瘦[22]。若是3=1，因为是在标准结构模型中[24]，则•...k2./..「；»；(阈值也如此)会从实现到实现狂暴地改变，相对波动依照N2(37)(y-2)/(7-1)发散[22]'。注意，在5/2<7<3的中间区域，'厂的平均值大于jk2；「；k"，但是，因为后者偏离造成的波动，对于一些网络实现，实际阈值人远远小于由方程⑶预言的值。我们推断，除非y<3和3>2，否则没有平均流行阈值可被恰当地定义，来自有无限制的k的网络的一个数值观点。总之，我们已研究，对于在淬火标度丰富网络上传播1的传染模型，阈值由于它们规模的增大会如何的表现。对于SIS模型，阈值总是在热力学限制下消失，因为枢纽的原因。这证明没有关系，与HMF理论的预言不一致，带着度分布的二阶矩的分歧，此分歧是有限的。反而对于SIR模型，只有在无标度拓扑学(无论是淬火还是退火)与HMF理论相一致时，阈值才会消失。我们推测，这些不同类型的行为对于系统控制一个稳态是通用的。对于SIS来说一个消失阈值的结果在淬火网络上是正确的同时，然而从流行病学的角度它是有限的利益。以上的互动模式，真实的疾病的传播普遍会在短时间范围内改变[25]，因此被退火拓扑学更好地描述[6],为此，HMF理论明显地起作用了，且阈值对于y>3是有限的。反而从统计物理学观点来看，我们的结论打开了一条有前途的一一朝向一个对HMF理论的范围和极限更好的理解的道路，作为一个分析异质网络上动力学的推理工具。R.P.-S承认来自于西班牙MEC(FEDER)的财政支持，项目编号为FIS2007-66485-C02-01和FIS2010-21781-C02-01；ICREA学术界，由加泰罗尼亚政府提供资金；JuntadeAndaluc13，项目编号为P09-FQM4682。我们在此感谢A.Vespignani和M.A.Munoz。A.Barrat,M.Barthe'lemy,andA.Vespignani,DynamicalProcessesonComplexNetworks(CambridgeUniversityPress,Cambridge,England,2008).R.AlbertandA.-L.Baraba'si,Rev.Mod.Phys.74,47(2002).M.J.KeelingandK.T.D.Eames,J.R.Soc.Interface2,295(2005).R.M.AndersonandR.M.May,InfectiousDiseasesinHumans(OxfordUniversityPress,Oxford,1992).R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev.Lett.86,3200(2001).S.N.Dorogovtsev,A.V.Goltsev,andJ.F.F.Mendes,Rev.Mod.Phys.80,1275(2008).Y.Wangetal.,22ndInternationalSymposiumonReliableDistributedSystems(SRDS'03)(IEEE,2003),p.25.S.Go'mezetal.,Europhys.Lett.89,38009(2010).B.A.Prakashetal.,arXiv:1004.0060.F.Chung,L.Lu,andV.Vu,Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A.100,6313(2003).J.G.Restrepo,E.Ott,andB.R.Hunt,Phys.Rev.E76,056119(2007).M.Bogun~a',R.Pastor-Satorras,andA.Vespignani,Eur.Phys.J.B38,205(2004).A.Ganesh,L.Massoulie',