2022年高考数学导数与零点、不等式等综合运用及答案

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2022年高考数学导数与零点、不等式等综合运用及答案

【题组一零点问题】

1.(2021•河北邢台•高二月考)已知函数/'(X)满足矿(力一3/(力=丘',/(0)=0,八1)=6+1,则函数

尸(x)=/(x)-l的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.(2021•河南南阳•高二月考(理))已知函数/(x)=x2(2x—a)(a>2),若函数g(x)=/(f(x)+l)恰有4个

零点，则。的取值范围是()

A.(3,4)B.(3,内)C.(2,3)D.(4,xo)

3.(2021•北京•首都师范大学附属中学高二期中)若函数/(x)=lnx-ar有两个不同的零点，则实数〃的

取值范围是()

A.(0.+?)B.(0,jC.(0,e)D.1肛:)

4.(2021•陕西省洛南中学高二月考(理))函数/(x)=-V+12x+m有三个零点，则，”的取值范围为一.

5.(2021•河北邢台•高二月考)已知方程e*-x-〃?=O有且只有1个实数根，则”?=.

6.(2021•福建•福州三中高二期中)已知函数=若关于x方程/2(x)-2/(x)+2=0(reR)有

两个不同的零点，则实数「的取值范围为.

7.(2021•安徽•芜湖一中高二期中(理))已知函数/(外二上^一？、,一有四个零点，则实数t的取值范

围为.

8.(2021•江苏•无锡市青山高级中学高二期中)己知函数/X*)=\2X+3'V若函数/(x)

/nr+5,x>1

有两个不同的零点，则实数力的取值范围为一.

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9.(2021•河南•高二期中(理))已知函数/(耳=炉-""+3).

(1)当。=1时,求/(x)的最小值；

(2)若/(x)有两个零点，求实数，，的取值范围.

10.(2021•广东普宁•高二期中)设函数/(x)=e'cosx,/(x)为/5)导函数.

(1)求人X)的单调区间：

(2)令Mx)=/(x)+f'(x)[g—x],讨论当当时，函数〃(x)的零点个数.

U)44

、3

11.(2021•江苏启东•高二期中)已知函数/。)=犬-3x+clnx+d,八2)=1.

(1)求的单调区间；

(2)若d>2,求证：/⑴只有1个零点.

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【题组二不等式证明问题】

1.(2021•新疆•乌市八中高二月考(文))己知函数f(x)=x-alnx.

(1)讨论的单调性；

(2)若/(力21恒成立，求。的取值范围：

(3)在(2)的条件下，/(x)=m有两个不同的根中三，求证：多+三>，"+1.

2.(2021•重庆十八中高二月考)已知函数F")="一1.

x-lX+1

⑴设a=2,x>l,试比较/?(x)=(x—1)尸(x)与。的大小；

(2)若F(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若“使尸(X)有两个不同的零点七,天，求证：2，"2-2"<|/-与|<2"-"".

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3.(2021•山东任城•高二期中)已知函数/(x)=x-“lnx(awR)

(1)求f(x)的极值；

(2)若求4的值，并证明：f(x)>2x-e\

4.(2021•河北邢台•高二月考)已知函数/(幻=以2+：.

(1)当a=-4时，求f(x)的极值点.

(2)当a=2时，若/=且％&<0,证明：,2-力..6.

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5(2021•山西晋中•高二期末(文))已知/(x)=ar-lnx,(«eR)

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求证：当”=1时，e'f(x)>ex.

6.(2021•河北•邯山区新思路学本文化辅导学校高二期中)已知函数/(x)=me2'-Inx.

(1)若x=l是/(x)的极值点，求，〃的值，并判断/(X)的单调性.

(2)当机>1时，证明：f(x)>2.

【题组三恒成立问题】

1.(2021•重庆十八中高二月考)设函数f(x)=alnx-62.

(1)若人=；,讨论函数〃x)的单调性；

'3]

(2)当6=0时，若不等式/(x)2m+x对所有的ae1,-,恒成立，求实数机的取值范围.

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2.（2021•江西省南昌县莲塘三中高二月考（理））已知函数/。）=以3+加2+。汗+，/为奇函数，且在x=-l

处取得极大值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若/（回+（，〃+2）*4/（/-1）对于任意的、€[0,+00）恒成立，求实数，”的取值范围.

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导数与零点、不等式等综合运用

【题组一零点问题】

1.(2021•河北邢台•高二月考)已知函数)(x)满足》'(x)-3〃x)=x"J(0)=0,4l)=e+l,则函数

F(x)=/(x)T的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】当xwO时,由#，(x)-3f(x)=x2,

可得x7'(x)-3^2/(.r)=，则13口);3『/%)="，

即［与］=",所以维=/+C.

XJX

因为/6=e+l,所以C=l,故/(x)=x3(e，+l)(.­0).

因为/(。)=0,所以/(可=/(炉+1),

则/'(x)=X?［(x+3”，+3)设g(x)=(x+3)e、+3,则g'(x)=(x+4)e*,

所以g(x)在(fT)上单调递减，在(<y)上单调递增，

所以g(x)mi»=g(T)=-eT+3>0,所以r(x)..O,则〃x)在(F2)上单调递增，尸(x)=/(x)-l在(fe)

上也单调递增，

因为爪0)=/(0)-1=一1<0,F(l)=/(l)-l=e+l-l=e>0,

所以F(0)尸⑴<0,

所以F(x)有且只有1个零点.

故选：B

2.(2021•河南南阳•高二月考(理))已知函数/(x)=i(2x-a)3>2),若函数g(x)=/(/(x)+D恰有4个

零点，则。的取值范围是()

A.(3,4)B.(3,+oo)C.(2,3)D.(4,+oo)

【答案】B

【解析】因为/(乂)=/(2*一。)(°>2)的零点为0,y,所以由g(x)=/(/(x)+1)=(),

得/(x)+l=O或5，即/V)=—1或卜1.

因为/''(X)=2x(3x-〃)(〃>2),所以F(X)在(70,0),仁,+8)上单调递增，在上单调递减，则/(X)的

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极大值为/(。)=。，极小值为/

因为。>2,所以二-1>0,所以结合f(x)的图象可得一4<一1且=-1>0,解得。>3.

2272

3.(2021•北京•首都师范大学附属中学高二期中)若函数/(x)=lnx-以有两个不同的零点，则实数。的

取值范围是()

A.(O.+?)B.C.(O,e)D.(一00，；)

【答案】B

【解析】解：因为函数/(x)=lnx-ar有两个不同的零点，

所以方程Inx-ar=O有两个不相等的实数根，

所以也有两个不相等的实数根,

X

A\nx,1-lnx

令、=­，y=——

xx

所以当xe(O,e)时，y'>0,函数y=(为增函数,

当x«e,w)时，."<0,函数丫=?为减函数，

由于当XT0,曲▲―>—oo,x—>+<»,曲二—>0,

XX

故函数y=匣的图像如图，、

X

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所以?=。有两个不相等的实数根等价于

故选：B

4.(2021♦陕西省洛南中学高二月考(理))函数/(x)=-F+12x+m有三个零点，则用的取值范围为.

【答案】(-16,16)

【解析】因为函数y(x)=-V+i2x+〃?，

所以f'(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2),

令/'(x)>0=-2<x<2；f'(x)<0=x<-2或x>2,

所以函数f(x)在(f，-2)和(2,+8)上为减函数，在(-2,2)上为增函数，

所以当x=-2时，取得极小值，且f(-2)=〃7-16,

当x=2时,"X)取得极大值，旦八2)=〃?+16,

f/n-16<0

又函数有三个零点，所以,、，解得-

[w+16>0

故答案为：(76,16)

5.(2021•河北邢台•高二月考)已知方程6'-》-〃7=0有且只有1个实数根，则机=.

【答案】1

【解析】设f(x)=e'-x,则r(x)=e*-l.令_f(x)=O,得x=0,则/")在(—,0)上单调递减，在(0,+少)

上单调递增，所以“X)在x=0处取得最小值/(O)=1.故若方程e、-x—m=0有且只有.1个实数根，则加=1.

故答案为：1

6.(2021•福建•福州三中高二期中)已知函数/*)=”川|,若关于x方程尸(x)-2如(x)+2=0"eR)有

两个不同的零点，则实数t的取值范围为

【答案】[&，|)

【解析】令g(x)=xe，“，

g(r)=e，"+=(1+，

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所以在(-1,物)上，g'(x)>0,g(x)单调递增,

在(70,-1)上，U(x)<0,g(x)单调递减，

所以8(乩“,=g(T)=-”=-I，

又g(o)=o,

所以作出g(x)与/(X)的图像如下：

22

令k=f(x)(k>0),则方程f(x)-2/(x)+2=()(/eR)为k-2tk+2=O(zGR),

..k~+,2.2

贝l]2;=—；—=*+-,

kk

2

令以外=心7，作出以A)的图像：

k

2

当0<2/<2夜，即0<£<及时,丫=2/与g(2)=k+工没有交点,

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2

所以方程2"八[无根，则Z=/(x)(〃>0)无解，不合题意.

k

当2/=2&，即/=拒时，y=2f与g(k)=k+1有1个交点,

所以方程2i+演1个根为女=&,则《=/(x)(QO)有1个解，不合题意.

2

当2f>2应，即&时，y=2r与g(2)=&+7有2个交点，

所以方程〃=八彷2个根为0<勺<&,&>&,

若人=1时，则4=/。)伏>0)有2个解，&=/(x)(*>0)有1个解，

所以k=/(x)有3个解，不合题意.

若0<人<1时，则匕=/(x)(4>0)有3个解,&=/(xXQ0)有1个解，

所以左=/(x)有4个解，不合题意.

若/>勺>1时，贝1]4=/。)(*>0)有1个解，&=/(项%>0)有1个解，

所以k=/(x)有2个解，合题意.

2

因为2，=人工，

所以2忘<2,<3,即应<，<：,

综上所述，，的取值范围为(及.|).

故答案为：(&，》.

7.(2021•安徽•芜湖一中高二期中(理))已知函数〃x)=HT-21nx|T有四个零点，则实数。的取值范

围为.

【答案】(O,21n2-l)

【解析】函数/(x)=|e--21nx|T的零点个数，

也就是丫=k7-21nH与y=f的交点个数，

设g(x)=ei-21nx,显然函数的定义域为(0,+8),

g'(x)=e2-：,

记/?(刈=产-：，则有〃(2)=0,〃(加产+康〉。，

在(0,+8)上单调递增，

所以当xe(0.2)时，h(x)<0,即短(x)<0,

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所以g(x)在(0,2)上单调递减,

当xw(2,+oo)时，/?(x)>0,即g<x)>0,

所以g(x)在(2,«0)上单调递增,

所以g(x*n=g(2)=l-21n2<0,

同一直角坐标系中画出函数、=k7-2111可与丫=，的大致图象，如图:

故答案为：(0,2ln2-l)

8.(2021•江苏•无锡市青山高级中学高二期中)已知函数/'(x)=+3'V,若函数f(x)

nix+5,x>\

有两个不同的零点，则实数卬的取值范围为一.

【答案】(-5,0)

【解析】当04x41时，/(x)=2/+3?+;n,则/'(x)=6/+6x20,故/⑺在xw［0,l］上是增函数.

要使函数/(x)有两个不同的零点，则函数/(x)在［0,1］与(1,钙)上各有1个零点，显然加<0.

故巳。叫)4。，解得：_5<帆<。，

6+5>0

综上所述：实数"的取值范围为(-5,0).

故答案为：(-5,0).

9.(2021•河南•高二期中(理))已知函数f(x)=/-a(x+3).

(1)当”=1时，求/("的最小值；

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(2)若“力有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)-2；(2)

【解析】⑴当〃=1时，f(x)=e'-x-3,

则“6的定义域为(f”)，且f'(x)=e'-\,

.•.当xw(-oo,0)时，当xw(0,+oo)时，/'(x)>0;

••J(x)在(70,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

•・J(x)的最小值为/(。)=一2.

(2)由题意知:定义域为(F.+00),f,(x)=eI-a,

①当“so时，r(x)=e'-a>0恒成立，

・・・/(x)在(YO,*O)上单调递增，不符合题意；

②当”>0时，令/'(x)=。，解得：x=lna,

.•.当x«-oo,lna)时,/'(x)<0,/(x)单调递减；当xe(lna,+oo)时,//(x)>0,/(x)单调递增;

即当a>0时，/(%)有极小值也是最小值为/(Ina)=-a(2+Ina).

又当xfYo时，/(x)->+oo.当xf+oo时，/(x)^+oo；

,要使/(x)有两个零点，只需/(lna)<0即可，则2+lna>0,解得：a>J：

综上所述：若〃x)有两个‘零点，则”的取值范围为仪,+8)

10.(2021•广东普宁•高二期中)设函数/(x)=e*cosx,f(x)为八x)导函数.

(1)求TV)的单调区间；

(2)令/?(x)=/(x)+/'(x)讨论当xe时，函数力⑴的零点个数.

【答案】(I)/*)的单调递增区间为2丘-¥，25+£(AeZ),/(x)的单调递减区间为

_44

jr57c

2&兀+92版+4(keZ)；(2)只有一个零点.

44

【解析】(1)由已知,Wf,(x)=eJC(cosx-sinx).

当x£(2%乃+(,2%)+?)伏wZ)时，有sinx>cosx,得f'(x)vO,则f(x)单调递减;

当,2k;r+?)(k£Z)时，有sinxvcosx,得/'(外>0,则/(用单调递增.

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所以人力的单调递增区间为2廿:2ykZ)」⑺的单调递减区间为2E+宁版+年也小

(2)证明：由(1)有r(x)=e%cosx-sinx),令g(x)=/'(x),

从而g'(x)=-2,sinx.当"E(了:时，g'(x)<。，

故hf(x)=f，(x)+g<x)(g-x)+g(x)(-1)=-x)，

因此，时，〃'(x)v°,时，〃'(幻>°，

万。)在区间单调递减，在区间(1,,)单调递增.

...年>j,Mx)N/?(5)=0.

所以，当年)时，函数g)只有一个零点.

3

11.(2021•江苏启东•高二期中)已知函数〃x)=x2-3x+clnx+d,r(2)=-.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若">2,求证：/(x)只有1个零点.

【答案】(1)单调增区间是(0.；)和(1，内)：单调减区间是(；1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)依题意，函数/(*)的定义域为(0，+«),

由f（x）=x2-3x+clnx+d,得/'（x）=2x-3+2,

X

又Q/'（2）=]a,即2x2-3+1r=a]计算得c=l,

所以f'（x）=二3配I=（21）（2二1）

XX

令r（x）>0,得0<x<g或X>1；

令/'（x）<0,得g<x<l,

所以/（x）的单调增区间是（og）和（1,物）：单调减区间是（；1）；

（2）由（1）知，Ax）在x=；处取极大值，在x=l处取极小值,

当d>2时，/CO的极小值f(l)=d-2>0,

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所以fM在区间(；,一)上无零点.

由于/(g)>/(I)>0,而/(e-rf)=e-2rf-3e-d<e"-3e"=-2e-d<0.

所以f(x)在区间(o.g)上有且只有1个零点.

所以">2时，/⑺只有1个零点.

【题组二不等式证明问题】

1.(2021•新疆•乌市八中高二月考(文))己知函数/(x)=x-alnx.

(1)讨论的单调性；

(2)若/(x)21恒成立，求〃的取值范围；

(3)在(2)的条件下，/(》)=，〃有两个不同的根林X2,求证：与+*>,”+1.

【答案】⑴答案见解析；(2){1}；(3)证明见解析.

【解析】解：(1)/(x)=x-alnx,则r(x)=l'=3(x>0),

XX

当"V0时，r(x)>0恒成立，所以“X)在(0,+8)上单调递增，

当”>0时，令r(x)=0,得X="，所以x>"时，/'(x)>0；0<x<a时，/'(x)<0,

所以/(x)在(0,。)上单调递减，在(。，”)上单调递增：

综上：当aVO时，f(x)在(。,+8)上单调递增，

当a>0时，”X)在((),〃)上单调递减，在(a,内)上单调递增：

(2)/(x)的定义域为(0,收)，且/’(力=1-0=",

XX

当0=0时，/(x)=x,/(X)在(0,y)上单调递增，

所以“X)21不恒成立，不合题意；

当"<0时，r(x)>0，f(x)在(0，+8)上单调递增,

且当xf0时，不合题意；

当a>0时，由/'(x)=0得x=a,

所以/(x)在(0,。)上单调递减，在(“，”)上单调递增，

所以/(X)在X=a处取到极小值，也是最小值/(«)=«-«lna,

由题意得f(a)=a-a\na^\恒成立，

令g(x)=x-xlnx,g'(x)=_lnx,

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g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,

所以=⑴=1,所以/(.)=〃-4加a=1,即"=1.

(3)f(x)=x-\nx9且“X)在x=l处取到极小值1,

又工一>0口寸，/(x)->+oo,Xf+oo时，y(x)-»+oo,故机>1且0<$<1<七，

要证明：只需证明电>〃，+1-冬，又X2>，〃+"%>1,

故只需证明：/(占)即证：，〃:>/(5+1-司)，

即证：+即证：I-X1-ln(l-加阳)V。，

设〃(x)=1-x—n(一nx)(O<"l),则〃'⑴=一］+而扃=与茜落，

因为Ovxvl,所以.《l-lnx)>。，由(2)知InxVx-1恒成立，

所以-xlnxKl-x,G［Jl-x+xln,v>0,

XX

所以力(戈)在ovxvl上为增函数，所以人(“<人(1)=0,即命题成立.

2.(2021•重庆十八中高二月考)已知函数=

⑴设a=2,x>\,试比较Mx)=(x-1)尸(x)与0的大小;

(2)若/(x)>0恒成立，求实数〃的取值范围；

(3)若。使尸(x)有两个不同的零点芭,吃，求证：2一2a%%e"-建.

【答案】(1)力。)>0；(2)(7,2］；(3)证明见解析.

【解析】(D当.=2时，/?(》)=(龙一1)(空一二)=lnx-^=^,x>l,

x-\x+lx+1

可得/@)」_2(x+l)-2『)=(-x=》,

\'Xx(x+l)2X(X+1)2X(X+1)2

当X>1时，/?'(X)>(),所以Mx)在(1,田)上为单调递增函数，

因为田1)=0,所以⑴=0.

(2)设函数/(x)=lnx-"三D，则f'(x)=lnx-匚如二室把，

x+1x(x+l)

令8(工)=/+2(1-。>+1,

当aWl时，当x>0时，g(x)>(),

当1<。42时，AMd/-SaVO,可得g(x)20,

所以当a42时，〃x)在(0,叼)上单调递增函数，且f(l)=0.

所以有」7〃x)>0,可得尸(x)>0,

x—1

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当a>2时，有△=4/-8“>0，此时g(x)有两个零点，设为44，且6<明

又因为4+%=23-1)>0且，占=1，所以0<人<1<，2，

在(1,幻上，/(X)为单调递减函数，

所以此时有/(x)<o,即lnx<"3,可得"——j<0,

x+1x-1x+1

此时尸(x)>0不恒成立，

综上可得。42,即实数”的取值范围是(7,2].

(3)若F(x)有两个不同的零点占,占，不妨设占<修，

则为，三为"x)=lnx-吐2的两个零点，且工尸1，为",

由⑵知此时”>2,并且“X)在(0,牡(占*o)为单调递增函数，

在&,幻上为单调递减函数，且/(1)=0,所以/6)>0，/(幻<0,

因为/卜-")=一占<0,/卜")=一三>0,6-"<1<6",且〃可的图象连续不断，

aa

所以为e(e~,tl),x2e(t2,e,),所以4-6〈刍-占ve"-"",

因为q-八=7(^+ri)2-4rif2=246-2a,

综上可得：2\ja2-2a<|x,-x(|<ea-e~a.

3.(2021•山东任城•高二期中)已知函数/'(x)=x-alnx(aeR)

(1)求〃x)的极值；

(2)若/(x)Nl,求。的值，并证明：f(x)>2x-ex.

【答案】(1)当。40时，"X)无极值；当。>0时，/(*)的极小值为/(a)=a-aln“，无极大值；(2)1,证

明见解析.

【解析】解：(D.-./V)=l--=-(x>0)

XX

①当aV0时，r(x)>0,/(x)在((),+«>)上单调递增.

.•」3在(0,+8)上无极值.

②当〃>0时，令/'(x)>0得x>a；令/'(x)<。得0cxea.

••・/(x)在(0,a)上单调递减，在(。,+«)上单调递增.

•••fM的极小值为/(o)=a-a\na,无极大值.

综上，当“V。时，〃x)无极值；当”>0时，"X)的极小值为/'gMa-alna,无极大值.

(2)由(1)可知，①当“V0时，/(x)在(0,必)上单调递增，而/■⑴=1,

.•.当XW(O,1)时,/(x)<l,即/(x)21不恒成立.

②当”>0时，/(x)在(0,4)上单调递减，在(“，田)上单调递增.

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2022年高考数学导数与零点、不等式等综合运用及答案

精研考纲！）1纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

令g(a)=a-«Ina(a>0),则g*(a)=1-(lna+1)=-lna.

当ae(0,l)时，g'(a)>0,g(a)在(0,1)上单调递增;

当aw(l,+oo)时，g，(a)<0,g(a)在(l,+a>)上单调递减.

；.g(a)4g⑴=1.

/.a=1.

设力(x)=f(x)-2x+ex=-x-lnx+eJ(x>0),下面证明力(工)>0.

Q当a=l时，/(x)=x-lnx>l,BPlnx<x-l.

・•.x+lnx<2x-l,/.只要证2x—1<d(*).

令［(x)=e"—2x+l,x>0,则q\x)=ex-2.

.•.当xc(0,ln2)时，q'(x)v0,虱%)在(04n2)上单调递减;

当xw(ln2,+oo)时，^'(x)>0,q(x)在(In2,+oo)上单调递增.

/.q(x)>q(ln2)=3-In4=Ine3-In4>0.

・•.(*)式成立,即f(x)>2x-d成立.

4.(2021•河北邢台•高二月考)已知函数/(*)=奴2+：.

(1)当a=T时，求””的极值点.

(2)当”=2时，若〃xj=/(w),且砧<0,证明也-句..此.

【答案】(1)极大值点为无极小值点：(2)证明见解析.

【解析】(I)当a=T时，〃X)=TX、L定义域为(70,。)5。,水»).

X

则ra)=—8x-=—良旦.

XT

令尸(x)=0,解得x=-g

则函数/(力在上单调递增，在卜;，。)，(0+8)上单调递减.

所以X=J为/(»)的极大值点，

所以“X)的极大值点为-；，无极小值点.

(2)当a=2时，/(x)=2x2+p定义域为(YO,0)=(0,+<»),

则/(xJ=2x：+L/(占)=2*+,

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因为/&)=/(引，所以2片+'=2年+L

X\X2

整理得2(%+七乂%-七)=土玉.

苦工2

因为王玉<0,所以2(玉+.与)=」一,

卒2

所以卜2-玉/=(%+不『-4xtx2=4ax)2-4玉X2.

设r=5<0,则|w-x『=g(r)=；--；，/。)=号+5=^^.

人I人24tZf2/

令g'(/)=0,解得r=-2,则gS=52-4在(YO,_2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增,

所以g(>-g(-2)=3,即居一町..3,

故尾-占|-J5.

5(2021•山西晋中•高二期末(文))已知"x)=ox-lnx,(aeR)

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)求证：当”=1时，e'f(x)>ex.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)f'(x)=a--=-,xe(0,+oo)

XX

当aWO时，r(x)<0,〃x)在(0,+功上单调递减；

a〉0时，当xe(0,J时，f'(x)<0,f(x)单调递减；

当时，/(x)>0,〃x)单调递增.

(2)证明：当a=l时，原不等式等价于e*(x-lnx)2er

欲证e”(x-lnx)2ex,

只需证

设〃(x)=x-lnx,g(x)=W，(x>0)

〃(x)=l-g=?,当xe(O,l)时，/f(x)<0,/?(x)单调递减:

当xe(l,+8)时,"(x)>0,〃(x)单调递增，1nl「〃⑴=1

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(")=竺1立，当xe(O,l))时，楂(x)>0,力(无)单调递增;

当X£(l,+oo)时，/f(-r)<0,6(x)单调递减，g(x)a=g⑴=1

所以Mx)Wg(x),即原命题成立.

6.(2021•河北•邯山区新思路学本文化辅导学校高二期中)已知函数/(x)=〃/'-lnx.

(1)若x=l是f(x)的极值点，求机的值，并判断〃x)的单调性.

(2)当，”>1时，证明：〃x)>2.

【答案】(1)，〃=±，在(01)上单调递减，在(I.”)上单调递增；(2)证明见解析.

【解析】(1)解：r(x)=2〃/-}

因为X=1是“X)的极值点，所以尸(1)=2府2-1=0,得m=

此时/(力=去2、-12/V)=7^t-P

1、12、1

令〃?(x)=/，(x)=-ye"--,XG(0,+QO),则机"(力=-y+—>0,

所以，"(X)在(0,+8)上单调递增，且小⑴=/『一；=0

因此0VXV1时，相(X)<0；当X>1时〃[(x)>0.

故当Ovxvl时/'(x)<0；当x>l时r(x)>0.

所以“X)在(0,1)上单调递减，在(1，e)上单调递增.因此X=1是“X)的极值点,故m=—；f(x)在(0,1)

上单调递减，在(1.母)上单调递增

(2)证明：当机>1时，因为f(x)-2=〃处“一Inx-2>/x-]nx-2,

所以只需证-InX-2>0即可.

令g(x)=e2v-lnx-2,则g'(x)=2e2x--=-(2xe2t-l).

令人(x)=2x^2x-l(x>0),则/?/(%)=2e2x+4xe2x>0,

因为T<0，„=

所以存在使得人(可)=0,即2与e2"-l=0,即/"=止，

也可化为2再+In2%=0,即In/=-2x0-ln2.

所以g(x)在(0,与)上单调递减，在优,+00)上单调递增，

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