山西省忻州市腰庄乡联校2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析

山西省忻州市腰庄乡联校2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是幂函数且幂函数是（0,+∞）上的增函数,则的值为（

）A．2B．－1C．－1或2D．0参考答案：B2.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．D．参考答案：D3.已知等差数列的前项和为，且，.若，则（

）A．420

B．340

C.-420

D．-340参考答案：D4.如图：二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A6.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（

）A.－3

B.－2

C.－1D.0参考答案：B略7.已知过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P，若E为线段EP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，P（c，2b），代入双曲线方程，即可转化求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P，若E为线段EP的中点，可得P（c，2b），由双曲线方程，可得=1，∴e=，故选：B．8.有下列命题： ①是函数的极值点； ②三次函数有极值点的充要条件是； ③奇函数在区间上是单调减函数； ④若函数，则． 其中真命题的个数有 （

） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：D略9.设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（

）A．若，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，且，则______.参考答案：【分析】由向量平行可得，结合可得，结合诱导公式化简得即可得解.【详解】向量，，且，所以..由，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.12.已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为

．

参考答案：或13.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为

参考答案：1.4略14.一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm），则此几何体的体积是__________㎝3.参考答案：略15.函数的最小正周期T=

.参考答案：答案：π16.若是定义在R上的减函数，且其图像经过点、，则不等式的解集为____________.参考答案：17.曲线上的点到直线的最短距离是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方；（Ⅲ）求证：.参考答案：解：（Ⅰ）∵

∴当时，∴在上是增函数，故，-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设，则-----------------6分∵时，，故在上是减函数。又，故在上，，即∴函数的图像在函数的图像的下方。（Ⅲ）∵，∴

-------------------------------10分当时，不等式显然成立---------------------------------------------------------------------------11分当时，有∴19.已知函数的最大值a（）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若（，），试比较与2的大小．参考答案：（Ⅰ）由于的最大值为，故.（Ⅱ）∵，且，，∴，当且仅当，即，等号成立．所以.20.（本小题满分14分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.参考答案：解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是

------------------------4分

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.------------------------6分

证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的

正方形，于是

故所拼图形成立.---8分（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，

连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.--------10分

在Rt△ABG中，，则，，，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.---14分

方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，于是，解得.

--------------------12分

取z=2，得n=（2，-1，2）.又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.----------------14分21.（本小题满分12分）设，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求的值；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．

参考答案：解：（1）f′（x）=………..1分由题设f′（1）=1，∴，∴a=0．………..3分（2），?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣﹣2）………..4分设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即?x∈[1，|+∞），g（x）≤0，∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m

………..6分①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾………..7分②若m∈（0，1），当x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9分③若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立

………..11分综上所述，m≥1．………..12分

22.（12分）（2013?兰州一模）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量x240250260270280290300频数10201616151310（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率．参考答案：解：（Ⅰ）当x≥280时，y=280×（1﹣0.4）=168；当x＜280时，y=（1﹣0.4）x﹣（280﹣x）×0.4=0.9x﹣84∴y=，x∈N

…（