定积分的应用课件

第五节定积分的应用

definiteintegral’sapplication

一、定积分的几何应用二、定积分的物理应用三、定积分的经济应用7/31/20231河北工业职业技术学院王力加第五节定积分的应用一、定积分的几何应用二、定积分的物理第五节定积分的应用

definiteintegral’sapplication一、定积分的几何应用1、问题的提出2、用定积分求平面图形的面积3、用定积分求体积4、平面曲线的弧长5、小结思考题7/31/20232河北工业职业技术学院王力加第五节定积分的应用7/27/20232河北工业职业技术学院回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo7/31/20233河北工业职业技术学院王力加回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo7/27/2面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值7/31/20234河北工业职业技术学院王力加面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值7/27abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素7/31/20235河北工业职业技术学院王力加abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素7/27/微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx+，求出相应于这小区间的部分量FD的近似值.如果FD能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量F的元素且记作dF，即dxxfdF)(=；7/31/20236河北工业职业技术学院王力加微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x3）以所求量F的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得即为所求量F的积分表达式.这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．7/31/20237河北工业职业技术学院王力加3）以所求量F的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[b曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形dxdx二、用定积分求平面图形的面积7/31/20238河北工业职业技术学院王力加曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形dxdx二、用XY0aSab7/31/20239河北工业职业技术学院王力加XY0aSab7/27/20239河北工业职业技术学院王XY0abS7/31/202310河北工业职业技术学院王力加XY0abS7/27/202310河北工业职业技术学院王XY0abS7/31/202311河北工业职业技术学院王力加XY0abS7/27/202311河北工业职业技术学院王yxy=f(x)y=g(x)ab对x积分S(x)7/31/202312河北工业职业技术学院王力加yxy=f(x)y=g(x)ab对x积分S(x)7/27/2XY0abS7/31/202313河北工业职业技术学院王力加XY0abS7/27/202313河北工业职业技术学院王bayxS(x)7/31/202314河北工业职业技术学院王力加bayxS(x)7/27/202314河北工业职业技术学院解两曲线的交点面积元素选为积分变量问题：积分变量只能选吗？7/31/202315河北工业职业技术学院王力加解两曲线的交点面积元素选为积分变量问题：积分变量只能解两曲线的交点选为积分变量7/31/202316河北工业职业技术学院王力加解两曲线的交点选为积分变量7/27/202316河北于是所求面积说明：注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同？7/31/202317河北工业职业技术学院王力加于是所求面积说明：注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同解两曲线的交点选为积分变量如选x为积分变量，图形需分成两块。7/31/202318河北工业职业技术学院王力加解两曲线的交点选为积分变量如选x为积分变量，图形需分如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积这里对函数的要求是：7/31/202319河北工业职业技术学院王力加如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积这里对函数的要求是解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．7/31/202320河北工业职业技术学院王力加解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．7

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积三、用定积分求体积7/31/202321河北工业职业技术学院王力加旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而xyo旋转体的体积为7/31/202322河北工业职业技术学院王力加xyo旋转体的体积为7/27/202322河北工业职业技术学例5

求星形线323232ayx=+)0(>a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解7/31/202323河北工业职业技术学院王力加例5求星形线323232ayx=+)0(>a绕x轴旋转构成用MATLAB计算符号定积分格式:int(f，v，a，b)命令是对表达式f中指定的符号变量v从a到b的定积分。>>symsxa>>int(pi*(a^(2/3)-x^(2/3))^3,-a,a)ans=32/105*a^3*pi7/31/202324河北工业职业技术学院王力加用MATLAB计算符号定积分格式:int(f，v，a，b)7例6连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx=及x轴围成一个直角三角形,将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．解直线方程为7/31/202325河北工业职业技术学院王力加例6连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx=及x7/31/202326河北工业职业技术学院王力加7/27/202326河北工业职业技术学院王力加7/31/202327河北工业职业技术学院王力加7/27/202327河北工业职业技术学院王力加弧微分弧长1、直角坐标情形四、平面曲线的弧长7/31/202328河北工业职业技术学院王力加弧微分弧长1、直角坐标情形四、平面曲线的弧长7/27/202例1

计算曲线2332xy=上相应于x从a到b的一段弧的长度.解所求弧长为7/31/202329河北工业职业技术学院王力加例1计算曲线2332xy=上相应于x从a到b的一段弧的长度曲线弧为弧长2、参数方程情形弧微分7/31/202330河北工业职业技术学院王力加曲线弧为弧长2、参数方程情形弧微分7/27/202330河北五、小结思考题

1、元素法的提出、思想、步骤.2、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.3、旋转体的体积7/31/202331河北工业职业技术学院王力加五、小结思考题

1、元素法的提出、思想、步骤.7思考题

1、2、微元法的实质是什么？7/31/202332河北工业职业技术学院王力加思考题1、2、微元法的实质是什么？7/2思考题1解答xyo两边同时对求导7/31/202333河北工业职业技术学院王力加思考题1解答xyo两边同时对求导7/27/202333积分得所以所求曲线为思考题2解答微元法的实质仍是“和式”的极限7/31/202334河北工业职业技术学院王力加积分得所以所求曲线为思考题2解答微元法的实质仍是“和式”的极

求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S。练习1XY011s7/31/202335河北工业职业技术学院王力加求由曲线与直线

求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S。练习2XY0112s7/31/202336河北工业职业技术学院王力加求由曲线与直线

求由曲线与直线围成