湖南省邵阳市千秋中学高二数学理月考试题含解析

湖南省邵阳市千秋中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若框图所给程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D2.函数在上是减函数时，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则(

)

A．命题“或”是假命题 B．命题“或”是假命题C．命题“且”是真命题 D．命题“且”是真命题参考答案：C4.已知函数的部分图象如图所示，其中N，P的坐标分别为，，则函数f（x）的单调递减区间不可能为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用排除法，根据周期选出正确答案。【详解】根据题意，设函数的周期为T，则,所以.因为在选项D中，区间长度为

∴在区间上不是单调减函数．所以选择D【点睛】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等。属于中等题。5.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时,.且，.则不等式的解集是（

）A.(－3,0)∪(3,+∞)

B.(－3,0)∪(0,3)

C.(－∞,－3)∪(3,+∞)

D.(－∞,－3)∪(0,3)参考答案：D6.若圆至少能盖住函数的图象的一个最高点和一个最低点，则r的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．以上都不对参考答案：B7.若，，，则

.

.

.参考答案：B略8.如图是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为0～9中的一个正整数)，现将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为,中位数分别为,则有(

)A．

,

，

B．

,

C．

,

，

D．与大小均不能确定参考答案：B将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲的分数为85，84，85，85，81；乙的分数为84，84，86，84，87．则

；

．

9.复数的虚部是(A)

(B)-1

(C)

(D)1参考答案：C10.全集，，，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=

．参考答案：12.已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B=

.参考答案：{1，3}集合的交集为由两集合的公共元素构成的集合，集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．13.已知、是非零向量且满足，

，则与的夹角是_____参考答案：略14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是丙获奖”．乙说：“是丙或丁获奖”．丙说：“乙、丁都未获奖”．丁说：“我获奖了”．四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．参考答案：丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲对，则乙和丙都对，故甲错；若甲错乙对，则丙错丁对，此时成立，则获奖选手为丁；若甲错乙错，则丁错，不成立．故获奖选手为丁．故答案为：丁．15.已知空间向量，,且,，则的值为______

__．参考答案：16.若二项式的展开式的第三项是常数项，则=_______.

参考答案：6；略17.对于命题：，则是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)(文)⑴证明：当a＞1时，不等式成立.⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并说明理由；若不能，也请说明理由.⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明.参考答案：（1）证：∵,……………3分∵a＞1，∴＞0，

∴原不等式成立

………5分

（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a11恒成立，……7分

∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a11

………8分

（3）根据（1）（2）的证明，可推知：结论1:若a＞0且a11，n为正整数(或n>0),则

……………10分证:∵

………11分∵a-1与a2n-1同号对任何a＞0且a11恒成立∴(a-1)(a2n-1)>0∴

………12分结论2:若a＞0且a11，m＞n＞0，则

…………………11分证：左式-右式=………14分若a＞1，则由m＞n＞0Tam-n＞0,am+n＞0T不等式成立；若0＜a＜1，则由m＞n＞0T0＜am-n＜1,0＜am+n＜1T不等式成立∴

…16分【题文】(理)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函数f(x)的图象关于原点对称，其图象x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在区间，使得函数f(x)的定义域和值域均为？若存在，求出这样的一个区间；若不存在，则说明理由；(3)若数列｛an｝满足：a1≥1，an+1≥，试比较＋＋＋…＋与1的大小关系，并说明理由.【答案】(理)

(1)∵f(x)的图像关于原点对称，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，

即2bx2＋2d≡0，∴b＝d＝0……2分又f(x)的图像在x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0，即y－6＝8(x－3)，∴f'(3)＝8，且f(3)＝6,而f(x)＝ax3＋cx，∴f'(x)＝3ax2＋c

……4分解得

故所求的解析式为f(x)＝x3－x

……………5分(2)解，得x＝0或x＝±

……6分又f'(x)＝x2－1，由f'(x)＝0得x＝±1，且当x∈[－，－1]或x∈[1，]时，f'(x)>0；当x∈[－1，1]时f'(x)<0∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分别递增；在[—1,1]递减.∴f(x)在[－，]上的极大值和极小值分别为f(－1)＝，f(1)＝－

………8分而－<－<

<故存在这样的区间，其中一个区间为[－，]

……10分(3)由(2)知f'(x)＝x2－1，∴an+1≥(an＋1)2－1而函数y＝(x＋1)2—1＝x2＋2x在[1,+∞)单调递增，∴由al≥1，可知，a2≥(al＋1)2—1＝22—l；进而可得a3≥(a2＋1)2—1≥23—1；…由此猜想an≥2n—1.

…12分下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，al≥1＝21－1，结论成立②假设n＝k时有ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由f(x)＝x2＋2x在[1,+∞)上递增可知，ak+1≥(ak＋1)2－1≥(ak－1＋1)2－1＝2k+1－1，即n=k+1时结论成立

…14分∴对任意的n∈N+都有an≥2n—1，即1+an≥2n，

∴≤∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝＝1－（）n<l故＋＋＋…＋<l

……16分略19.已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|+|PB|=,记动点P的轨迹为曲线T,（Ⅰ）求动点P的轨迹T的方程；（Ⅱ）直线与曲线T交于不同的两点C,D，若存在点M（m,0）,使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围。参考答案：（1）|AB|=2，|PA|+|PB|=，所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且c=1,,

曲线T的方程是

(2)设，由得

.则

设CD的中点为N（），|CM|=|DM|,，韦达定理代入，化简得解得

当m=0时，k=0也满足题意。综上所述，m的取值范围是

20.（本题满分12分）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.

参考答案：证明

过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，

∴△AFE∽△DNE，

∴=.又DN=BF，

∴=，

∴AE·BF=2DE·AF.21.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1?平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1?平面B1CD，OD?平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD