利用导数探究函数的零点问题专题讲座

利用导数探究函数的零点问题专题讲座第1页，课件共44页，创作于2023年2月全国卷高考数学题展示(2014年全国卷）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围？第2页，课件共44页，创作于2023年2月

函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了高考新的热点和亮点.高考地位第3页，课件共44页，创作于2023年2月一：复习旧知函数与方程函数与图像函数零点使函数的实数方程的实数解函数的图像与轴交点的横坐标函数零点使函数的实数方程的实数解函数的图像与轴交点的横坐标第4页，课件共44页，创作于2023年2月结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。等价关系：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点第5页，课件共44页，创作于2023年2月唯一在上单调在有零点在上连续零点的存在性定理第6页，课件共44页，创作于2023年2月等价关系除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？第7页，课件共44页，创作于2023年2月导数在函数零点问题上的应用函数零点导数的应用数形结合零数零位参数范围第8页，课件共44页，创作于2023年2月研究两条曲线的交点个数的基本方法(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案.(2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.第9页，课件共44页，创作于2023年2月1、三次函数的图象四种类型第10页，课件共44页，创作于2023年2月2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)＜0或f(x2)＞0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)＜0或f(x1)＞0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞0第11页，课件共44页，创作于2023年2月例1：

函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.例题选讲一、三次函数的零点问题第12页，课件共44页，创作于2023年2月函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示第13页，课件共44页，创作于2023年2月函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示第14页，课件共44页，创作于2023年2月

已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.巩固练习1第15页，课件共44页，创作于2023年2月第16页，课件共44页，创作于2023年2月几何画板演示第17页，课件共44页，创作于2023年2月巩固练习2第18页，课件共44页，创作于2023年2月第19页，课件共44页，创作于2023年2月当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.第20页，课件共44页，创作于2023年2月当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).探究提高

解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).第21页，课件共44页，创作于2023年2月巩固练习3第22页，课件共44页，创作于2023年2月(2)证明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k＞0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根.当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根.综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.探究提高

研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.第23页，课件共44页，创作于2023年2月例题选讲二、非三次函数的零点问题第24页，课件共44页，创作于2023年2月几何画板演示第25页，课件共44页，创作于2023年2月附：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。第26页，课件共44页，创作于2023年2月例题选讲第27页，课件共44页，创作于2023年2月f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：第28页，课件共44页，创作于2023年2月第29页，课件共44页，创作于2023年2月探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.第30页，课件共44页，创作于2023年2月1、已知函数f(x)=x3-3ax-1,a>0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．课后测试第31页，课件共44页，创作于2023年2月第32页，课件共44页，创作于2023年2月几何画板演示第33页，课件共44页，创作于2023年2月第34页，课件共44页，创作于2023年2月第35页，课件共44页，创作于2023年2月第36页，课件共44页，创作于2023年2月第37页，课件共44页，创作于2023年2月解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点,则

,即

解得当时,x轴是y=f(x)的切线.3.已知函数,g(x)=-lnx(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.(2)当x>1时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0故h(x)在无零点.当x=1时,若,则f(1)=h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点若,则h(1)=f(1)<0,h(x)无零点.第38页，课件共44页，创作于2023年2月当0<x<1时,g(x)>0无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.

(¡)当a≥0时,,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)>0故f(x)(0,1)上无零点.(¡¡)当a≤-3时,,f(x)在(0,1)单调递减且,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.(¡¡¡)当-3<a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增故f(x)在(0,1)上的最小值为a)若,即时,f(x)在(0,1)上无零点b)若,即时,f(x)在(0,1)上有一个零点第39页，课件共44页，创作于2023年2月c)当,即时

综上所述:当或时,h(x)有一个零点。当或时,h(x)有两个零点。当时,h(x)有三个零点。