第27章.相似-专训2：巧作平行线构造相似三角形

第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形(删除明显有问题的段落)1.在三角形ABC中，设边BC上的两个三等分点为E、F，AC的中点为D，BD分别交AE、AF于点P、Q。求证：BP：PQ：QD=5:3:2。解：连接DF。因为E、F是边BC上的两个三等分点，所以BE=EF=FC。又因为D是AC的中点，所以AD=CD。因此，DF是△ACE的中位线，DF∥AE，且DF=1/2AE。所以DF∥PE。因此，△BEP∽△BFD，BE/PE=BP/FD=BD/BF。因为BF=2BE，所以FD=2PE，BD=2BP，因此BP=PD。因为DF∥AE，所以△APQ∽△FDQ，PQ/QD=AP/DF。设PE=a，则DF=2a，AP=3a。因此，PQ:QD=AP:DF=3:2，BP:PQ:QD=5:3:2。2.在三角形ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，BF:AF=3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE/EC的值。解：过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G。则△GCD∽△AFD，CG/CD=AF/FD。因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，所以AG=BG，因此CG=2CD。又因为F为AB的中点，所以AF=BF，因此FD=BD/5。因此，CG/CD=5/2，AF/FD=5/3，所以BE/EC=CG/CD×FD/AF=5/6。3.在三角形ABC中，AD为BC边上中线，过C任作一条直线交AD于E，交AB于F，求证：AE:ED=2AF:FB。解：在△ABC中，AD是BC边上的中线，所以AD=BC/2。因此，AE=AD-DE=BC/2-DE。因为CE∥AB，所以△ACF∽△CED，因此，AF/CE=AC/CD。因为AD=BC/2，所以CD=BC-AD=BC/2。因此，AF/CE=2AC/BC。因为AC=BC/2，所以AF/CE=2/3。因此，AE/ED=AF/FB=2/1。4.在三角形ABC中，AB>AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P。求证：BP×BD=CP×CE。解：连接AP。因为AD=AE，所以AP是AC的中线，因此，AP=PC。因为AB>AC，所以BD>CE。因此，BP>CP。因为△BPD∽△CPE，所以BP/CP=BD/CE，因此，BP×BD=CP×CE。5.在三角形ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=1/4AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D。求证：BC=2CD。解：作平行于AE的直线DF，交BC于点F。因为AE=1/4AB，所以DF=1/4BF。因为M是AC的中点，所以EM∥BC。因此，△BEM∽△DFC，BE/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BE/DF=AB/FC。因为DF=1/4BF，所以BE/BF=4/3。因为△BEM∽△DFC，所以BM/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BM/DF=AB/FC。因为AE=1/4AB，所以AB=4AE。因此，BM/DF=4AE/FC=AE/FC，因此，BM=AE×DF/