湖北省随州市私立女子职业中学高三数学理联考试卷含解析

湖北省随州市私立女子职业中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．解答：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选A．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．2.给出下列五个命题：①将A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容易为30；②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲；④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y=1－2x。则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为则样本数据落在内的频率为0.4其中真命题为参考答案：B3.已知点P是曲线上的一个动点，则点P到直线l：的距离的最小值为（

）

A．1

B．

C．

D．参考答案：B4.已知则（

）A.

B.C.

D.参考答案：D略5.已知四个命题：①如果向量与共线，则或；②是的必要不充分条件；③命题：，的否定：，；④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D①错，如果向量与共线，则=λ(λ∈R)；②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到，如；③命题p：，的否定：，；正确④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，正确.故选D.6.若实数，满足约束条件，则的取值范围是（

）A．[－4,4]

B．[－2,4]

C.[－4,+∞)

D．[－2,+∞)参考答案：D画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是.

7.已知实数x、y满足不等式组，则的最大值为（）A.3 B.2 C. D.－2参考答案：A【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组所表示平面区域，如图所示，由目标函数，化直线，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8.若抛物线y2=2px，（p＞0）的焦点与双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点重合，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点（﹣2，﹣1），则双曲线的离心率是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和双曲线的右顶点，以及抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，求得交点坐标，即可得到a=2，b=1，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．解答： 解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点为（a，0），则由题意可得a=，由于抛物线的准线为x=﹣，双曲线的渐近线方程为y=±x，则交点为（﹣a，±b），由题意可得a=2，b=1，c==．e==．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和抛物线的准线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9.已知函数，下列结论中错误的是（

）A．的图象关于点(π，0)中心对称

B．的图象关于对称C．的最大值为

D．既是奇函数，又是周期函数参考答案：C10.已知，(0，π)，则=(A)1

(B)

(C)

(D)1参考答案：A故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________．参考答案：12.已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________参考答案：0【分析】曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.13.命题1）若是偶函数，其定义域是，则在区间是减函数。2）如果一个数列的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是3）曲线过点（1,3）处的切线方程为：。4）已知集合只有一个子集。则[]以上四个命题中，正确命题的序号是__________参考答案：①②14.对于实数a和b，定义运算“﹡”：，设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________。参考答案：15.某计算装置有一个数据入口A和一个运算出口B，从入口A输入一个正整数n时，计算机通过循环运算，在出口B输出一个运算结果，记为f(n).计算机的工作原理如下：为默认值，f(n＋1)的值通过执行循环体“f(n＋1)＝”后计算得出.则f(2)＝

；当从入口A输入的正整数n＝__

_时，从出口B输出的运算结果是.

参考答案：略16.在正方体中，与所成角的大小为_________________.参考答案：17.若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，∴cos∠ABM=，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．19.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.（1）求证：N为PC中点；（2）求证：AD⊥平面PCD；（3）T为PB中点，求二面角的大小.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°【分析】（1）利用线面平行的性质可得，又由M为PD的中点，即可求证N为PC中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点作,可证，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的大小【详解】（1），平面，平面，平面，由线面平行的性质可得，，又，，M为PD的中点，为PC的中点；（2）过点作交与点，又平面平面PCD，交线为，故平面，又平面，，又，，平面PCD；（3）由（2）可知平面PCD，，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：求得，为的中点，故，，，可设平面的法向量为，平面的法向量为，故有，取得，则，故，故二面角的大小为45°【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题20.（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（－2，0），且长轴长与短轴长的比是2：。（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点上，求实数m的取值范围。参考答案：（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故.……………7分因为，所以

………10分21.（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保

费0.85a

a1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概

率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．参考答案：（Ⅰ）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.（Ⅱ）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B)，故P(B|A)=因此所求概率为.（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85a

a1.