三元一次方程及其解法

.*三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程谢谢阅读2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组精品文档放心下载三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元谢谢阅读4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．感谢阅读例题解析一、三元一次方程组之特殊型xyz12①22②例1：解方程组x2y5z③x4y分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法 可直接转化为二元一次方精品文档放心下载程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.5yz12④把③分别代入①、②得6y5z22⑤解得y2,z2.把y=2代入③，得x=8.x8,∴y2, 是原方程组的解.z2.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达谢谢阅读到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得 4x+3y=38 ⑤x4y ③由③、⑤得4x3y38⑤.*x8,解得y2.x=8,y=2代入①得z=2.x8,y2,是原方程组的解.z2.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.2xyz15①②例2：解方程组x2yz16③xy2z17分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数感谢阅读之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方精品文档放心下载程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。谢谢阅读解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，x+y+z=12.④①-④得x=3，②-④得y=4，③-④得z=5，x3,∴y4,是原方程组的解.z5.xy20,①②典型例题举例：解方程组yz19,③xz21.解：由①+②+③得2(x+y+z)=60，即x+y+z=30.④④-①得z=10，④-②得y=11，④-③得x=9，x9,∴y11,是原方程组的解.z10..*根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.x:y:z1:2:7例3：解方程组2xy3z21

①②分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即感谢阅读y2x,①②，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求z7x,③2xy3z21.解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.感谢阅读x=1，代入y=2x，得y=2；x=1，代入z=7x，得z=7.x1,y2,是原方程组的解.z7.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。精品文档放心下载解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.精品文档放心下载k=1，代入x=k，得x=1；k=1，代入y=2k，得y=2；k=1，代入z=7k，得z=7.x1,y2,是原方程组的解.z7.xyz111①:2②典型例题举例：解方程组y:x3:4③y:z5分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=23y；由③感谢阅读.*4得z=5y.从而利用代入法求解。分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。精品文档放心下载解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.谢谢阅读x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.精品文档放心下载k=3，代入x=10k，得x=30；k=3，代入y=15k，得y=45；k=3，代入z=12k，得z=36.x30,y45,是原方程组的解.z36.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型3xyz4,①例4：解方程组xyz6,②12.③2x3yz分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：谢谢阅读（一）消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；谢谢阅读2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。谢谢阅读（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。精品文档放心下载3xyz4①解：xyz6②③2x3yz12.*（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)精品文档放心下载②+③得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)精品文档放心下载5x2y16, ④由④、⑤得3x4y18. ⑤x2,解得y3.x=2，y=3代人②，得z=1.x2,y3,是原方程组的解.z1.2x4y3z9,①sur典型例题举例：解方程组3x2y5z11,②sur6y7z13.5x③sur分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9，①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦8x13z31,⑤由⑤、⑦得x2z5.⑦x1,解得z3.x=-1，z=3代人①，得y12.感谢阅读x1,1∴y,是原方程组的解.2z3..*在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要感谢阅读进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不谢谢阅读变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。课堂练习1.解下列方程组x20xy6（1）（2）xy0yz8yz0xz102．解下列方程组zxyxyz17（1）6（2）xyz2xy2z13xy33xy4z3．有这样一个数学题：在等式yax2bxc中，当x=1时，y=1；当y=3精品文档放心下载时，y=9，当x=5时，y=5.（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？谢谢阅读（2）你能求出a,b,c的值吗？.*4xy4.解方程组2xyx2y

z42z8z5

3x5.解方程组2x5x

2y4z83y4z85y6z222xy6.解方程组x2y3xy

z13z14z8

ab37.解方程组bc4，ac5.*.*.*三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或精品文档放心下载20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？精品文档放心下载解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得谢谢阅读x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三谢谢阅读分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。感谢阅读解:设甲是x，乙是y，丙是zx+y+z=35(1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5(2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2(3).*由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10EX:1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？精品文档放心下载2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？谢谢阅读3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初感谢阅读一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？谢谢阅读AW:1式子：3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5感谢阅读答案：？？？这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。。精品文档放心下载2：去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42y=30z=70精品文档放心下载3:初一：x初二：y初三：zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：x=231y=220z=200训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？谢谢阅读2。甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需精品文档放心下载.*行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？谢谢阅读3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？感谢阅读4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球精品文档放心下载共41个，求三种球各有多少6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和谢谢阅读丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，谢谢阅读则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多精品文档放心下载少吨？7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用